El Laplaciano en Variedades Riemannianas - Centro de Matemática

El Laplaciano en variedades∀ y ∈ exp[B(0, π)].Llamemos tv = exp −1 (x), con v = exp−1 (x)|exp −1 (x)| y t = |exp−1 (x)| por lo que |v| = 1.Ahora,d x h = d exp −1 (x)exp ◦ d x exp −1 = d exp −1 (x)exp ◦ ( d exp −1 (x)exp ) −1por lo que podemos escribird x h = d tv exp ◦ (d tv exp) −1Para ver que h es isometría, primero analicemos qué pasa en el subespaciogenerado por v. Observemos que exp(tv) = γ(t) es la geodésica parametrizadapor longitud de arco que en tiempo t = 0 pasa por x con velocidad v. Luego,|d tv exp(tv)| = | ˙γ(t)| = 1 = |v|por lo que d tv exp preserva la norma en este subespacio. Una cuenta análogamuestra que d tv exp también preserva la norma allí, y por tanto h también.Consideremos ahora w ∈ [v] ⊥ de manera que |tw| = 1. Tomemos u = d tv exp(tw)y por tanto, por la parte II|u| = |d tv exp(tw)| = |w| sin tComo conocemos cómo son los campos de Jacobi en la esfera también sabemosque|d x h(u)| = |d tv exp(tw)| = |w| sin tde donde|d x h(u)| = |u|si u = (d tv exp)(tw). Ahora, por el Lema de Gauss sabemos que〈d tv exp(tv), d tv exp(tw)〉 = 〈tv, tw〉por lo que〈d tv exp(tv), u〉 = 〈d tv exp(tv), d tv exp(tw)〉 = 〈tv, tw〉 = 068