Problemas.estimulantes.de.probabilidad.y.estadistica

Problemas Estimulantes de Probabilidad y EstadísticaAlejandro Quintela del Río

Autor: Alejandro Quintela del Río1ª edición: Enero 2013http://aqdelrio.com/librosISBN: 978-1-291-26175-2© Todos los derechos reservados

5 Intervalos de confianza. 375.1 Intervalos de confianza para variables aleatorias normales ................ 375.2 Intervalos para la comparación de dos poblaciones normales independientes. ...... 395.3 Intervalos para proporciones. ................................. 406 Contrastes de hipótesis. 416.1 Contrastes de hipótesis paramétricas ............................ 426.2 Estadísticos utilizados ..................................... 436.3 Apéndice A. Bibliografía recomendada. ........................... 48II Ejercicios 497 Probabilidad 538 Variables discretas 719 Variables continuas. 8710 Principales variables discretas 10511 Principales variables continuas 12312 Intervalos de confianza 13513 Test de hipótesis 1494 CONTENIDO

PRÓLOGOEste libro es, básicamente, un libro de ejercicios. La primera parte consiste tan sólo en un pequeñoresumen de las técnicas utilizadas para resolver los problemas, sirviendo de apoyo para la consultade las fórmulas o herramientas necesarias. Si se quiere profundizar en los conceptos teóricos, al finalde la misma haremos mención de algunos libros de teoría que pueden resultar interesantes.Los problemas (todos resueltos) pretenden apartarse de los clásicos enunciados “profesionales”(problemas de ratas para biólogos, de tornillos para ingenieros, de funciones económicas para cienciasempresariales o, en general, de bolas de colores extraídas de urnas). Nuestros enunciados son,por el contrario, multidisciplinares, pues únicamente pretenden arrancar alguna sonrisa al leerlo, e invitaral estudiante a que adopte una buena disposición cuando tenga que enfrentarse con la resolucióndel ejercicio.Prólogo 5

6 Prólogo

Parte INociones teóricas básicas7

1. PROBABILIDADPara introducir la noción de probabilidad, hay que tener diferenciados 2 tipos de experimentos.Experimento determinista. Es aquel que, al realizarse repetidas veces, en idénticas condiciones,proporciona siempre el mismo resultado.Ejemplos: Tiempo que tarda en recorrer un móvil un cierto espacio a velocidad constante encondiciones fijadas; una reacción química en condiciones prefijadas de antemano.Experimento aleatorio (en el que interviene el azar). Es aquel que puede dar lugar a diferentesresultados conocidos previamente, sin que sea posible predecir cuál va a ocurrir en una realizaciónparticular del experimento. Verifica:1. Puede repetirse indefinidamente, siempre en las mismas condiciones.2. Antes de realizarlo no se puede predecir el resultado que se va a obtener.3. El resultado que se obtenga pertenece a un conjunto previamente conocido de posibles resultados.Definiciones básicas:Espacio muestral. Es el conjunto de los posibles resultados de un experimento aleatorio. Serepresenta Ω.Suceso elemental. Cada uno de los posibles resultados de un experimento aleatorio.Suceso. Es un subconjunto del espacio muestral, A ⊂ Ω.Probabilidad. Es una función que le asigna a cada suceso A de un espacio muestral Ω un númerollamado probabilidad de A, verificando:1.-) Es un número entre 0 y 1. 0 ≤ P (A) ≤ 1.2.-) La probabilidad del espacio muestral es 1. P (Ω) = 1.3.-) Si se consideran n sucesos incompatibles (con intersección el vacío, A i ∩ A j = ∅, si i ≠ j), laprobabilidad de la unión es la suma de las probabilidades.P (A 1 ∪ A 2 ∪ ... ∪ A n )=P (A 1 )+P (A 2 )+... + P (A n ).A partir de estas 3 propiedades, y teniendo en cuenta que un suceso es un conjunto A ⊂ Ω, puedecomprobarse que se verifican también las siguientes:- La probabilidad del complementario de un suceso es 1 menos la probabilidad de dicho suceso:P (Ā) =1− P (A).PROBABILIDAD 11

-SiA ⊂ B, entonces P (A) ≤ P (B).- P (A ∪ B) =P (A)+P (B) − P (A ∩ B).- P (A ∪ B ∪ C) =P (A)+P (B)+P (C) − P (A ∩ B) − P (A ∩ C) − P (B ∩ C)+P (A ∩ B ∩ C).En generalP (A 1 ∪ A 2 ∪ ... ∪ A n ) = P (A 1 )+P (A 2 )+... + P (A n ) −−P (A 1 ∩ A 2 ) − P (A 1 ∩ A 3 ) − ... − P (A n−1 ∩ A n )++P (A 1 ∩ A 2 ∩ A 3 )+... + P (A n−2 ∩ A n−1 ∩ A n ) −...+(−1) n+1 P (A 1 ∩ A 2 ∩ ... ∩ A n ).- P (A − B) =P (A) − P (A ∩ B) (siendo A − B = A ∩ ¯B).- P (A∇B) =P (A)+P (B) − 2P (A ∩ B) (siendo A∇B =(A − B) ∪ (B − A)).- Además, al cumplirse las leyes de Morgan (el complementario de la unión es la intersección delos complementarios, y el complementario de la intersección es la unión de los complementarios):A 1 ∪ ... ∪ A n = Ā1 ∩ ... ∩ Ān y A 1 ∩ A 2 ∩ ... ∩ A n = Ā1 ∪ ... ∪ Ān,podremos utilizar también que P (Ā1 ∩ ... ∩ Ān) = 1 − P (A 1 ∪ A 2 ∪ ... ∪ A n ) y P (Ā1 ∪ ... ∪ Ān) =1 − P (A 1 ∩ A 2 ∩ ... ∩ A n ).Ejemplo. En un ayuntamiento, el 60% de los concejales acepta sobornos o favores sexuales, y el10% hace ambas cosas. Si además hay un 60% que no acepta sobornos, calcular la probabilidad deque escogido al azar un concejal: a) sólo acepte sobornos, b) sólo acepte favores sexuales, c) tengasólo uno de esos defectos, d) no tenga ninguno de esos defectos.Solución.Definimos los sucesos A =“aceptar sobornos”y B =“aceptar favores sexuales”. El enunciado delproblema nos da las probabilidades P (A ∪ B) =0.6, P(A ∩ B) =0.1,queP(Ā) =0.6. Obtenemos ademásP (A) =1− P (Ā) =0.4, y, como P (A ∪ B) =P (A)+P (B) − P (A ∩ B), entonces P (B) =P (A ∪B) − P (A)+P (A ∩ B) =0.6 − 0.4+0.1 =0.3.Ahora podemos resolver los apartados.a) P (A − B) =P (A) − P (A ∩ B) =0.4 − 0.1 =0.3.b) P (B − A) =P (B) − P (A ∩ B) =0.3 − 0.1 =0.2.c) P (A∇B) =P (A)+P (B) − 2P (A ∩ B) =0.4+0.3 − 2 · 0.1 =0.5.12 PROBABILIDAD

d) P (Ā ∩ ¯B) =P (A ∪ B) =1− P (A ∪ B) =1− 0.6 =0.4.Asignación de probabilidades.Cuando se considera un experimento aleatorio, hay 3 maneras de asignar probabilidades a sucesos.1.-) Asignación frecuentista.Consiste en tener en cuenta que, a medida que se repite el experimento aleatorio un númerogrande de veces, la frecuencia relativa de ocurrencia de cualquier suceso converge a un valor fijo.Es decir, si el experimento se repite n veces (n muy grande), y A es un suceso, entoncesfr(A) =número de veces que ocurre An→ P (A).2.-) Asignación equiprobable.Si el experimento aleatorio da lugar a un espacio muestral finito de n elementos, Ω={w 1 ,w 2 , ..., w n },se le asigna a todos los sucesos elementales la misma probabilidad 1/n.Entonces, cualquier suceso A estará formado por k sucesos elementales, y la probabilidad delsuceso A seráP (A) = k n3.-) Asignación subjetiva.=casos favorablescasos posibles(Regla de Laplace).Cuando no es posible una asignación de las dos formas anteriores, será necesario asignar probabilidadesa los sucesos de acuerdo con la experiencia de la persona que realice u observe elexperimento (probabilidad de que llueva, de que se produzca un terremoto de cierta magnitud... ).1.1 Probabilidad CondicionadaSupongamos que se seleccionan 100 alumnos y se hace una clasificación por sexo y estudios preuniversitarios(ESO, Bachillerato y Otros). La tabla resultante es la siguiente.H ME 15 50 65B 10 15 25O 5 5 1030 70 100PROBABILIDAD CONDICIONADA 13

La probabilidad de que, eligiendo un estudiante al azar del grupo, sea mujer y halla estudiadobachillerato esP (M ∩ B) = 15100 .Ahora consideremos la siguiente situación: se elige una alumna al azar. ¿Cuál es la probabilidadde que haya estudiado bachillerato?P (B/M) = 1570 .Y, como la probabilidad de que, al escoger un estudiante al azar, sea una mujer, esse verifica queP (M) = 70100 ,15100 = 70100 · 15 , o lo que es lo mismo,70P (M ∩ B) = P (M) · P (B/M).De donde obtenemos queP (B ∩ M)P (B/M) = .P (M)Generalización: Dados 2 sucesos A 1 y A 2 (tales que P (A 1 ) ≠ 0,P(A 2 ) ≠ 0), la probabilidadcondicionada se calcula comoP (A 1 /A 2 )= P (A 1 ∩ A 2 )P (A 2 )y P (A 2 /A 1 )= P (A 1 ∩ A 2 ).P (A 1 )En consecuencia, vemos que la probabilidad de una intersección se obtiene comoP (A 1 ∩ A 2 )=P (A 1 )P (A 2 /A 1 )=P (A 2 )P (A 1 /A 2 ).La probabilidad condicionada verifica las mismas propiedades que la probabilidad, esto es, si B estal que P (B) ≠0, entonces P (Ā/B) =1− P (A/B); si A 1 ⊂ A 2 , entonces P (A 1 /B) ≤ P (A 2 /B), etc.1.2 Regla del productoCuando consideramos la intersección de n sucesos, su probabilidad se obtiene por la llamada regladel producto:P (A 1 ∩ A 2 ∩ ... ∩ A n )=14 PROBABILIDAD

= P (A 1 )P (A 2 /A 1 )P (A 3 /A 1 ∩ A 2 )P (A 4 /A 1 ∩ A 2 ∩ A 3 )...P (A n /A 1 ∩ ...A n−1 ).Ejemplo. En una cierta población se ha realizado una completa encuesta sobre los hábitos sexualesde las mujeres. De los resultados se concluye que un 30 por ciento practica sexo anal con supareja. Un 70 por ciento de las mujeres prefiere tener sexo por la mañana. Por las mañanas, un 60 porciento de las mujeres prefiere hacer el amor en la naturaleza. Además, se sabe que un 95 por cientode las mujeres nunca ha hecho el amor en la oficina. Teniendo en cuenta que, en dicha población, laprobabilidad de tener pareja estable es del 70 por ciento, y que las mujeres solo practican sexo fuerade la cama con una pareja estable, calcular si es más fácil que Dionisio tenga sexo anal en un bosquepor la mañana o que eche un casquete en la oficina.Solución.Definimos los sucesos A =“tener pareja estable”, B =“hacer el amor por la mañana”, C =“hacer elamor en la naturaleza” y D =“tener sexo anal”.P (A ∩ B ∩ C ∩ D) =P (A)P (B/A)P (C/A ∩ B)P (D/A ∩ B ∩ C) ==0.7 · 0.7 · 0.6 · 0.3 =0.0882,frente al 0.05 de probabilidad de hacer el amor en la oficina.1.3 Independencia de sucesos2 sucesos A 1 y A 2 son independientes si la ocurrencia de uno no influye en la ocurrencia del otro. Severifica entonces queP (A 1 /A 2 )=P (A 1 ) y P (A 2 /A 1 )=P (A 2 ).Si n sucesos son independientes, entonces la probabilidad de la intersección es el producto de lasprobabilidades:P (A 1 ∩ A 2 ∩ ... ∩ A n )=P (A 1 )P (A 2 )...P (A n ).Ejemplo. Un ministro de economía y hacienda entra en un casino y pide fichas para la ruleta,pensando: “como la probabilidad de bola roja es 1/2, voy a esperar que salga negra, y luego apuestoa lo bestia al rojo porque tiene que salir una de cada 2 veces. Y, si no sale a la primera, a la segundaseguro, con lo que triplico la apuesta y ya me corono”. Cuando llevamos cuatro tiradas de la ruletaseguidas y ha salido siempre bola negra, el ministro saca una pistola y decide matar al dueño delINDEPENDENCIA DE SUCESOS 15

casino, porque piensa que la ruleta está trucada. ¿Tendrá razón el ministro, sabiendo que el dueñodel casino se apellida Adelson?Solución.La probabilidad de 4 bolas negras seguidas (el resultado de cada jugada en la ruleta es independientedel anterior) es (llamamos A i =“negro en la tirada i de la ruleta”):P (A 1 ∩ A 2 ∩ A 3 ∩ A 4 )=P (A 1 )P (A 2 )P (A 3 )P (A 4 )=que es muy pequeña, pero no para andar a tiros.=(0.5) 4 =0.0625,1.4 Teorema de las probabilidades totalesSupongamos un sistema completo de sucesos A 1 ,A 2 , ..., A n , es decir:- Son sucesos incompatibles 2a2,A i ∩ A j = φ,si i ≠ j.16 PROBABILIDAD

- ∪ n i=1A i =Ωy además son tales que la probabilidad de cada uno de ellos es distinta de cero. Sea B un sucesopara el que se conocen las probabilidades P (B/A i ) para todo i. Entonces la probabilidad del sucesoB viene dada por:n∑P (B) = P (B/A i )P (A i ).i=1Ejemplo. El porcentaje de gatillazos en adolescentes en sábado noche, tras una jornada debotellón, es del 3%; y, para los que no han hecho botellón del 0,5%. Si los chavales van de botellónlos sábados noche en proporción del 75%, ¿cuál es el porcentaje de gatillazos entre adolescentes elsabado noche?Solución.Definimos los sucesos G=“tener un gatillazo”, A 1 =“hacer botellón” y A 2 =“no hacer botellón”. Estees un ejemplo muy sencillo donde A 1 y A 2 son incompatibles y la suma de probabilidades da uno. Losdatos que tenemos son: P (G/A 1 )=0.03,P(G/A 2 )=0.005, P(A 1 )=0.75, P(A 2 )=1− 0.75.P (G) =P (G/A 1 )P (A 1 )+P (G/A 2 )P (A 2 )=0.03 · 0.75+0.005 · (1 − 0.75) = 0.02375.Esto es, el porcentaje es tan sólo del 2.375 por ciento, que ya lo quisieran sus padres.1.5 Regla de BayesSea un sistema completo de sucesos A 1 ,A 2 , ..., A n , es decir:- Son sucesos incompatibles 2a2,A i ∩ A j = φ,si i ≠ j.- ∪ n i=1A i =Ωy son tales que la probabilidad de cada uno de ellos es distinta de cero. Sea B un suceso parael que se conocen las probabilidades P (B/A i )∀i. Entonces, las probabilidades P (A j /B) se puedenobtener de la formaP (A j /B) = P (B/A j)P (A j )∑ ni=1 P (B/A , ∀j =1, ..., n.i)P (A i )Ejemplo. Los presos de Alcalá-Mico proceden de 3 ayuntamientos A, ByC,siendo un 20% de A,un 30% de B y el resto de C. El 80% de los presos de A van al módulo de baja seguridad y el restoal de alta seguridad. El 50% de los presos de B van al módulo de baja seguridad y el resto al de altaseguridad. El 60% de los presos de C van al módulo de baja seguridad y el resto al de alta seguridad.REGLA DE BAYES 17

Acaba de ingresar en la cárcel un ex-ministro por haber robado las huchas de cáritas, y el directorde la cárcel decide aplicarle el protocolo de prevención de suicidios, colocándole en la misma celdade un preso del módulo de baja seguridad para que le haga compañía. Lo que no sabe el directorde la cárcel es que el ex-ministro fue concejal del ayuntamiento B hace años, y todos los de allí selatienen jurada (por haber ordenado cerrar el único bar de alterne). ¿Cuál es la probabilidad de que elcompañero de celda sea del ayuntamiento B y, por una vez, se haga realmente justicia?Solución.Definimos los sucesos BS =“ser preso del módulo de baja seguridad”, A=“ser del ayuntamientoA”, B=“ser del ayuntamiento B”, C=“ser del ayuntamiento C”.P (A) =0.2,P(B) =0.3,P(C) =0.5.P (BS/A) =0.8,P(BS/B) =0.5,P(BS/C) =0.6.Tenemos que calcular P (B/BS).P (B/BS) =P (BS/B)P (B)P (BS/A)P (A)+P (BS/B)P (B)+P (BS/C)P (C) ==0.5 · 0.30.8 · 0.2+0.5 · 0.3+0.6 · 0.5 =0.2459.18 PROBABILIDAD

2. VARIABLES ALEATORIASEn ocasiones, es útil asociar un número a cada resultado de un experimento aleatorio. Por ejemplo,en el experimento aleatorio “lanzar una moneda 3 veces”, podemos considerar la variable X=“númerode caras”. X tomará los valores 0,1,2,3. En el experimento aleatorio “elegir un enfermo al azarde un hospital”, podemos considerar las variables X=“peso en gramos”, Y =“estatura en metros”,Z=“temperatura”...Definimos Rango o soporte de la variable aleatoria X como el conjunto de todos los posiblesvalores de la variable. En función de su rango, una variable aleatoria puede ser:Discreta: su rango es un conjunto finito o infinito numerable de valores.Continua: el rango es un intervalo de números reales.2.1 Variables aleatorias discretasUna variable aleatoria discreta X está definida por los valores que toma y sus probabilidades, lascuales deberán sumar 1.X P (X = x i )x 1 p 1x 2 p 2. .x np n(p 1 + ... + p n =1).Esta tabla se conoce como ley de probabilidad, distribución de probabilidad, función de probabilidado función de masa de probabilidad. Gráficamente, se representa con un diagrama debarras.Ejemplo. Cuando realizamos el experimento aleatorio “lanzar un dado”, consideramos X =“1siVARIABLES ALEATORIAS 19

el resultado es par y 0 si es impar”.X P (X = x i )0 1/21 1/2Ejemplo. Cuando realizamos el experimento aleatorio “elegir un número al azar entre 1 y N”, lavariable aleatoria X=“valor que se observa” se llama variable uniforme discreta.X P (X = x i )1 1/N2 1/N. .N 1/NFunción de distribución.Es la función que asocia a cada valor x i la probabilidad acumulada hasta ese punto: F (x i )=P (X ≤ x i ).En el caso de una variable discreta,F (x i )=P (X = x 1 )+P (X = x 2 )+... + P (X = x i ).En la Figura 2-1 tenemos un ejemplo de una función de probabilidad de una variable discreta, juntocon su función de distribución.Figura 2-1: Funciones de Probabilidad y de Distribución de una Variable Aleatoria Discreta.20 VARIABLES ALEATORIAS

2.2 Variables aleatorias continuasUna variable aleatoria continua es aquella que puede tomar cualquier valor (al menos teóricamente)entre 2 fijados. Los valores de la variable (al menos teóricamente) no se repiten.Ejemplo: X=“Tiempo observado al correr los 100 metros”.El rango de la variable es, en principio, de 0 a +∞. En una carrera, aunque al principio haya valoresque podrían repetirse (por ejemplo que los primeros corredores hagan el mismo tiempo), siemprese puede desempatar midiendo el tiempo con más precisión (centésima de segundo, milésima desegundo... ).Las variables aleatorias continuas vienen caracterizadas por una función f que se llama funciónde densidad, que es una generalización de la función de masa de probabilidad. Esta función debeverificar que f(x) ≥ 0 en cualquier valor de x, y que la integral ∫ ∞f(x)dx =1. Ahora tendremos que−∞las probabilidades de la variable aleatoria se calcularán comoP (v 1 ≤ X ≤ v 2 )=∫ v2v 1f(x)dx,que corresponden al área bajo la curva f entre los valores v 1 y v 2 (ver Figura 2-2).Figura 2-2: Probabilidad = área bajo la curva.En el caso de una variable aleatoria continua, la probabilidad de cualquier punto concreto a escero, porque no hay área bajo la curva: P (X = a) = ∫ af(x)dx =0.aVARIABLES ALEATORIAS CONTINUAS 21

Función de distribución. La función de distribución tiene el mismo significado para una variablealeatoria continua que para una discreta, y es la probabilidad acumulada hasta un punto k:F (k) =P (X ≤ k) =∫ k−∞f(x)dx,que corresponde al area acumulada, bajo la función de densidad f, desde −∞ hasta el valor k.2.3 Medidas características de una variable aleatoriaIgual que en el caso de variables estadísticas, para las variables aleatorias se pueden definir medidasde centralización, dispersión y forma. Las más utilizadas son el valor medio o esperanza (generalizaciónde la media aritmética) y la varianza (o su raiz cuadrada o desviación típica).Esperanza de una variable aleatoria. También se llama valor medio o valor esperado.Si X es una variable aleatoria discreta,μ = E(X) =n∑x i p i .i=1Si X es una variable aleatoria continua,μ = E(X) =∫ ∞−∞xf(x)dx.La varianza se representa σ 2 = Var(X) =E[(X − μ) 2 ], y la desviación típica σ es la raiz cuadrada(con signo positivo) de la varianza.Si X es una variable discreta,σ 2 = Var(X) =n∑(x i − μ) 2 p i .i=1Si X es una variable continua,σ 2 = Var(X) =∫ ∞−∞(x − μ) 2 f(x)dx.Los significados de estos parámetros (y otros que podríamos calcular como mediana, cuartiles,moda, etc. ) son los mismos que en el caso de una variable estadística. Así, la media o esperanzamatemática es el valor medio, y la varianza (o desviación típica) mide la dispersión/concentración delos datos de la variable.22 VARIABLES ALEATORIAS

3. PRINCIPALES VARIABLES DISCRETAS3.1 Variable de BernouilliSupongamos un experimento que admite sólo 2 posibles resultados: éxito (A) o fracaso (Ā), queocurren con probabilidad p = P (A) y q =1− p, respectivamente. Este tipo de experimento recibe elnombre de prueba de Bernouilli.La variable aleatoria con función de probabilidadX P (X = x i )0 q1 precibe el nombre de variable aleatoria de Bernouilli (X ∈ Bernouilli(p)).Se obtiene fácilmente que E(X) =p y Var(X) =pq.Ejemplo. Variable que toma el valor cero si sale cara al lanzar una moneda, y uno si sale cruz.3.2 Variable BinomialSupongamos que se realizan n experimentos de Bernouilli de manera sucesiva, siendo cada experimentoo prueba independiente del anterior. La Variable X =“número de veces que ocurre el sucesoA en las n pruebas” o “número de éxitos en n pruebas” recibe el nombre de variable binomial deparámetros n y p (p = P (A) =p(éxito en 1 prueba)). Se escribe X ∈ Bi(n, p).La variable X puede tomar los valores 0, 1, 2, ...n, siendo la probabilidad con que los toma:( ( n nP (X = k) = pk)k q n−k n!, donde =k)k!(n − k)! .La media y la varianza son:E(X) =np y Var(X) =npq.Ejemplo. Un acusado va a ser declarado inocente o culpable por un jurado popular. Para sercondenado es necesario que al menos 7 personas de las 10 del jurado voten culpable. Dado quePRINCIPALES VARIABLES DISCRETAS 23

en los programas de televisión ya han dado muchos detalles del caso, los miembros del jurado estánatendiendo al twiter o leyendo el periódico en vez de escuchar al fiscal y al abogado, porque vana decidir tirando una moneda al aire.inocente?Solución.Definimos A =“éxito” =“inocente”. p = P (A) =0.5X =“número de éxitos en 10 pruebas” ∈ Bi(10, 0.5).La probabilidad de ser declarado inocente es P (X ≥ 4).¿Cuál es la probabilidad de que el acusado sea declarado∑10( ) 10P (X ≥ 4) = 0.5 k 0.5 10−k =0.82.kk=4Propiedad aditiva. La Variable binomial es reproductiva respecto al parámetro n. Si X ∈ Bi(n 1 ,p)e Y ∈ Bi(n 2 ,p) son 2 variables independientes, la suma X + Y ∈ Bi(n 1 + n 2 ,p) (esta propiedad esgeneralizable a un número finito de variables).3.3 Variable de PoissonUn proceso de Poisson es un experimento aleatorio donde se observa la aparición de un suceso sobreun soporte continuo (generalmente el tiempo). Además, debe cumplirse que los sucesos ocurran de24 PRINCIPALES VARIABLES DISCRETAS

forma independiente y con media estable (el número medio de sucesos por unidad de medida esconstante). Ejemplos interesantes de procesos de Poisson son: clientes que acuden a un mostradorpor unidad de tiempo, llamadas por unidad de tiempo a una centralita, defectos por metro de cable...En un proceso de Poisson, la variable X=“número de sucesos ocurridos en un intervalo” se diceque sigue una distribución de Poisson de parámetro λ. Se escribe X ∈ Pois(λ). Su distribución deprobabilidad esP (X = k) =e−λ λk, k =0, 1, 2, ...k!Se tiene queE(X) =Var(X) =λ.La variable de Poisson es una generalización de la variable binomial. Supongamos que un experimentode Bernouilli tiene una probabilidad p = P (A) muy pequeña. Puede demostrarse que si Xes la variable Bi(n, p), que mide el número de sucesos A en n pruebas, X puede aproximarse poruna variable de Poisson de parámetro λ = np. Por este motivo, la distribución de Poisson es conocidacomo distribución de los “procesos raros”.P (X = k) =( nk)p k q n−k −λ λk→ ek!con λ = npEn la práctica esta aproximación funciona si n>30 y p

3.4 Variable Geométrica o de PascalSupongamos que se realiza un experimento de Bernouilli hasta que se obtiene el primer éxito. Definamosla variable X =“número de la prueba en que se obtiene por primera vez un éxito”. X sedice que sigue una distribución geométrica o de Pascal de párametro p = P (éxito). Su función deprobabilidad esSe obtiene queP (X = k) =q k−1 p, k =1, 2, ...E(X) = 1 p y Var(X) = q p 2 .Nota. X = k es equivalente a Y = k − 1, siendo Y la variable que mide el número de fracasosantes del primer éxito.Ejemplo. Ángela es muy dura de satisfacer en el lecho. De hecho, sólo llega al climax 1 de cada10 veces. Mariano y ella van a pasar la noche hasta que ella consiga el orgasmo. Mariano está muyasustado, porque no aguanta más de 3 embates sin que le dé un jamacuco. ¿Cuál es la probabilidadde que lo tengan que hacer un mínimo de 4 veces? ¿Cuál es el número medio de veces que deberánestar dale que te pego hasta que Ángela lo consiga?Solución.X =“número de la prueba en que Ángela llega al clímax” sigue una distribución geométrica deparámetro p =0.1. La probabilidad que tenemos que calcular esP (X ≥ 4) = 1 − P (X

distribución Binomial Negativa de párametros r y p. Se escribe X ∈ BN(r, p). Su ley de probabilidadesSe obtiene que( ) r + k − 1P (X = k) =p r q k , k =0, 1, 2, ...kE(X) = rq y Var(X) =rqpp . 2Ejemplo. Para su segunda cita, Ángela ha dicho que quiere tener dos “momentos en la cumbre”.Mariano ha decidido tomar una buena dosis de zarzaparrilla de su abuela (una receta familiar conefectos similares a la viagra), porque así puede aguantar hasta 5 veces. ¿Cuál es la probabilidad deque tengan que montarselo más de 5 veces?X =“número de fracasos hasta obtener el éxito 2” ∈ BN(2, 0.1).P (X >5) = 1 − P (X ≤ 4) = 1 −Vemos que la probabilidad es bastante altita. Ánimo, Mariano.4∑( ) 2+k − 10.1 2 0.9 k =1− 0.114 = 0.885 .kk=03.6 Variable HipergeométricaSupongamos que tenemos una población de N elementos, que se divide en dos clases: A y Ā. Elnúmero de elementos de cada clase los denotamos como n A y n Ā . Lógicamente n A + n Ā = N.Supongamos que se extrae una muestra de tamaño n de la población, sin reemplazamiento. Lavariable X =“número de elementos de la clase A en la muestra” se dice que sigue una distribuciónhipergeométrica de parámetros N,n A y n. Se escribe X ∈ H(N,n A ,n).Su ley de probabilidad es)P (X = k) =( nA)( nĀk n−k( Nn) , k =max{0,n+ n A − N}, ..., min{n A ,n}.Sus parámetros media y varianza:E(X) = n · n ANSi se escribe p = n AN,q =1− p, se obtiene:, Var(X) =N − nN − 1n · n ANE(X) =np, V ar(X) =npq N − nN − 1 .(1 − n ANVARIABLE HIPERGEOMÉTRICA 27).

Cuando se realiza un muestreo, éste puede ser con o sin reemplazamiento. Si es con reemplazamientoutilizaremos la distribución binomial para contar el número de éxitos, y si es sin reemplazamientoutilizaremos la distribución hipergeométrica. Además, si N es grande respecto a n, la binomialaproximará a la hipergeométrica (la aproximación es buena cuando n/N < 0.1).Ejemplo. Corroído por la envidia, un estudiante ha agujereado varios preservativos de la mesillade noche de un compañero de piso italiano que ha venido de Erasmus. La caja tiene 20 preservativos,y están agujereados 5. El jueves de noche hay fiesta en la casa y se gastan 3 preservativos. ¿Cuáles la probabilidad de que alguno de los apareamientos termine ocasionando un bombo (suponemosque el erasmus, conocido en el campus por su mote “el semental italiano”, como no use preservativoprovoca un embarazo asegurado)?Solución.X =“número de preservativos agujereados en la muestra de tamaño 3” sigue una distribuciónhipergeométrica de parámetros N =20,n A =5,n=3.La probabilidad que hay que calcular es( 5 15)P (X ≥ 1) = 1 − P (X =0)=1− 0)(3) =1− 0.399 = 0.601.( 2033.7 Variable MultinomialLa distribución multinomial es similar a la distribución binomial, con la diferencia de que, en lugarde dos posibles resultados en cada ensayo, puede haber múltiples resultados.Supongamos quese realizan n pruebas independientes de un experimento aleatorio cuyos posibles resultados sonA 1 ,A 2 , ..., A t , que ocurren con probabilidades respectivas p 1 ,p 2 , ..., p t (p 1 + ... + p t =1).Llamemos X i el número de veces que ocurre el suceso A i en las n pruebas. Diremos que X =(X 1 ,X 2 , ..., X t ) es un vector aleatorio (variable aleatoria multidimensional) con distribución multinomialo polinomial, que se denota por M t (n; p 1 ,p 2 , ..., p t. ).La distribución multinomial tiene la siguiente distribución de probabilidad:Se tiene queP (X 1 = k 1 ,X 2 = k 2 , ..., X t = k t )=n!k 1 !k 2 !...k t ! pk 11 p k 22 ...p ktt ; k 1 + k 2 + ...k t = n.E(X i )=np i ,Var(X i )=np i (1 − p i ).28 PRINCIPALES VARIABLES DISCRETAS

Ejemplo. Según un estudio propio realizado por el Yonatan, los compradores de su hachís procedende los siguientes países:ProcedenciaPorcentajeEspañoles 52%Europeos no españoles 14%Sudamericanos 30%Estados Unidos 4%Un día, Yonatan recibe a 8 visitantes. Calcular la probabilidad de que haya un par de cada procedencia,y así puedan fumar un porrito todos juntos e intercambiar experiencias de sus respectivospaíses.Solución.La variable aleatoria multidimensional X =(X 1 ,X 2 ,X 3 ,X 4 ) donde cada X i representa el númerode personas de cada nacionalidad, tiene distribución multinomial de parámetros M 4 (8; 0.52, 0.14, 0.3, 0.04).P (X 1 =2,X 2 =2,X 3 =2,X 4 =2)= 8!2!2!2!2! 0.522 · 0.14 2 · 0.3 3 · 0.04 2 =5.76 · 10 −4 .3.8 Variable MultihipergeométricaLa distribución multihipergeométrica es similar a la distribución hipergeométrica, con la diferencia deque, en lugar de dos posibles resultados en cada ensayo, puede haber múltiples resultados. Supongamosque tenemos una población de N elementos, que se divide en clases A 1 ,A 2 , ..., A t , siendo elnúmero de elementos de cada clase n A1 ,...,n At (suman N).Supongamos que se extrae una muestra de tamaño n de la población, sin reemplazamiento.Llamemos X i el número de elementos de A i en la muestra de tamaño n. Diremos que X =(X 1 ,X 2 , ..., X t )es un vector aleatorio con distribución multihipergeométrica, que se denota por H(N; n A1 ,n A2 , ..., n At ,n).La distribución multihipergeométrica sigue la siguiente distribución de probabilidad:( nA1)( nA2) (kP (X 1 = k 1 ,X 2 = k 2 , ..., X t = k t )= 1 k 2...nAt( N, k 1 + k 2 + ...k t = n.n)k t)Ejemplo. En una caja de bombones hay 10 sin licor, 3 con licor y 4 con guindilla. El abueloAntonio se agarra 5alavez. Sunieto Paquito quiere saber cuál es la probabilidad de que coja unoVARIABLE MULTIHIPERGEOMÉTRICA 29

con guindilla (así le da un patatús al abuelo de una vez), 3 con licor (así su prima Marinieves se quedasin ellos) y 1 con chocolate sin licor (al menos que reviente feliz el hombre).Solución.La variable aleatoria multidimensional X =(X 1 ,X 2 ,X 3 ) donde X 1 =“bombones sin licor”, X 2 =“bombonescon licor” y X 3 =“bombones con guindilla” sigue una distribución multihipergeométrica H(17; 10, 3, 4, 5)La probabilidad que quiere conocer Paquito esP (X 1 =1,X 2 =3,X 3 =1)=)( 3 4)1 3)(1) =0.0064 .( 10( 17530 PRINCIPALES VARIABLES DISCRETAS

4. PRINCIPALES VARIABLES CONTINUAS4.1 Variable UniformeUna variable aleatoria continua X se dice que sigue una distribución uniforme entre dos valores a y b(se representa X ∈ U(a, b)) si su función de densidad tiene la expresión⎧⎨ 1si x ∈ [a, b]b−af(x) =⎩ 0 si x/∈ [a, b].La gráfica de esta función es (la dibujamos suponiendo a =2,b=6).Sus parámetros media y varianza son:E(X) = a + b2y Var(X) =(b − a)2.12PRINCIPALES VARIABLES CONTINUAS 31

4.2 Variable NormalUna variable aleatoria continua X sigue una distribución normal de parámetros μ y σ (X ∈ N(μ, σ)) sisu función de densidad esf(x) = 1σ √ (x−μ) 2e− 2σ 2 , −∞

4.3 Variable ExponencialUna variable continua X se dice que sigue una distribución exponencial de parámetro λ>0 si sufunción de densidad es⎧⎨ λe −λx si x>0f(x) =⎩ 0 en otro caso.Se representa X ∈ Exp(λ). Su función de distribución es⎧⎨ 1 − e −λx si x>0F (x) =⎩ 0 en otro caso.Las gráficas de la función de densidad y distribución son, respectivamente (aquí hemos elegidoλ =2):Su media y varianza son:E(X) = 1 λ y Var(X) = 1 λ 2 .Ejemplo. La duración de la fiesta de la cerveza de un pueblo (consistente en beber cerveza hastaque todos quedan dormidos en el campo de la feria) es exponencial con duración media 300 horas.¿Cuál es la probabilidad de que la fiesta acabe en un solo día?Solución.X =“duración en horas” sigue una distribución exponencial de parámetro λ = 1 = 1 . LaE(X) 300probabilidad que nos piden es P (X ≤ 24) = F (24) = 1 − e − 1300 ·24 =0.076.VARIABLE EXPONENCIAL 33

4.4 Teorema Central del límiteCuando sumamos un número grande de variables, la variable resultante es una distribución normal.De manera general, si X 1 ,X 2 , ..., X n son variables de media o esperanza μ i = E(X i ) y σ 2 i =Var(X i ),i=1, ..., n, se verifica que la variable suma Y = X 1 + X 2 + ... + X n se puede aproximar poruna variable normal, de media la suma de las medias y varianza la suma de varianzas, es decir⎛⎞n∑∑Y ≈ N ⎝ μ i , √ n ⎠ .i=1 i=1Nota. En el caso de sumar variables aleatorias normales, la aproximación anterior no es tal, sinoque es una distribución exacta (ver fórmula (4.1)).Ejemplo. La compañía aérea Spamair, viendo que por regla general el 14 por ciento de plazasreservadas acaban vacías, decide aceptar reservas por un 8 por ciento más en todos sus vuelosde aviones Yavolev, de 300 plazas, utilizados generalmente para viajes de jubilados. Calcular elporcentaje de vuelos de este tipo en los que algún jubilado se tiene que acomodar en los lavabos porfalta de sitio.Solución.34 PRINCIPALES VARIABLES CONTINUASσ 2 i

p =P(reserva vacía)=0.14.El avión Yavolev tiene 300 plazas. Al aceptar reservas por un 8 por ciento más, reserva 324 plazas.X =“número de reservas efectivas en 324 plazas” ∈ Bi(324, 0.86), o también podemos ver queX = X 1 + ...X 324 , donde cada X i es una variable aleatoria de Bernouilli de parámetro p (vale1silareserva es efectiva, 0 si no lo es). Por el teorema central del límite, se aproxima por una distribuciónnormal de media 324 · 0.86 y desviación típica √ 324 · 0.14(1 − 0.14).P (X >300) = P (Z >300 − 278.64)=P (Z >3.419 9) ≃ 0,6.2458por fortuna para los jubilados.Nota: Vimos que una variable aleatoria binomial puede aproximarse también mediante una variablede Poisson. La diferencia con el teorema central del límite (que aproxima la binomial por la normal)es que la aproximación a la Poisson es cuando p

36 PRINCIPALES VARIABLES CONTINUAS

5. INTERVALOS DE CONFIANZA.Un intervalo de confianza de nivel α para estimar un parámetro θ es un intervalo de valores (a, b) quecontiene al parámetro θ con probabilidad 1 − α, es decir P (θ ∈ (a, b)) = 1 − α.α se llama nivel de significación. 1 − α nivel de confianza. Cuanto mayor nivel de confianza, mayorlongitud del intervalo, y a menor nivel, menor longitud. Que el parámetro θ esté en un intervalo conuna confianza, por ejemplo, del 95%, significa que, si dispusiéramos de todas las muestras posibles,el 95% de ellas contendrían al parámetro, y habría un 5% de muestras que no lo contendrían.Los valores típicos de α suelen ser 0.01, 0.05 y 0.1 (correspondiendo a niveles de confianza del 99,95 y 90 por ciento respectivamente).5.1 Intervalos de confianza para variables aleatorias normalesSe parte de una muestra aleatoria simple (x 1 ,x 2 ,...,x n ) de la variable X ∈ N(μ, σ).1.-) Intervalo de confianza para μ.1.1.- Conociendo la desviación típica σ.)σ(x ± Z α/2 √n ,siendo Z α/2 el valor de una distribución N(0, 1) que deja a su derecha α/2 de área (Figura 5-1).1.2.- Desconociendo la desviación típica.()Ŝ n−1x ± t n−1,α/2 √ , nsiendo t n−1,α/2 el valor de una t de Student con n − 1 grados de libertad que deja a la derecha α/2 deárea (mismo significado que en el caso anterior, pero debemos buscar dicho valor en la densidad tcon n − 1 grados de libertad). Ŝn−1 es la cuasi-desviación típica muestral, es decir la raiz cuadrada dela cuasi-varianza muestral:Ŝ 2 n−1 =∑ ni=1 (x i − x) 2.n − 1INTERVALOS DE CONFIANZA. 37

Figura 5-1: Valor Z α/2 en una N(0, 1)La relación con la varianza muestral, Ŝ2 n,Ŝ 2 n =∑ ni=1 (x i − x) 2,nes de la formanŜ2 n =(n − 1)Ŝ2 n−1 ⇐⇒ Ŝ2 n−1 =nn − 1Ŝ2 n. (5.1)2.-) Intervalo de confianza para σ (para σ 2 simplemente se elevan los valores al cuadrado).2.1.- Conociendo la media μ.(√ ∑ni=1 (x i − μ) 2χ 2 n,α/2,√ ∑n)i=1 (x i − μ) 2,χ 2 n,1−α/2siendo χ 2 n,α/2el valor de una Chi-cuadrado con n grados de libertad que deja a la derecha α/2 de área.2.2.- Desconociendo la media.(√ ∑ni=1 (x i − x) 2χ 2 n−1,α/2,√ ∑n)i=1 (x i − x) 2=χ 2 n−1,1−α/2⎛= ⎝√ (n − ⎞ (√1)Ŝ2 n−1, √ (n − 1)Ŝ2 n−1 ⎠ =χ 2 n−1,α/2χ 2 n−1,1−α/2nŜ2 nχ 2 n−1,α/2,√nŜ2 nχ 2 n−1,1−α/2),siendo χ 2 n−1,α/2de área.el valor de una Chi-cuadrado con n − 1 grados de libertad que deja a la derecha α/238 INTERVALOS DE CONFIANZA.

5.2 Intervalos para la comparación de dos poblacionesnormales independientes.Se parte de dos muestras aleatorias simples (x 1 ,x 2 , ..., x n ) e (y 1 ,y 2 , ..., y m ), de las variables X ∈N(μ 1 ,σ 1 ) e Y ∈ N(μ 2 ,σ 2 ), respectivamente.3.-) Intervalo de confianza para la diferencia de medias μ 1 − μ 2 .3.1.- Conociendo las desviaciones típicas σ 1 y σ 2 .(√ )σ2(x − y) ± Z 1α/2n + σ2 2.m3.2.- Desconociendo las desviaciones típicas pero suponiendo que son iguales.⎛√⎞√(n −⎝(x − y) ± t 1)Ŝ2 n−1 +(m − 1)Ŝ2 m−1 1n+m−2,α/2n + m − 2 n + 1 ⎠ .m3.3.- Desconociendo las desviaciones típicas y suponiendo que los tamaños de las muestras songrandes (n, m ≥ 30).⎛⎝(x − y) ± Z α/2√Ŝ 2 n−1n+ Ŝ2 m−1m3.4.- Desconociendo las desviaciones típicas y suponiendo que los tamaños de las muestras sonpequeños (n, m < 30).⎛⎞⎠⎞⎝(x − y) ± t n+m−2−Δ,α/2√Ŝ 2 n−1n+ Ŝ2 m−1m⎠ ,siendo Δ el entero más próximo a((m − 1) Ŝ2 n−1(m − 1)(Ŝ2n−1nn) 2− (n − 1) Ŝ2 m−1m) 2 (Ŝ2+(n − 1)m−1m4.- Intervalo de confianza para la razón de varianzas σ 2 2/σ 2 1.(F n−1,m−1,1−α/2Ŝ 2 m−1Ŝ 2 n−1) 2.,F n−1,m−1,α/2Ŝ 2 m−1Ŝ 2 n−1siendo F n−1,m−1,α/2 el valor de una F de Snedecor con n − 1 y m − 1 grados de libertad que deja a laderecha α/2 de área.INTERVALOS PARA LA COMPARACIÓN DE DOS POBLACIONES NORMALES INDEPENDIENTES. 39),

5.3 Intervalos para proporciones.Intervalo de confianza para una proporción. Supongamos que se mide una cierta característicaA en una población. Sea p = P (A) la proporción de elementos de la población con dicha característica.p se estima puntualmente mediante la proporción muestral ˆp =(número de elementos conla carácterística en la muestra de tamaño n)/n. El intervalo de confianza para p es( √ )ˆp(1 − ˆp)ˆp ± Z α/2 .nEl intervalo más largo posible (donde se sustituye el producto p(1 − p) por su máximo valor que es1/4) es (√ )1ˆp ± Z α/2 .4nIntervalo de confianza para la diferencia de proporciones. Ahora suponemos dos poblacionesen donde se considera la misma característica A. p 1 es la proporción de elementos con dicha característicaen la primera población, y p 2 es la proporción en la segunda población. Se toma una muestrade tamaño n 1 de la primera población y otra de tamaño n 2 en la segunda, y se calculan las respectivasproporciones muestrales ˆp 1 y ˆp 2 . El intervalo de confianza para la diferencia p 1 − p 2 es⎛√⎞ˆp 1 (1 − ˆp 1 )⎝(ˆp 1 − ˆp 2 ) ± Z α/2 + ˆp 2(1 − ˆp 2 )⎠ .n 1Análogamente al caso anterior, se puede considerar el intervalo más largo posible:(√1(ˆp 1 − ˆp 2 ) ± Z α/2 + 1 ).4n 1 4n 2n 240 INTERVALOS DE CONFIANZA.

6. CONTRASTES DE HIPÓTESIS.Una hipótesis estadística es una afirmación que se hace sobre una o más características de unapoblación (decir que la vida media son tantos años, que un determinado pienso produce aumento depeso... ).Los contrastes pueden ser de tipo paramétrico o no paramétrico, según se refieran o no aparámetros de una población. Una hipótesis paramétrica es una afirmación sobre una o más características(parámetros) de una población. Le llamaremos hipótesis nula H 0 .Si la hipótesis especifica un único valor para el parámetro le llamaremos hipótesis simple. Ejemplo:μ =5.Si se especifican varios valores para el parámetro le llamaremos hipótesis compuesta. Ejemplo:μ ≥ 5.Ejemplos de una hipótesis no paramétrica:- H 0 : X sigue una distribución normal.- H 0 : Un dado está “cargado” en un número (la variable X =“resultado” no sigue una distribuciónuniforme entre 1y6).La realización de un contraste implica la existencia de dos hipótesis:- Hipótesis nula H 0 , que se asume como correcta.- Hipótesis alternativa H 1 , la que pretendemos contrastar frente a la hipótesis nula.La hipótesis nula es la que el investigador asume como correcta. La aceptación de H 0 no implicaque ésta haya sido probada al 100 por 100, sino que los datos no han proporcionado evidencia suficientecomo para refutarla. Es decir, se trabaja con el principio de “todo hombre es inocente mientrasno se demuestre lo contrario”. Esto es, la hipótesis nula es cierta mientras no se pruebe lo contrario;salvo que los datos demuestren su falsedad, la mantendremos y, en este sentido, la consideraremosneutra pero nunca totalmente probada. En general, para contrastar una hipótesis, lo que se hace esseleccionar una muestra de la población, y ver si los resultados son coherentes con esa afirmación.CONTRASTES DE HIPÓTESIS. 41

6.1 Contrastes de hipótesis paramétricasSupongamos el contraste: H 0 : θ = cte. frente a H 1 : θ ≠ cte.1.-) Se elige una muestra aleatoria simple de la población (x 1 .x 2 , ..., x n ) y se estima θ por medio dealgun estimador ˆθ.2.-) Se elige alguna medida de discrepancia d (o estadístico del contraste) entre θ y ˆθ. Estamedida de discrepancia ha de ser una variable aleatoria con distribución conocida cuando H 0 escierta, para saber si la discrepancia es grande o no:Ejemplo: Si suponemos que la media μ =5, calculamos ¯x y vemos si son muy diferentes calculandod = d(μ, ¯x).Si d es “pequeña”, no hay razones para sospechar que H 0 sea falsa, y se acepta H 0 .Si d es “grande” admite dos interpretaciones: a) H 0 es cierta, pero el azar ha producido unamuestra poco representativa. b) La hipótesis H 0 realmente no es cierta.Para ayudarnos a tomar una decisión sobre el caso a) hay que calcular el Nivel crítico o p−valor:es la probabilidad de tener un valor del estadístico igual o mayor al observado cuando H 0 escierta.Cuando estamos realizando un contraste puede sucederREALIDADH 0 H 1RECHAZO H 0 Error tipo I Decisión correctaH 1 Decisión correcta Error tipo IIα =P(rechazar H 0 siendo cierta)=P(Error tipo I) se llama nivel de significación del contraste.β =P(aceptar H 0 siendo falsa)=P(Error tipo II).1-β = P (rechazar H 0 siendo falsa) se llama Potencia del contraste (mide la probabilidad de acertar).Se debería minimizar la probabilidad de los errores tipo I y tipo II, pero ocurre que al disminuir laprobabilidad de uno aumenta la del otro, y viceversa.Etapas básicas a seguir cuando se realiza un contraste de hipótesis.1.-) Especificar las hipótesis nula y alternativa.2.-) Elegir un estadístico de contraste apropiado w.3.-) Tomar la muestra (x 1 .x 2 , ..., x n ) y evaluar el estadístico de contraste bajo H 0 , es decir ŵ =d(x 1 .x 2 , ..., x n ; H 0 ).42 CONTRASTES DE HIPÓTESIS.

4.-) Concluir si la diferencia ŵ es estadísticamente significativa (se rechaza H 0 o no), según elp-valor del estadístico ŵ. Para ello podemos fijar un nivel de confianza 1 − α determinado y tomar unadecisión en base al mismo. La regla de decisión, tras calcular el p-valor, es:Si p-valor > α aceptamos H 0Si p-valor ≤ α rechazamos H 0Recordemos que α = P (Error tipo I) =P (rechazar H 0 siendo cierta). Con la regla anterior, nosotrosfijamos el mayor valor para la probabilidad del error tipo I que estamos dispuestos a admitir; es decir,estamos dispuestos a rechazar la hipotesis nula siendo cierta con una probabilidad máxima deequivocarnos igual a α.6.2 Estadísticos utilizadosA continuación, indicamos los estadísticos que se utilizan para los principales contrastes de tipoparamétrico, y la distribución que siguen cuando la hipótesis nula es cierta.Para la media de una variable normal μ 0 (H 0 : μ = μ 0 ).- Si se conoce la desviación típica σ :w = x − μ oσ/ √ n∈ N(0, 1).- Si no se conoce la desviación típica:Para la varianza σ 2 0 (H 0 : σ 2 = σ 2 0).w =x − μ oŜ n−1 / √ n ∈ t n−1.- Si se conoce la media μ :w =∑ ni=1 (x i − μ) 2σ 2 o∈ χ 2 n.- Si no se conoce la media:w = nS2 nσ 2 o= (n − ∑ n 1)Ŝ2 n−1 i=1=(x i − ¯x) 2σ 2 oσ 2 o∈χ 2 n−1.Para la diferencia de medias de 2 variables normales X e Y independientes: (H 0 : μ 1 = μ 2 oμ 1 − μ 2 =0).ESTADíSTICOS UTILIZADOS 43

- Conociendo las desviaciones típicas:w = (x − y) − (μ 1 − μ 2 )√σ 2 1n+ σ2 2m∈ N(0, 1).- Desconociendo las desviaciones típicas pero suponiendolas iguales:w = √(x − y) − (μ 1 − μ 2 )(n−1)Ŝ2 n−1 +(m−1)Ŝ2 m−1n+m−2√1n + 1 m∈ t n+m−2 .- Desconociendo las desviaciones típicas y supuesto que los tamaños de las muestras son grandes(n, m ≥ 30) :√Ŝ2n−1nw = (x − y) − (μ 1 − μ 2 )+ Ŝ2 m−1m≈ N(0, 1)(el símbolo ≈ indica que la distribución, en lugar de ser exacta, es una aproximación).- Desconociendo las desviaciones típicas y supuesto que los tamaños de las muestras son pequeños(n, m < 30) :siendo Δ el entero más próximo aPara la razón de varianzas (H 0 : σ2 2σ 2 1√Ŝ2n−1nw = (x − y) − (μ 1 − μ 2 )((m − 1) Ŝ2 n−1(m − 1)(Ŝ2n−1n= cte) :+ Ŝ2 m−1mn∈ t n+m−2−Δ ,) 2− (n − 1) Ŝ2 m−1m) 2 (Ŝ2+(n − 1)m−1m) 2.w = Ŝ2 n−1σ 2 2Ŝ 2 m−1σ 2 1∈ F n−1,m−1 .Para una proporción (H 0 : p = p 0 ):w = ˆp − p 0√p 0 (1−p 0 )n≈ N(0, 1).Contraste para la diferencia de proporciones (H 0 : p 1 = p 2 o p 1 − p 2 =0):w = (ˆp 1 − ˆp 2 ) − (p 1 − p 2 )√≈ N(0, 1).ˆp 1 (1− ˆp 1 )n 1+ ˆp 2(1− ˆp 2 )n 2El p−valor se calcula en función de la distribución que sigue el estadístico del contraste, y de queel contraste sea bilateral o unilateral. Supongamos, por ejemplo, el contraste para la media de una44 CONTRASTES DE HIPÓTESIS.

Figura 6-1: p-valor en un contraste bilateral: área en gris.variable normal con desviación típica desconocida, y en la hipótesis nula H 0 : μ = μ 0 .Si H 1 es de laforma H 1 : μ ≠ μ 0 , entonces el nivel crítico o p-valor es 2 veces el área a la derecha del valor absolutodel estadístico del contraste ŵ (Figura 6-1).Si H 1 es de la forma H 1 : μ>μ 0 , el nivel crítico es el área a la derecha del estadístico del contraste(Figura 6-2). Si H 1 es de la forma H 1 : μ

Figura 6-3: p-valor en un contraste unilateral (caso 2).con función de densidad no simétricas, como la Chi-cuadrado o la F de Snedecor, puede aparecerun problema en el caso de contrastes bilaterales, puesto que el valor del estadístico ŵ no tiene unvalor simétrico −ŵ. Lo único que debemos hacer es calcular el área a la derecha e izquierda de ŵ, yel p-valor será la cantidad mínima multiplicada por 2. Por ejemplo, en la Figura 6-4 vemos el dibujode la densidad de la Chi-cuadrado con 6 grados de libertad. Hemos marcado un valor para ŵ donde,claramente, el área a su derecha es más pequeña que el área a su izquierda. Si el contraste queestamos realizando es tal que, en la hipótesis alternativa H 1 aparece el signo “ > ”, entonces el p-valor sería dicho área a la derecha. Si el contraste fuese bilateral (esto es, en la hipótesis alternativaH 1 aparece “ ≠”, el p-valor sería el área sombreada pero multiplicada por 2).Ejemplo. Se realizó un experimento orientado a comprobar la efectividad de un nuevo tipo detratamiento para el dolor de piernas, a través de una máquina de dar calambres, comprada en “Timoa distancia TV”. Se seleccionaron 12 pensionistas, y el grado de dolor, según la escala de Dolores(nueva ministra de Sanidad) fue de la forma 0.6, 0.8, -1.1, 3.4, 5.6, 0.8, 1.2, 1.5, -0.2, 3.2, 2.7, 1.6(positivo mejora, negativo empeora). Verificar si a la seguridad social le interesa comprar la nuevamáquina (suponer normalidad en la variable).Solución.Si la máquina es buena, el nivel medio aumentará: la variable X =“grado de la mejoría” ∈ N(μ, σ)será tal que μ>0. Entonces tenemos que contrastar H 0 : μ =0(μ ≤ 0) frente a H 1 : μ>0. De lamuestra obtenemosn =12, ¯x =1.675, ŝ n−1 =1.80.46 CONTRASTES DE HIPÓTESIS.

Figura 6-4: p-valor en un contraste unilateral (caso 1) para una densidad no simétrica.El estadístico que tenemos que utilizar esw =x − μ oŜ n−1 / √ n ∈ t n−1 si H 0 es cierta.En este caso,ŵ =x − μ oŜ n−1 / √ n = 1.67 − 0√1.8=3.211.12El p−valor es el área a la derecha de ŵ, que es 0.004. En consecuencia, se rechazaría la hipótesisnula (se aceptaría la hipótesis alternativa). Diriamos que, con esta muestra, no podemos aceptar lahipótesis nula de que el grado medio permanezca igual.ESTADíSTICOS UTILIZADOS 47

6.3 Apéndice A. Bibliografía recomendada.Entre los muchos libros que existen, recomendaríamos los siguientes como textos donde encontrar lateoría necesaria, profusamente desarrollada.Ardanuy Albajar, R. Estadística para ingenieros. Hespérides, Salamanca.Gonick, L. y Smith, W. La estadística en cómic. Editorial Zendrera Zariquiey, Barcelona.Martín Pliego, F. J. Introducción a la Estadística Económica y Empresarial. Teoría y Práctica.Thomson.Martín Pliego, F. J. y Ruiz Maya, L. Fundamentos de Probabilidad. Thomson.Milton, S. Estadística para biología y ciencias de la salud. McGraw-Hill (libro de texto clásico enbiología, donde se fomenta el aspecto aplicado sobre los conocimientos matemáticos).Montgomery, D. C. y Runger, G. C. Probabilidad y Estadística aplicadas a la Ingeniería. McGraw-Hill.Peña Sánchez de Rivera, D. Fundamentos de estadística. Alianza Editorial.Samuels, M. L., Witmer, J. A. y Schaffner, A. Fundamentos de estadística para las ciencias dela vida. Pearson España.Uña Juárez, I., Tomeo Perucha, V. y San Martín Moreno, J. Lecciones de cálculo de probabilidades.Thomson.En internet también existen multitud de apuntes y ejercicios de distintas asignaturas de estadística,en las diferentes carreras universitarias. Recomendamos hacer una buena busqueda si se quiereobtener una recopilación de material docente decente.Por ejemplo, en la dirección:http://www.bioestadistica.uma.es/baron/bioestadistica.pdf se encuentra el libro en pdf de F. RíusDíaz, F. J. Barón Lopez, E. Sánchez Font y L. Parras Guijosa: “Bioestadística. Métodos y aplicaciones”.Como software de estadística, recomendamos el software libre R:R: A Language and Environment for Statistical Computing. http://www.R-project.org.El manual R para Principiantes (versión en español de R for Beginners) puede descargarse dehttp://cran.r-project.org/doc/contrib/rdebuts es.pdfEl paquete de R llamado R-Commander contiene un entorno de ventanas para la realización decálculos estadísticos. Su manual R: Estadística Básica con R y R-Commander puede conseguirse enhttp://knuth.uca.es/ebrcmdr.48 CONTRASTES DE HIPÓTESIS.

Parte IIEjercicios49

7. PROBABILIDADNota. En este tema y en los siguientes, las probabilidades referidas a variables tales como la binomial,Poisson, normal, etc. se calcularon a través de alguna página de internet. Está claro que hoy endía parece totalmente desfasado utilizar tablas para calcular cuantiles o el valor de la función dedistribución, existiendo tantas páginas de internet y paquetes estadísticos (algunos gratuitos, como ellenguaje R) que nos proporcionan dichos valores. De igual forma, los sumatorios de tipo infinito sehan realizado por medio de alguna aproximación numérica.1. En un concurso de la tele, una urna contiene dos bolas blancas y una negra. Tres concursantessacan, sucesivamente, una bola de la urna sin devolverla a la misma. El primero que obtenga labola negra podrá acostarse con la mujer del presentador. Calcular quien tiene mayor probabilidadde ganar.Solución.Llamemos B i =“bola blanca en extracción i” y N i =“bola negra en extracción i”.P (gane el primero) =P (N 1 )=1/3.P (gane el segundo) =P (B 1 ∩ N 2 )=P (B 1 )P (N 2 /B 1 )= 2 3 · 12 =1/3.P (gane el tercero) =P (B 1 ∩ B 2 ∩ N 3 )=P (B 1 )P (B 2 /B 1 )P (N 3 /B 1 ∩ B 2 )= 2 3 · 12 · 1=1/3.Luego los 3 tienen la misma probabilidad de ganar.2. Con un colocón de ginebra de garrafa, la probabilidad de hacer blanco con una automática enun Burger King es 0.2. Johnny se ha levantado con ganas de irse al otro barrio pero “haciendolimpieza”. Agarra su automática que le regalaron por navidad y se va al Burger King de subarrio. Sabiendo que el arma está estropeada y sólo va a poder disparar 3 balas, ¿cuál es laprobabilidad de matar a 3 personas, y cuál es la probabilidad de que mate a alguien?Solución.Llamamos B i =“hacer blanco con la bala i”.P (matar a 3 personas) =P (hacer blanco con las 3 balas) =P (B 1 ∩B 2 ∩B 3 )=P (B i ) 3 =(0.2) 3 =0.008 .PROBABILIDAD 53

P (matar a alguien) =P (hacer blanco con alguna bala) =P (B 1 ∪ B 2 ∪ B 3 )=P (B 1 )+P (B 2 )+P (B 3 ) − P (B 1 ∩ B 2 ) − P (B 1 ∩ B 3 ) − P (B 2 ∩ B 3 )+P (B 1 ∩ B 2 ∩ B 3 )==0.2+0.2+0.2 − 3 · 0.2 · 0.2+(0.2) 3 =0.488 . 3. Se sortea un viaje a Tailandia entre los 120 mejores clientes de una agencia de automóviles. Deellos, 65 son mujeres, 80 están casados y 45 son mujeres casadas. ¿Cuál será la probabilidadde que le toque el viaje a un hombre soltero?Solución.Denotamos los sucesos C=“casado”, S=“soltero”, H=“hombre”, M=“mujer”. Con los datos quenos dan podemos formar la tabla:C SHM 45 6580 120Ahora rellenamos los huecosC SH 35 20 55M 45 20 6580 40 12054 PROBABILIDAD

La probabilidad que nos piden es la probabilidad de la intersección H ∩ S :P (H ∩ S) = 20120 = 1 6 . 4. El presidente Búdin lanza un dardo sobre el círculo que tiene enfrente de su mesa, y que constituyeun mapa de los llamados “países del círculo del mal”. En una circunferencia concéntrica,de radio la mitad del mapa, está Chochonia, un país al que el presidente le tiene especial tirria.¿Cuál es la probabilidad de que el dardo caiga en dicho país?Solución.La probabilidad es casos favorables dividido por casos posibles. En este caso los casos posiblescorresponden al círculo entero de radio r, y los favorables al círculo de radio r/2.P robabilidad =área del círculo pequeñoárea del círculo grande= π(r/2)2πr 2= 1 4 . 5. Las empresas de comidas Caking y Bolling estudian la posibilidad de abrir una tienda franquiciaen una nueva zona residencial. Si Caking no abre la sucursal, Bolling tampoco la abrirá con probabilidad0.8. Sin embargo, si Caking abre la sucursal, Bolling también lo hará con probabilidad0.8. Determinar la probabilidad de que se abran las 2 tiendas o ninguna de ellas.PROBABILIDAD 55

Solución.Definimos los sucesos: C=“Caking abre la sucursal” y B=“Bolling abre la sucursal”.Datos que nos dan: P ( ¯B/ ¯C) =0.8. P(B/C) =0.8. Nos pidenP ((C ∩ B) ∪ ( ¯C ∩ ¯B)) == P (C ∩ B)+P ( ¯C ∩ ¯B) =P (C)P (B/C)+P ( ¯C)P ( ¯B/ ¯C) ==0.8 · P (C)+0.8 · (1 − P (C)) = 0.8. 6. Una conocida dama de la alta sociedad le pone los cuernos a su marido, con su amante africano,el 60 por ciento de las veces. Si la probabilidad de que su marido la deje embarazada es del30 por ciento, y de que la deje el amante es del 55 por ciento, a) ¿cuál es la probabilidad deque la famosa quede embarazada? b) La famosa ha quedado embarazada y el niño ha nacidomuy morenito. El marido duda de su paternidad. ¿Cuál es la probabilidad de que el hijo searealmente suyo?Solución.Definimos los sucesos:E =“quedarse embarazada”, M =“acostarse con el marido”, A =“acostarse con el amante”.Sabemos que P (A) =0.6, P(E/M)=0.3 y P (E/A)=0.55.a) La dama se queda embarazada si se acuesta con el marido ó con el amante (ambas cosasson incompatibles, se supone), por lo tanto:E =(E ∩ M) ∪ (E ∩ A), luego P (E) =P (E ∩ M)+P (E ∩ A) =P (M)P (E/M)+P (A)P (E/A)=(1 − 0.6) · 0.3+0.6 · 0.55 = 0.45.b) Tenemos que calcular P (M/E). Por la definición de probabilidad condicionada:P (M/E) =P (M ∩ E)P (E)=P (E/M)P (M)P (E)=0.3 · 0.40.45=0.266.56 PROBABILIDAD

7. En la ría de Apestuosa, los mejillones pueden estar contaminados por: el Prestige (72 porciento), armas de destrucción masiva tiradas al mar (17 por ciento) o por meadas de los turistasguarros (11 por ciento). Si cada tipo de contaminación provoca una diarrea con probabilidad 0.9,0.8 y 0.85, respectivamente, calcular la probabilidad de que un dominguero se harte de mariscoy no agarre una intoxicación.Solución.Definimos los sucesos:A 1 =“mejillones contaminados por el Prestige”,A 2 =“mejillones contaminados por armas de destrucción masiva”,A 3 =“mejillones contaminados por meadas”.D=“diarrea”.Tenemos que P (A 1 ) = 0.72,P(A 2 ) = 0.17,P(A 3 ) = 0.11. P(D/A 1 ) = 0.9,P(D/A 2 ) = 0.8 yP (D/A 3 )=0.85.P ( ¯D) =3∑P ( ¯D/A k )P (A k )=0.1 · 0.72+0.2 · 0.17+0.15 · 0.11 = 0.122 5.k=1PROBABILIDAD 57

8. En el armario de una choni hay cinco frascos con píldoras sedantes. Las del frasco A songravemente tóxicas y las de los cuatro restantes son ligeramente tóxicas. Antes de dormirse,la choni toma una pastilla eligiendo aleatoriamente el frasco, pues cree que las píldoras de loscinco frascos son del mismo tipo. Al cabo de un rato siente gran malestar y cae en la cuentade que el frasco A contiene píldoras gravemente tóxicas. A través de un chateo en forocoches,se entera de que las píldoras de A causan el malestar que siente en el 90 por ciento de loscasos, mientras que las píldoras de los otro cuatro frascos sólo lo causan en el 15 por ciento delos casos. Como la muy gilipollas sabe estadística, en vez de ir a Urgencias se dedica a hacercuentas para decidir si volverse a la cama o no. ¿Con qué probabilidad puede afirmar que lapíldora tomada pertenecía al frasco A?.Solución.A=“elegir pastilla del frasco A”. M=“malestar”. P (M/A) =0.9,P(M/Ā) =0.15.P (A/M) =P (M/A)P (A)P (M/A)P (A)+P (M/Ā)P (Ā) = 0.9 · 150.9 · 1 +0.15 · 4 =0.6. 5 59. En la consulta de un afamado quiromasajista un letrero luminoso reza: “se enderezan cherepas”.El porcentaje de personas con cifosis que no rompen tras un tratamiento de esos es, a los dosmeses, del 50 por ciento, y de un 28 por ciento a los siete meses. ¿Cuál es la probabilidad deque un hombre que ha sobrevivido 2 meses sobreviva siete?58 PROBABILIDAD

Solución.P (7/2) =P (7 ∩ 2)P (2)=(Si sobrevive 7 meses es que sobrevive 2, luego 7 ⊂ 2) == P (7)P (2) = 0.280.5 =0.56. 10. Se dispone de una máquina de la verdad que nos advierte que un hombre es infiel el 95 porciento de las veces en que realmente lo ha sido. Si el hombre no ha sido infiel, nos dice que loha sido el 5 por ciento de las veces. El gobierno impone a todos los hombres de la poblaciónpasar por la máquina. Ilitri entra en la máquina y ésta pita (dice que ha sido infiel). Calcular laprobabilidad de que Ilitri le haya puesto los cuernos a su señora, sabiendo que el 90 por cientode la gente es infiel por naturaleza.Solución.Definimos los suceso T =“la máquina timbra”, F =“ser fiel”. Tenemos que P (T/¯F )=0.95,P(T/F)=0.05,P( ¯F )=0.9.Nos piden P ( ¯F/T). Por la regla de Bayes:P ( ¯F/T)=P (T/¯F )P ( ¯F )P (T/¯F )P ( ¯F )+P (T/F)P (F ) = 0.95 · 0.90.95 · 0.9+0.05 · 0.1 =0.994 . 11. En la secretaria del presidente del gobierno no se puede confiar. La probabilidad de que seolvide de llamar a la mujer del presidente para decirle que está reunido con el gabinete de crisis,mientras éste se va de excursión con una becaria, es 2/3. La mujer del presidente está hasta elmoño. Son las 2 de la mañana y su marido no aparece. Si la secretaria la llama, existe la mismaprobabilidad de que al día siguiente le ponga las maletas en la calle a su marido que de que nolo haga. Ahora bien, si no recibe ninguna llamada, sólo hay un 25 por ciento de probabilidad deque olvide el asunto. Al llegar a casa (a las cinco de la mañana, ojeroso, ebrio y descamisado)el presidente encuentra sus cosas tiradas por las escaleras del palacio presidencial (incluido suosito de peluche preferido). ¿Cuál es la probabilidad de que su secretaria no haya llamado a sumujer?Solución.Definimos los sucesos: L=“la secretaria llama a la mujer”, E=“la mujer echa de casa al presidente”.Los datos que nos dan son: P (E/L)=P (Ē/L)=0.5, P(Ē/¯L) =0.25 y P (¯L) =2/3. Nospiden P (¯L/E), que calculamos usando la fórmula de Bayes:P (E/¯L)P (¯L)P (¯L/E) =P (E/¯L)P (¯L)+P (E/L)P (L) = 0.75 · 230.75 · 2 +0.5 · 1 =0.75. 3 3PROBABILIDAD 59

12. Como dicen los gallegos, las brujas no existen, “pero haberlas, haylas” (anda que no se vendetrás de las ventanillas de ministerios...). Una máquina del famoso cazafantasmas Tristran-Braker tiene dos luces: roja para avisar de la presencia de una bruja, y verde para avisar de quela zona está despejada. Cuando entran en una zona peligrosa, TristranBraker activa la máquinay, automáticamente, se enciende una u otra luz. Se enciende la luz roja, con probabilidad 0.9,en caso de que esté cerca realmente una bruja. Si no hay, detecta la ausencia (se ilumina la luzverde) con probabilidad 0.8. Sabiendo que la probabilidad de que en un bosque haya brujas es0.20, calcular la probabilidad: a) de que realmente haya brujas cuando la máquina ha detectadopresencia. b) De que realmente haya brujas cuando la máquina ha detectado ausencia. c) Deque haya brujas y además la máquina las detecte.Solución.Definimos los sucesos: B=“hay brujas”, R=“la máquina detecta brujas (rojo)” y V =“la máquinadice que no hay brujas (verde)”. Los datos que nos dan son:P (R/B) =0.9,P(V/¯B) =0.8,P(B) =0.2.Al conocer P (R/B) y P (V/¯B) podemos conocer P (R ∩ B) y P (V ∩ ¯B), puesto queP (R/B) =P (R ∩ B)P (B)y P (V/¯B) =P (V ∩ ¯B)P ( ¯B) , con lo queP (R ∩ B) =0.2 · 0.9 =0.18 y P (V ∩ ¯B) =0.8 · 0.8 =0.64.Ahora podemos deducir las probabilidades de las otras dos intersecciones de sucesos que nosfaltan, esto es R ∩ ¯B y V ∩ B, puesto que, al ser V y R sucesos mutuamente excluyentes (siocurre uno no ocurre el otro, y viceversa), entonces:B =(V ∩ B) ∪ (R ∩ B) y¯B =(V ∩ ¯B) ∪ (R ∩ ¯B).Por lo tantoP (V ∩ B) =P (B) − P (R ∩ B) =0.2 − 0.18 = 0.02yP (R ∩ ¯B) =P ( ¯B) − P (V ∩ ¯B) =0.8 − 0.64 = 0.16.Ahora podemos contestar a las cuestiones planteadas.60 PROBABILIDAD

a) Nos piden P (B/R). Por el teorema de Bayes,P (B/R) =P (R/B)P (B)P (R/B)P (B)+P (R/ ¯B)P ( ¯B) .Como P (R/B)P (B) =P (R ∩ B) y P (R/ ¯B)P ( ¯B) =P (R ∩ ¯B), tenemos queb) nos piden P (B/V ).P (B/R) =P (R ∩ B)P (R ∩ B)+P (R ∩ ¯B) = 0.180.18+0.16 =0.529.P (B/V )=P (V ∩ B)P (V )=P (V ∩ B)P (V ∩ B)+P (V ∩ ¯B) = 0.020.02+0.64 =0.03c) Es simplemente P (R ∩ B) =0.18. 13. Un asesino profesional compra sus armas a dos casas proveedoras. La primera le sirve el 60por ciento de las armas, de los cuales el 4 por ciento son defectuosas. La segunda proporcionael resto, siendo defectuosas el 1,5 por ciento. Un día, el asesino es contratado por la TIA paraque elimine al presidente ruso y falla. La probabilidad de que deba ir a vengarse a la primeracasa suministradora es:Solución.Definimos los sucesos: A 1 =“arma de la casa 1”, A 2 =“arma de la casa 2” y D=“arma defectuosa”.Con los datos que nos dan sabemos queP (A 1 )=0.6,P(A 2 )=0.4,P(D/A 1 )=0.04,P(D/A 2 )=0.015.PROBABILIDAD 61

Nos piden P (A 1 /D). Por la regla de Bayes:P (A 1 /D) =P (D/A 1 )P (A 1 )P (D/A 1 )P (A 1 )+P (D/A 2 )P (A 2 ) = 0.04 · 0.60.04 · 0.6+0.015 · 0.4 =0.8. 14. Un profesor de universidad es denunciado ante el rector por hacer problemas con enunciadosatípicos, por motivos tales como “que dicha actitud no es seria para una profesión tan prestigiosa”o que “se pasa tres pueblos ya que no tiene gracia ninguna”. En un escrito presentado en elrectorado, el 50 por ciento de los firmantes señalan la primera razón para ponerlo a caldo, el30 por ciento señalan la segunda razón, y el 15 por ciento señalan ambas razones. El resto defirmantes firmó unicamente, sin leer el escrito, creyendo que eran firmas contra los recortes delministerio. Se pide: a) Probabilidad de que un firmante, al que llama un periodista para saber suopinión, haya utilizado el primer motivo. b) Probabilidad de que un firmante seleccionado al azarsólo haya esgrimido un motivo. c) ¿Qué porcentaje de gente firmó sin leer?Solución.Llamamos A=“usar el primer motivo”, B=“usar el segundo motivo”. Tenemos que P (A) =0.5,P(B) =0.3,P(A ∩ B) =0.15.Podemos crear la tabla (los datos que conocemos están en negrita, y completamos el resto):AAB 0.15 0.15 0.3B 0.35 0.35 0.70.5 0.5 1a) P (A ∪ B) =P (A)+P (B) − P (A ∩ B) =0.5+0.3 − 0.15 = 0.65.b) P ( ( A ∩ ¯B ) ∪ ( Ā ∩ B ) )=P (A ∩ ¯B)+P ( Ā ∩ B ) =0.35+0.15=0.5.c) P (firmar en blanco) =1− P (usar algún motivo) =1− 0.65 = 0.35, es decir el 35 por cientofirmó en blanco.15. Se ha observado que los hombres y las mujeres reaccionan de manera diferente ante la intromisiónde un dedo en el tercer ojo. El 70 por ciento de los hombres reaccionan con alegría,mientras que eso sólo sucede en el 20 por ciento de las mujeres. En un programa científico detelevisión se somete a una prueba a 20 personas, 15 mujeres y 5 hombres, para descubrir susreacciones. Una intromisión aleatoria da lugar a un suspiro placentero. ¿Cuál es la probabilidadde que se le haya hecho a un hombre?62 PROBABILIDAD

Solución.A=“Reaccionar con alegría”. P (A/H) =0.7.P(A/H) =0.2. Por otro lado, como hay 20 personas,15 mujeres y 5 hombres, tenemos que P (H) =5/20 y P (M) =15/20.P (H/A) =P (A/H)P (H)P (A/H)P (H)+P (A/M)P (M) = 0.7 · 5200.7 · 515+0.2 ·20 20=0.53. 16. La primera aplicación de un insecticida mata al 80 por ciento de los mosquitos. Los supervivientesdesarrollan resistencia y, en cada aplicación posterior el porcentaje de muertos sereduce a la mitad del verificado en la aplicación inmediatamente anterior. Así, en la segundaaplicación muere el 40 por ciento de los supervivientes de la primera aplicación; en la terceraaplicación muere el 20 por ciento, etc. ¿Cuál es la probabilidad de que un “mosquitus cojonerus”sobreviva a cinco aplicaciones?Solución.A i =“matar al mosquito en la aplicación i”.P (Ā1 ∩ Ā2 ∩ Ā3 ∩ Ā4 ∩ Ā5) == P (Ā1)P (Ā2/Ā1)P (Ā3/Ā1 ∩ Ā2)P (Ā4/Ā1 ∩ Ā2 ∩ Ā3)P (Ā5/Ā1 ∩ Ā2 ∩ Ā3 ∩ Ā4) ==0.2 · 0.6 · 0.8 · 0.9 · 0.95 = 0.082 . 17. Los mozos de cierta policía autonómica utilizan dos tipos de interrogatorios A y B, que logranuna falsa confesión de lo que sea (es decir, el sospechoso firma con tal de que paren), en el 20por ciento y 30 por ciento de los casos, respectivamente. Suponiendo que ambos interrogatoriosactúan de modo independiente, ¿cuál de las dos siguientes estrategias utilizarías para conseguirPROBABILIDAD 63

que aparezca de una vez el asesino del zodíaco?: a) aplicar ambos interrogatorios a la vez; b)aplicar primero el interrogatorio B y, si no surte efecto, aplicar el A; c) ídem comenzando por elA.Solución.P (el interrogatorio A consigue la falsa confesión) =P (A) =0.2. P(el interrogatorio B consiguela falsa confesión) =P (B) =0.3.La mejor estrategia será la que proporcione mayor probabilidad de las tres opciones posibles.- aplicar ambos interrogatorios a la vez: o funciona A, o funciona B o funcionan ambos interrogatorios:A ∪ B.- aplicar primero A y luego B si falla A : A ∪ (B − A).- aplicar primero B y luego A si falla B : B ∪ (A − B).a) P (A ∪ B) =P (A)+P (B) − P (A)P (B) =0.2+0.3 − 0.06 = 0.44.b) P (A)+P (Ā ∩ B) =P (A)+P (Ā)P (B) =0.2+(1− 0.2)0.3 =0.44.c) P (B)+P ( ¯B ∩ A) =P ( ¯B)P (A) =P (B)+(1− P (B))P (A) =0.3+0.7 · 0.2 =0.44.Como vemos, las tres estrategias son equivalentes.18. Una pareja muy previsora desea planificar sus primeros años tras el matrimonio. Sabiendo quedesean tener cinco hijos, y que la probabilidad de tener niño o niña coinciden, determinar laprobabilidad de que una pareja tenga cinco hijos que sean: a) de sexos alternos, empezandopor un varón. b) de sexos alternos. c) Todas niñas. d) Todos del mismo sexo. e) Al menos cuatroniñas.Solución.H=“hombre”, M=“mujer”. P (H) =P (M) =1/2.a) P (H ∩ M ∩ H ∩ M ∩ H) = ( 12) 5=0.03125.b)P ((H ∩ H ∩ H ∩ H ∩ H) ∪ (M ∩ M ∩ M ∩ M ∩ M) == P (H ∩ H ∩ H ∩ H ∩ H)+P (M ∩ M ∩ M ∩ M ∩ M) ==2· 0.031 25 = 0.0625.c) P (M ∩ M ∩ M ∩ M ∩ M) =0.03125.64 PROBABILIDAD

d) Todos hombres o todas mujeres, es decir 2 · 0.031 25 = 0.0625.e) El suceso complementario de “al menos cuatro niñas” es “máximo 1 niño”.“Máximo 1 niño”= (H ∩ M ∩ M ∩ M ∩ M) ∪ (M ∩ H ∩ M ∩ M ∩ M) ∪ ... ∪ (M ∩ M ∩ M ∩ H ∩ M) ∪(M ∩ M ∩ M ∩ M ∩ M).Luego la probabilidad de máximo un niño es 6 · 0.03125 = 0.1875, así que la probabilidad de almenos cuatro niñas es 1 − 0.1875. 19. En el pueblo de Crepúsculo, los distintos seres que allí viven se reparten, según los porcentajes:Humanos (46 por ciento), Vampiros (10 por ciento), Hombres Lobo (4 por ciento), Orcos mordorianos(40 por ciento). Teniendo en cuenta las incompatibilidades que existen entre los grupos,calcular la probabilidad de que, dados dos seres X e Y elegidos al azar, X pueda recibir sangrede Y.Las incompatibilidades para dar y recibir sangre son:Los humanos pueden donar a cualquiera. Los Vampiros sólo pueden donar a sí mismos y a losOrcos. Los Hombres Lobo sólo pueden donar a sí mismos y a los Orcos. Los Orcos no puedendonar a nadie salvo a sí mismos.Solución.Definimos los sucesos: H =“humanos”, V =“vampiros”, HL=“hombres lobo”, O=“orcos”. Tenemosque calcular la probabilidad del suceso(H ∩ H) ∪ (H ∩ V ) ∪ (H ∩ HL) ∪ (H ∩ O)∪PROBABILIDAD 65

∪ (V ∩ V ) ∪ (V ∩ O) ∪ (HL ∩ HL) ∪ (HL ∩ O) ∪ (O ∩ O).Su probabilidad esP =0.46 · 0.46+0.46 · 0.10+0.46 · 0.04+0.46 · 0.40+0.10 · 0.10++0.10 · 0.40+0.04 · 0.04+0.04 · 0.40+0.40 · 0.40 = 0.687. 20. Una mujer portadora del gen de los chupasangres -que, como todo el mundo sabe, es igualmenteprobable que transmita el virus vampírico como que no lo transmita- da a luz tres hijosde su relación con Edward Cullen. a) ¿Cuál es la probabilidad de que, de los tres hijos, ningunosalga vampiro? b) ¿Cuál es la probabilidad de que exactamente dos de los tres hijos salganvampiros?.Solución.Llamamos V =“tener el virus vampírico”.P (V )=1/2.a) P ( ¯V 1 ∩ ¯V 2 ∩ ¯V 3 )=P ( ¯V i ) 3 =(1/2) 3 =1/8.b) P ( ( V 1 ∩ ¯V 2 ∩ ¯V 3)U( ¯V1 ∩ V 2 ∩ ¯V 3 ) ∪ ( ¯V 1 ∩ ¯V 2 ∩ V 3 )) = 3 · 12 · 12 · 12 = 3 8 . 21. El convertirse en hombre lobo se hereda a través de un gen dominante. Jake y su madreson hombres lobo; no lo son ni el padre ni la mujer de Jake. Si Jake y su mujer tienen doshijos, calcular la probabilidad de que: a) Al menos uno de los dos hijos sea hombre lobo. b)Exactamente uno de los hijos sea hombre lobo.66 PROBABILIDAD

Solución.Como se ve en el gráfico, hay 4 posibles combinaciones de los genes. En el caso de queaparezca el gen dominante D entonces el hijo(a) sería hombre lobo. La probabilidad de tener unhijo hombre lobo es 2 = 1.4 2Llamemos HL i el suceso “el hijo i es hombre lobo”.a) De dos hijos, al menos uno hombre lobo. SeríaP (HL 1 ∪ HL 2 )=P (HL 1 )+P (HL 2 ) − P (HL 1 ∩ HL 2 )=0.5+0.5 − 0.5 · 0.5 =0.75.b) Exactamente uno es hombre lobo.P (HL 1 ∩HL 2 )+P (HL 1 ∩HL 2 )=P (HL 1 )(1−P (HL 2 ))+(1−P (HL 1 ))P (HL 2 )=0.5·0.5+0.5·0.5 =0.5. 22. El 18 por ciento de los hombres confiesa que ha pagado por tener relaciones sexuales, frente al1 por ciento de las mujeres. Necesitamos dinero para el bus y decidimos pedirle prestado a laprimera persona que pase a nuestro lado. Aparece alguien con una gabardina y la cara tapada,así que no vemos si es hombre o mujer. Echa la mano al bolsillo y resulta que está a dos velas.¿cuál es la probabilidad de que venga de pasar un buen ratito en su antro preferido?Solución.Definimos los sucesos:P =“pagar por relaciones sexuales”, H=“hombre”, M=“mujer”.PROBABILIDAD 67

Tenemos que P (P/H)=0.18,P(P/M)=0.01.Nos piden P (P )=P (P/M)P (M)+P (P/H)P (H) =0.01 · 12 +0.18 · 12 =0.095. 23. La postura sexual favorita para el 33 por ciento de los jóvenes españoles es con la pareja encimao debajo. El 8 por ciento se decanta por el “69”, el 2 por ciento prefiere hacerlo de pie y el restoen posturas varias e indescriptibles. Teniendo en cuenta que la probabilidad de llegar al climaxen estas situaciones es, respectivamente, de 0.7, 0.8 y 0.5 y 0.2, ¿crees que la cara de alucinadodel vecino de abajo es porque nació así, o bien porque ayer por fin la gorda de su novia decidióque no le dolía la cabeza?Solución.Definimos los sucesos: A=“pareja encima”, B=“el 69”, C=“de pie”, D=“resto de posturas”, E=“llegaral climax”. Se tiene que P (A) = 0.33,P(B) = 0.08,P(C) = 0.02,P(D) = 0.57. P(E/A) =0.7, P(E/B)=0.8, P(E/C)=0.5, P(E/D)=0.2. Por el teorema de las probabilidades totales,la probabilidad de llegar al climax esP (E) =P (E/A)P (A)+P (E/B)P (B)+P (E/C)P (C)+P (E/D)P (D) ==0.7 · 0.33+0.8 · 0.08+0.5 · 0.02+0.2 · 0.57 = 0.419.Luego la probabilidad de que el vecino no llegara al climax es más probable que la de que síllegara, sospechamos que su cara la tiene siempre así. 24. El estudiante medio de estadística ve “Walking Breaking” en un porcentaje del 80 por ciento.Un 5 por ciento, en cambio, utiliza ese tiempo para ir a pasantía de estadística. El porcentajede estudiantes que hace ambas cosas es del 3 por ciento (en las pasantías ponen la tele).La señora Carmelita, de 112 años de edad, llega a casa después de hacer la compra en elMercadona. ¿Cuál es la probabilidad de que esté suinútil nieto de 49 años sentado en el sillóndel sofá, latando a pasantia y viendo Walking Breaking?Solución.Denotamos los sucesos T =“ver Walking Breaking”, E=“ir a pasantía de estadística”.P (T )=0.8,P(E) =0.05,P(E ∩ T )=0.03Nos preguntan P (Ē ∩ T ).68 PROBABILIDAD

Construímos una tablaAhora rellenamos los huecosE ET 0.03 0.8T0.05 1E ET 0.03 0.77 0.8T 0.02 0.18 0.20.05 0.95 1De esta última tabla calculamos directamente P (Ē ∩ T )=0.77.25. Juanito, Jorgito y Jaimito están fardando de sus próximas conquistas del sábado noche. Laprobabilidad de que Juanito moje el sábado es 1/6, la probabilidad de que moje Jorgito es 1/4 yla de Jaimito 1/3. El domingo se encuentran los tres para contarse sus aventuras.a) ¿Cuál es la probabilidad de que realmente haya mojado alguno de los 3? b) ¿Cuál es laprobabilidad de que sólo haya mojado uno? c) Si sólo uno ha mojado, ¿cuál es la probabilidadde que haya sido Juanito?Solución.a) Definamos A 1 =“moja Juanito”, A 2 =“moja Jorgito”, A 3 =“moja Jaimito”. P (A 1 )=1/6, P(A 2 )=1/4 y P (A 3 )=1/3.Nos piden P (A 1 ∪ A 2 ∪ A 3 )== P (A 1 )+P (A 2 )+P (A 3 ) − P (A 1 ∩ A 2 ) − P (A 2 ∩ A 3 ) − P (A 1 ∩ A 3 )+P (A 1 ∩ A 2 ∩ A 3 )== P (A 1 )+P (A 2 )+P (A 3 )−−P (A 1 )P (A 2 ) − P (A 2 )P (A 3 ) − P (A 1 )P (A 3 )+P (A 1 )P (A 2 )P (A 3 )== 1 6 + 1 4 + 1 3 − 1 6 · 14 − 1 4 · 13 − 1 6 · 13 + 1 6 · 14 · 13 = 712 =0.583.b) Es la probabilidad de que moje uno y los otros dos no.Le llamamos M =“moje uno y los otros dos no”=(A 1 ∩ Ā2 ∩ Ā3) ∪ (Ā1 ∩ A 2 ∩ Ā3) ∪ (Ā1 ∩ Ā2 ∩ A 3 ).P (M) =P (A 1 ∩ Ā2 ∩ Ā3)+P (Ā1 ∩ A 2 ∩ Ā3)+P (Ā1 ∩ Ā2 ∩ A 3 )=PROBABILIDAD 69

c)= P (A 1 )P (Ā2)P (Ā3)+P (Ā1)P (A 2 )P (Ā3)+P (Ā1)P (Ā2)P (A 3 )== 1 6 (1 − 1 4 )(1 − 1 3 )+(1− 1 6 )1 4 (1 − 1 3 )+(1− 1 6 )(1 − 1 4 )1 3 = 3172 =0.430.P (A 1 /M )= P (A 1 ∩ M)P (M)= P (A 1 ∩ Ā2 ∩ Ā3)P (A 1 )P (M)== P (M/A 1)P (A 1 )P (M)1 · (1 − 1) · (1 − 1) · 16 4 3 63172==0.032. 70 PROBABILIDAD

8. VARIABLES DISCRETAS1. Una pandilla de canis ha logrado cruzar Golden retrievers con Chihuahuas, esperando crear unaespecie terrible genial para los amantes de las peleas. Se ha ido anotando el número de críaspor camada para esta raza de perros. Las frecuencias observadas se presentan en la siguientetabla:N o crías 2 3 4 5 6 7 8Frecuencia relativa 0.01 0.08 0.25 0.32 0.28 0.05 0.01Dado que el número de camadas observado ha sido muy grande, podemos considerar las frecuenciasrelativas anteriores como probabilidades, disponiendo así de la distribución de la variablealeatoria X=“Número de crías por camada”.a) Obtener la función de distribución. b) Las crías las venden a 400 euros (en negro). Calcularla probabilidad de ganar más de 2000 euros con una camada.Solución.Construimos una columna sumando las probabilidades para obtener la función de distribución.X P (X = x i ) F2 0.01 0.013 0.08 0.094 0.25 0.345 0.32 0.666 0.28 0.947 0.05 0.998 0.01 1VARIABLES DISCRETAS 71

La función de distribución es, por lo tanto⎧0 si x5) = 1 − P (X ≤ 5) = 1 − F (5) = 1 − 0.66 = 0.34. 72 VARIABLES DISCRETAS

2. En una de las mansiones de Berlusconi se ha ido anotando el número de gente que se mete enla misma cama en el mismo momento. Las frecuencias observadas se presentan en la siguientetabla:N o personas 2 3 4 5 6 7 8Frecuencia relativa 0.01 0.08 0.25 0.32 0.28 0.05 0.01Dado que el número de fiestas observado ha sido muy grande, podemos considerar las frecuenciasrelativas anteriores como probabilidades, disponiendo así de la distribución de la variablealeatoria X=“Número de personas en la misma cama”. a) Obtener y representar las funcionesde masa de probabilidad y de distribución. b) Acaba de llegar a la mansión el Papa buscando aBerlusconi para darle un recado, pero Berlusconi está encamado. El Papa está mayor y le puededar un infarto si vé más de cuatro personas en la misma cama. ¿Cuál es la probabilidad de queel Papa regrese sano y salvo al Vaticano?Solución.a) La función de distribución de esta variable es la misma que la del ejercicio anterior (se hapuesto a propósito a ver si lo pillaban los canis).b) La probabilidad es P (X

de pacientes que obtienen alivio. a) Encontrar la función de masa de probabilidad para X,suponiendo que la afirmación del fabricante sea correcta.Solución.Denotamos por A=“el ácido es efectivo”. P (A) =0.9.· P (X =0)=P (Ā ∩ Ā ∩ Ā ∩ Ā) =P (Ā)4 =0.1 4 =0.0001.· P (X =1)== P [( A ∩ Ā ∩ Ā ∩ Ā) ∪ ( Ā ∩ A ∩ Ā ∩ Ā) ∪ ( Ā ∩ Ā ∩ A ∩ Ā) ∪ Ā ∩ Ā ∩ Ā ∩ A)] ==4P (Ā)3 P (A) =4· 0.1 3 · 0.9 =0.0036.· P (X =2)== P [ ( Ā ∩ Ā ∩ A ∩ A) ∪ ( Ā ∩ A ∩ Ā ∩ A) ∪ ( Ā ∩ A ∩ A ∩ Ā) ∪∪ ( A ∩ Ā ∩ Ā ∩ A) ∪ ( A ∩ Ā ∩ A ∩ Ā) ∪ (A ∩ A ∩ Ā ∩ Ā)] ==6· 0.1 2 · 0.9 2 =0.048 6.· P (X =3)== P [( A ∩ A ∩ A ∩ Ā) ∪ ( A ∩ A ∩ Ā ∩ A) ∪ ( A ∩ Ā ∩ A ∩ A) ∪ (Ā ∩ A ∩ A ∩ A)] ==4· 0.1 · 0.9 3 =0.2916.· P (X =4)=P (A ∩ A ∩ A ∩ A) =0.9 4 =0.6561.Comprobamos que 0.000 1 + 0.0036 + 0.0486 + 0.2916 + 0.6561 = 1.74 VARIABLES DISCRETAS

4. Se clasifica a los políticos de un parlamento regional, de acuerdo con sus imputaciones enjuicios por corrupción, mediante la siguiente escala: 0, poco corruptos; 1, débilmente corruptos;2, moderadamente corruptos; 3, totus corruptos. De acuerdo a las estadísticas del ministerio dejusticia, para este tipo de políticos, se tiene la siguiente ley de probabilidad para la variable X =“valor de la clasificación según el índice de corrupción”:X P (X = x i )0 0.151 0.252 0.53 0.1a) Calcular la función de distribución de X. b) Utilizar dicha función para calcular la probabilidadde que se observe al menos un índice moderado en un político, seleccionado aleatoriamente alabandonar una sesión parlamentaria para ir al bingo.Solución.a) Simplemente sumamos los valores de la ley de probabilidad de X para obtener la función deVARIABLES DISCRETAS 75

distribución F :⎧0 si x1) = 1 − F (1) = 1 − 0.4 =0.6. 5. Sea X el número de casos nuevos de la enfermedad de Parking (pierden la memoria despuésde más de cinco horas en Madrid sin encontrar aparcamiento) diagnosticados en un hospital,durante un día. La función de distribución para X es:⎧0 si x

iv) P (2 ≤ X ≤ 4) = P (1

7. Un científico nuclear que ha logrado encontrar trabajo vendiendo televisores puede manteneruna reunión diaria con uno o dos clientes con probabilidad 1/3 y 2/3 respectivamente. Cadaentrevista tendrá como resultado una venta de 2000 euros (si logra colocar una televisión 3D de100 pulgadas) o -2 euros si no vende nada (y encima le ha pagado el café al cliente). Estassituaciones se dan con probabilidad 0.1 y 0.9 respectivamente. Obtener la función de masa deprobabilidad de la variable aleatoria “ganancias diarias” y calcular la venta media diaria.Solución.Teniendo en cuenta que las posibles ventas que puede hacer son 0,1,2,3 o 4, calculamos losvalores de la variable X=“ganancias” y sus probabilidades.En una entrevista, vende con probabilidad 0.1 (X = 2000) y no vende con probabilidad 0.9(X = −2).P (X = −4) = P (2 visitasy0ventas en ambas)=P(2 visitas)·P(0 ventas / 2 visitas) = 2 ·0.9·0.9 =30.54.P (X = −2) = P (1 visita y0ventas) =P (1 visita)·P (0 ventas / 1 visita) = 1 · 0.9 =0.3.3P (X = 2000 − 2) = P (2 visitas y 1 ventas) =P (2 visitas)·P(1 venta / 2 visitas) =P (2 visitas) ·78 VARIABLES DISCRETAS

P (vende en la primera visita y en la segunda no, o vende en la segunda y en la primera no) =2 · (0.90 · 0.1+0.1 · 0.9) = 0.12.3P (X = 2000) = P (1 visita y1venta) = 1 3P (X = 4000) = P (2 visitas y2ventas) = 2 3La función de masa de probabilidad es:· 0.1 =0.13 .· 0.1 · 0.1 =0.023 .X P (X = x i )−4 0.54−2 0.31998 0.1220000.1340000.023Ganancia media diaria = E(X) =(−4)·0.54+(−2)·0.3+1998·0.12+2000· 0.10.02+4000· = 330.33.3 38. Un banquero está matriculado de 3 asignaturas para terminar el programa de garantia social dela ESO. La probabilidad de que apruebe cada una de ellas es de 0.7. Obrtener la función deprobabilidad de la variable aleatoria: número de asignaturas aprobadas.Solución.Llamamos A=“aprobar la asignatura i”.Puede aprobar 0,1,2 ó las 3.P (X =0)=P (Ā1 ∩ Ā2 ∩ Ā3) =(1− 0.7) 3 =0.027.P (X =1)=P (apruebe una y las otras dos no) == P [( A 1 ∩ Ā2 ∩ Ā3)∪(Ā1 ∩ A 2 ∩ Ā3)∪(Ā1 ∩ Ā2 ∩ A 3)]=3· 0.32 · 0.7 =0.189.P (X =2)=P (apruebe dos y la otra no) == P [( A 1 ∩ A 2 ∩ Ā3)∪(A1 ∩ Ā2 ∩ A 3)∪(Ā1 ∩ A 2 ∩ A 3)]=3· 0.3 · 0.7 2 =0.441.P (X =3)=P (A 1 ∩ A 2 ∩ A 3 )=0.7 3 =0.343.VARIABLES DISCRETAS 79

9. Se lleva a cabo un estudio comparativo de dos fármacos destinados a mantener un ritmo cardíacoconstante en pacientes que se agotan cumpliendo sus deberes conyugales (motivo de un porcentajemuy elevado de roturas matrimoniales). Sea X el número de latidos por minuto registradomediante la utilización del fármaco A e Y el número de latidos por minuto registrados conel fármaco B. Si las v.a. X e Y tienen como funciones de probabilidadX, Y 40 60 68 70 72 80 100P (X = x i ) 0.01 0.04 0.05 0.8 0.05 0.04 0.01P (Y = y i ) 0.4 0.05 0.04 0.02 0.04 0.05 0.4a) Hallar el ritmo cardíaco medio para cada fármaco. b) ¿Cuál de los dos fármacos provocaráuna mayor variación en el ritmo cardíaco de los pacientes?.Solución.a) E(X) =40· 0.01+60· 0.04+68· 0.05+70· 0.8+72· 0.05+80· 0.04 + 100 · 0.01 = 70.E(Y )=40· 0.4+60· 0.05+68· 0.04+70· 0.02+72· 0.04+80· 0.05 + 100 · 0.4 =70.80 VARIABLES DISCRETAS

) Debido a que las 2 variables tienen la misma media, la mayor variación la dará aquella quetenga mayor varianza.E(X 2 )=40 2 · 0.01+60 2 · 0.04+68 2 · 0.05+70 2 · 0.8+72 2 · 0.05+80 2 · 0.04 + 100 2 · 0.01 = 4926.4E(Y 2 )=40 2 · 0.4+60 2 · 0.05+68 2 · 0.04+70 2 · 0.02+72 2 · 0.04+80 2 · 0.05 + 100 2 · 0.4 =5630.3Var(X) =E(X 2 ) − E(X) 2 = 4926.4 − 70 2 =26.4Var(Y )=E(Y 2 ) − E(Y ) 2 = 5630.3 − 70 2 = 730.3. El segundo fármaco es, por lo tanto, el queprovoca mayor variación en el ritmo cardíaco. 10. El ascensor de un centro comercial ha sido programado de forma absurda por un recién graduadoen ingeniería informática por Bolonia. El ascensor recorre constantemente los pisos, delbajo al séptimo y vuelta al bajo, deteniéndose un minuto en cada piso por el que pasa y tardandomedio minuto en recorrer el trayecto entre piso y piso. Si un mangante ha robado una cartera enel quinto piso y coge el ascensor a la primera oportunidad, calcular la probabilidad de que estébajando.Solución.VARIABLES DISCRETAS 81

Definimos la variable X=“piso en el que está el ascensor”, dándole el valor 8 cuando el ascensoresté subiendo entre un piso y otro, y 9 cuando esté bajando.El tiempo que el ascensor está en un piso es 1 minuto para los pisos bajo (0) y 7, y 2 minutospara los demás pisos.El tiempo que el ascensor se mueve entre dos pisos es 14 · (1/2).Por lo tanto, la función de masa de probabilidad es:x i 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9P (X = x i )121221221221221221221121721721La probabilidad de que el ascensor esté en el quinto piso es P (X =5)=2/21.La probabilidad que nos piden es P (esté bajando)·P (X =5)= 221 · 12 = 121 . 11. Se lanza una moneda (con probabilidad de que salga la cara del suegro de Letizia 1 2 ) hastaque salgan 2 veces consecutivas el mismo resultado. Determinar la distribución del número delanzamientos realizados y su media.Solución.Posibles resultados: 2,3,4,....P (X =2)se obtiene si sale CC o ++, luego P (X =2)= 1 4 + 1 4 .X =3se obtiene si sale C++ o +CC, luego P (X =3)= 1 8 + 1 8 .X =4se obtiene si sale C+CC o +C++, luego P (X =4)= 1 2 4 + 1 2 4 .P (X = n) = 22 n = 12 n−1 .Es una función de masa de probabilidad puesto que ∑ ∞n=2La media es ∑ ∞n=2 n ( 12 n−1 )=3.0. ( 12 n−1 )=1.012. Se presentan para el cargo de analista informático 5 personas de las cuales 3 son modelos depasarela. Luego de estudiar los antecedentes, el encargado de personal decide que la selecciónla hará teniendo muy claro que elegirá a una de las modelos. El encargado llama al azar a las5 personas. Si la primera persona es modelo la elige, de lo contrario llama a la siguiente. Deesa manera procede hasta conseguir a una modelo. Sea X la variable aleatoria que cuenta lacantidad de entrevistas efectuadas. a) Hallar la ley de probabilidad de X. b) Hallar la probabilidadde que se efectúen al menos 2 entrevistas.82 VARIABLES DISCRETAS

Solución.La variable X puede tomar los valores 1, 2, 3 (el valor 4 ya no aparece, pues si los dos primerosa entrevistar son hombres, la tercera entrevista ya es a una mujer necesariamente). Sus probabilidadesson:P (X =1)= 3 5 .P (X =2)= 2 5 · 34 = 620 .P (X =3)= 2 5 · 14 · 1= 220 .P (X ≥ 2) = P (X =2)+P (X =3)= 620 + 220 = 820 = 2 5 . 13. Un estudiante tiene en un cajón 4 pares de calcetines limpios y 6 sucios, todos mezclados. Loselige sin mirar, de uno en uno y con una pinza en la nariz, hasta que obtiene un par de calcetineslimpios. Hallar la función de probabilidad de la variable aleatoria “número de pares de calcetinessucios que quedan en el cajón”.Solución.Posibles valores de la variable X =0, 1, 2, 3, 4, 5, 6.· P (X =6)=P (extraer 1 limpio) = 410 .VARIABLES DISCRETAS 83

· P (X =5)=P (extraer 1 sucio) =P (el primero sucio y el 2 o limpio) = 610 · 49 = 415 .· P (X =4)=P (extraer 2 sucios) =P (2 sucios y el 3 o limpio) = 610 · 59 · 48 = 1 6 .· P (X =3)= 610 · 59 · 48 · 47 = 221 .· P (X =2)= 610 · 59 · 48 · 37 · 46 = 121 .· P (X =1)= 610 · 59 · 48 · 37 · 26 · 45 = 2105 .· P (X =0)= 610 · 59 · 48 · 37 · 26 · 15 · 1= 1210 .Se comprueba que las probabilidades suman 1.14. En un problema de una prueba aplicada a niños pequeños se les pide que hagan corresponder3 dibujos de animales con el nombre del mismo. Si un niño prodigio asigna aleatoriamente las 3palabras a los 3 dibujos, obtener la función de masa de probabilidad de X, la variable que mideel número de correspondencias correctas.Solución.Valores posibles para X =0, 1, 2, 3.Posibilidades: Designamos por A,B,C los animales y por 1, 2 y 3 los nombres. Las posiblesopciones que podrían darse en las asignaciones son:·{A1,B2,C3} (acierta los 3),·{A1, B3,C2}, {A2,B1,C3}, {A3,B2,C1} (acierta 1),·{A2,B3,C1},{A3,B1,C2} (acierta 0).Probabilidades: P (X =0)=2/6,P(X =1)=3/6,P(X =3)=1/6.84 VARIABLES DISCRETAS

VARIABLES DISCRETAS 85

86 VARIABLES DISCRETAS

9. VARIABLES CONTINUAS.1. Sea X la variable aleatoria que mide el tiempo que la gente aguanta sin acostarse con su pareja,en semanas, después de un diagnóstico de enfermedad venérea. La función de densidad deesta variable aleatoria viene dada por:⎧⎨ 1 − x si x ∈ [0, 2]2f(x) =⎩ 0 si x/∈ [0, 2].a) Determinar y representar la función de distribución de esta variable. b) ¿Cuál es la probabilidadde que un diagnosticado de venéreas vuelva ya a la cama con la pareja antes de 3 días ymedio? ¿Y exactamente a los tres días y medio? c) ¿Cuál es la probabilidad de que aguantemás de tres días y medio y menos de 1 semana?Solución.La gráfica de la función de densidad aparece en la Figura 9-1.Figura 9-1: Función de densidad del Problema 1.a) Al estar la función de densidad definida en 3 tramos (antes de 0, entre 0 y 2, y después de 0),la función de distribución tendrá que calcularse en dichos tramos, como la integral desde −∞hasta x:⎧⎪⎨F (x) =⎪⎩∫ x−∞0dt =0 si x ≤ 00+ ∫ x( )0 1 −t2 dt = −1x (x − 4) si 0

La gráfica de la función de distribución es la de la Figura 9-2.Figura 9-2: Función de distribución del problema 1.b) El recorrido de la variable es 2 semanas. Tres días y medio corresponde a 1 (semana)= 0.5.2P (X

Figura 9-3: Función de densidad del problema 2.a) La función de densidad aparece en la Figura 9-3.Para calcular la función de distribución, nos fijamos en que la función de densidad está definidade forma diferente en 3 tramos, los mismos en los que tiene que estar definida la función dedistribución⎧0 si x1El dibujo de la distribución es el de la Figura 9-4..Figura 9-4: Función de distribución del problema 2.b) El tiempo medio de estancia es la esperanza:∫ 1 1[2 1E(X) = x√ dx = x 3 x 3 20VARIABLES CONTINUAS. 89] 10= 1 3 .

Para calcular la desviación típica σ primero calculamos la varianza:∫ 1(Var(X) = x − 1 2 12√ dx =0 3) 4x 45 ⇒ σ(X) = 23 √ 5 =0.298.c) La probabilidad que nos piden es:∫ 40/60P (20

Los aspirantes son rechazados si el radio no estén entre 1.7 y 2.4. Si una pandilla de cincoamigos quieren ingresar en la academia, ¿cuál es la probabilidad de que sean todos aceptados?Solución.Primero calculamos k.1=∫ 3P (ser rechazado)=P (1.7

Solución.La función de distribución será⎧0 si x ≤ 0⎪⎨F (x) = 0+ ∫ x0 (at2 + b)dt = 1 3 ax3 + bx si 0

expediente dure entre 1y2horasescero. Seguramente es porque el funcionario empieza atrabajar y, cuando lleva 1 hora de trabajo, se va a tomar su cafetito o su bocadillito, y tarda unahora en volver y continuar con el tema.b)P (X >3.5/X > 1) =P ({X >3.5}∩{X>1})P (X >1)==P (X >3.5)P (X >1) = 1 − F (3.5)1 − F (1) = 1 − 3.541 − 1 2=0.25. 7. En un hospital de la seguridad social se utilizan dos formas de tratamiento para la curación dela enfermedad de Peyrone: masajes y agua caliente, o directamente con martillo y alicates. Eltiempo en horas para la curación de la enfermedad por los tratamientos citados son dos variablesaleatorias con funciones de densidad f y g, respectivamente, definidas como⎧⎨ 50−xsi x ∈ [40, 50]50f(x) =⎩ 0 si x/∈ [40, 50]⎧⎨ 60−xsi x ∈ [40, 60]200, g(x) =⎩ 0 si x/∈ [40, 60].Un paciente aquejado de la enfermedad acude al hospital. El que le apliquen un tratamientou otro depende del lanzamiento de una moneda por el coordinador de la planta. Si el tiemporequerido para la curación del paciente ha sido mayor de 45 horas, ¿cuál es la probabilidad deque le hayan aplicado el primer tratamiento?VARIABLES CONTINUAS. 93

Solución.Llamemos D a la variable aleatoria que mide el tiempo de curación del paciente, y definamos lossucesos T 1 =“aplicar el tratamiento 1” y T 2 =“aplicar el tratamiento 2”.Si se aplica el tratamiento 1, la probabilidad de que la duración haya sido mayor de 45 horas es( 50−t)50 dt =1. 4P (D >45/T 1 )= ∫ 5045Si se aplica el tratamiento 2, la probabilidad es P (D >45/T 2 )= ∫ 6045Para calcular la probabilidad pedida aplicamos el teorema de Bayes:P (T 1 /D > 45) =( 60−t)200 dt =9. 16P (D >45/T 1 )P (T 1 )P (D >45/T 1 )P (T 1 )+P (D >45/T 2 )P (T 2 ) ==1 · 14 21 · 1 + 9 · 14 2 16 2=0.307. 8. La dirección de una empresa va a aplicar un test para la prevención de infartos entre sus empleados.El médico de la empresa ha clasificado en 3 tipos a los empleados: “Normales”, alos de peso inferior a 70 kg; “Ojo no te pases” a los que están entre 70 y 100 kg, y “Te quedamenos que a un torero ciego” a los que pesan más de 100. La probabilidad de que el test déresultado positivo y. por tanto, la empresa haya de pagar un plus extra al seguro médico (por siel empleado se queda en el sitio), es de 0.4, 0.7 y 0.9 respectivamente, para cada uno de los 3grupos. Por cálculos de los 200 años que lleva funcionando la empresa, se sabe que el peso esuna variable aleatoria continua X con función de densidad⎧⎨ k70f(x) =e−x/70 si x ∈ [40, 110].⎩ 0 si x/∈ [40, 110]94 VARIABLES CONTINUAS.

Se elige a un empleado al azar, se le hace el test y da positivo. ¿Cuál es la probabilidad de quesea un empleado de la clase de más riesgo?Solución.Definimos los sucesos: R i =“riesgo tipo i”,T + =“el test da resultado positivo”. Tenemos que P (T + /R 1 )=0.4, P(T + /R 2 )=0.7 y P (T + /R 3 )=0.9. Nos piden P (R 3 /T + ). Para ello tendremos que calcularlas probabilidades P (R i ) y, a continuación, aplicar el teorema de Bayes.Primero calculamos el valor de k.1=∫ 11040( k70 e−x/70 )dx = −ke − 1 70 x ∣ ∣∣x=110x=40(= ke − 4 7 − e− 117)⇒⇒ k =1e − 4 7 − e − 117=2.8014.P (R 1 )=P (X

9. Un bombardero inteligente lleva 4 bombas inteligentes y tiene como misión cargarse un hospitalinfantil de la Cruz Roja (luego ya se dirá que estaba lleno de espías enanos). El hospital caeráa trozos si una bomba hace explosión dentro de un radio de 10 metros de la viga maestra delmismo. La inteligencia militar ha calculado que la distancia del impacto a la viga maestra es unavariable aleatoria cuya función de densidad es⎧⎨ 45−xsi x ∈ [0, 30]900f(x) =⎩ 0 si x/∈ [0, 30]Calcular la probabilidad de que el hospital quede en pie a pesar de lanzarse las 4 bombasinteligentes.Solución.Sea X la variable que mide la distancia a la viga maestra.P (X

con función de densidad:⎧⎨ 13f(x) =e−x/3 si x>0⎩ 0 si x ≤ 0.a) Calcular la esperanza de vida de un bombero al que se le haya diagnosticado la enfermedaddel bombero torero. b) ¿Cuál es la probabilidad de que un enfermo bombero torero sea bomberoy sobreviva al menos 3 años?.Solución.a)E(X) =∫ +∞−∞xf(x)dx =∫ +∞0x 1 3 e−x/3 dx =3.También puede obtenerse sin más que tener en cuenta que X es una variable aleatoria exponencialde parámetro 1 1, luego E(X) = =3.3 1/3b)P (B ∩{X>3}) =P (X >3/B) · P (B) =(∫ +∞3)13 e−x/3 dx · 0.52 = 0.19. 11. La acidez X de un vino peleón depende de la proporción Y de orín de los que pisan la barracade uvas, y viene dada por la relación X =(1+Y ) 2 . La proporción Y es una variable aleatoriacon función de densidad⎧⎨ 2y si y ∈ [0, 1]f(y) =⎩ 0 si y/∈ [0, 1].Calcular la acidez media del vino y la varianza de X.Solución.La acidez media es E(X) =E[(1 + Y ) 2 ]=E[1 + Y 2 +2Y ]=1+E[Y 2 ]+2E[Y ].La E(Y )= ∫ 10 y2ydy = 2 3 .E(Y 2 )= ∫ 10 y2 2ydy = 1 2 . Entonces:E(X) =1+ 1 2 +2 ( 23Como Var(X) =E(X 2 ) − E(X) 2 , calculamos)= 176 =2.83.E(X 2 )=E[ ((1+ Y )2 ) 2 ] == E[ (1+Y 2 +2Y ) 2 ] = E [ 1+4Y +6Y 2 +4Y 3 + Y 4] ==1+4E(Y )+6E(Y 2 )+4E(Y 3 )+E(Y 4 ).VARIABLES CONTINUAS. 97

E(Y 3 )=∫ 10y 3 2ydy = 2 5 ; E(Y 4 )=∫ 10y 4 2ydy = 1 3 .Luego E(X 2 )=1+4· 2 +6· 1 +4· 2 + 2 = 4343⇒ Var(X) = − ( 173 2 5 6 5 5 6 )2 = 103 =0.572. 18012. El número total de horas, medidas en unidades de 100 horas, que una familia utiliza un ciertotipo de vibrador en un periodo de un año, es una variable aleatoria continua que tiene la funciónde densidad⎧⎪⎨f(x) =⎪⎩x si 0

institucional, aprovecharán para introducir y vender a buen precio anfetaminas fabricadas en ellaboratorio de su residencia. La forma de hacerlo, para no levantar excesivas sospechas, seráque sólo 3 de los 10 miembros de la familia lleven anfetas escondidas en la ropa en cadavisita que realicen.únicamente en una de cada dos visitas.Además, no llevarán droga en todas las visitas que realicen, sinoLa policía ha recibido una denuncia de los sindicatos sobre estas actividades. Sin embargo, elministro del interior ha dado órdenes a la policia de que se limite a cachear a sólo 2 de los 10miembros de la familia del presidente cada vez que vayan de visita a alguna institución.En uno de esos rutinarios cacheos, realizado mientras visitan a la duquesa de Malba, la policíano encuentra ninguna pastilla.a) ¿Cuál es la probabilidad de que, en esa ocasión, no llevasen droga para vender?Por otro lado, las pastillas que venden producen efectos alucinógenos de duración variable, quese mide (en días) mediante una variable aleatoria con función de densidad continua, definidacomo sigue:⎧⎪⎨g(x) =⎪⎩xsi 0 ≤ x ≤ 520k 1(x−k 2 ) 2 si x>50 en otro casob) Un diputado autonómico ha comprado una pastilla de esas y se ha pegado un colocón que yale dura 4 días. Si el diputado comienza a bailar samba cuando lleva 8 días colocado, ¿cuál es laprobabilidad de que eso se produzca, y pueda fichar para salir en “Mira quien baila”?c) Calcular la duración media de los efectos de las pastillas, y decir por qué están teniendo tantoéxito de ventas.Solución.a) Definimos el suceso L=“llevan droga en una visita”. P (L) =P (¯L) =1/2.Cuando llevan droga, cachean a 2 de los 10 miembros de la familia. La variable X=“número decacheados que tienen droga” es una hipergeométrica de parámetros N =10,n A =3,n=2.Nos piden P (¯L/X =0).P (X =0/¯L)P (¯L)P (¯L/X =0)=P (X =0/¯L)P (¯L)+P (X =0/L)P (L) = 1 · 121 · 11+ P (X =0/L) ·2 2donde( 3)( 70P (X =0/L) = ( 2)10) = 715 .2VARIABLES CONTINUAS. 99.,

) Primero vamos a calcular k 1 y k 2 .Por un lado ∫ 50xdx = 5 . Por otro lado,20 8∫ +∞5k 1(x − k 2 ) 2 dx = (sustituyendo x − k 2 = y) =[ −k1y] ∞5−k 2= k 15 − k 2.Luego, por la definición de función de densidad (la integral entre −∞ y +∞ tiene que valer 1):58 + k 15 − k 2=1.Además, dado que g es una función continua, en x =5ambas funciones deben coincidir:Se obtienen los valores k 1 =9/16 y k 2 =7/2.Nos piden calcular520 = k 1(5 − k 2 ) 2 .P (D >8/D > 4) =P ((D >8) ∩ (D >4))P (D >4)=P (D >8)P (D >4) = 1 − F (8)1 − F (4) .Por un lado,LuegoF (4) =∫ 40F (8) = 5 8 + ∫ 85x20 dx = 2 5 .916(x − 7 2 )2 dx = 7 8 .P (D >8/D > 4) = 1 − 7 81 − 2 5c) La duración media de las pastillas esE(D) =∫ +∞−∞xf(x)dx =∫ 50= 524 .916x x ∫ +∞20 dx + x5 (x − 7 dx =2.083 + ∞.)22Luego la duración media tiende a infinito, por eso tienen tantísimo éxito.14. Para ahorrar, el ministerio del interior ha renovado los aparatos de espionaje, comprando unosnuevos en China, a través de internet. Dado que los aparatos se averían de vez en cuando (dehecho la función de distribución del tiempo hasta la próxima avería es F (x) =1−e −x/20 ,six ≥ 0 y0 en otro caso), y como el técnico debe revisarlos cada 30 horas, el encargado de las escuchasha decidido usar cuatro aparatos a la vez para grabar las conversaciones del presidente delpartido de la oposición. Suponiendo que todos los aparatos se ponen en funcionamiento a lavez, se pide:100 VARIABLES CONTINUAS.

a) La probabilidad de que un aparato continúe funcionando la próxima vez que el técnico pase arevisarlos.b) La probabilidad de que todas las conversaciones que se han producido hasta la póxima revisióndel técnico hayan quedado grabadas.c) El presidente del partido de la oposición ha sido advertido de que le están escuchando susconversaciones, así que ha contratado a un informático friki para realizar un contraataque. Sinembargo, como el trabajo está muy mal pagado, el friki no pone mucho empeño en él, con lo quela probabilidad de que anule el aparato de escucha es sólo de 0.05. ¿Cuál es la probabilidadde que el contraataque haya tenido éxito, sabiendo que el técnico ha ido a revisar el aparatonúmero 1 al cabo de dos horas y estaba averiado?Solución.a) La probabilidad de que el aparato continue funcionando es laP (X ≥ 30) = 1 − e −30/20 =0.776.b) Sea Y =“número de aparatos funcionando de los cuatro existentes”. Y sigue una distribuciónbinomial Bi(4, 0.776). La probabilidad pedida es la probabilidad de que al menos un aparatofuncione.P (Y ≥ 1) = 1 − P (Y =0)=1−( 40)0.776 0 (1 − 0.776) 4 =0.997.c) Sean los sucesos S=“sabotaje”, F =“fallo al cabo de dos horas”. Tenemos queP (F/¯S) =P (X

15. El tiempo transcurrido (en años) entre que una persona condenada por asalto al Mercadona pideun indulto, y que el gobierno le contesta, se distribuye según la función de densidad⎧⎨ 12x 2 (1 − x) si x ∈ [0, 1]f(x) =⎩ 0 si x/∈ [0, 1].Determínese el tiempo medio de respuesta, y el tiempo que tardará Sánchez Morcillo en recibirla contestación “métase su petición donde le quepa”, con un 90 por ciento de probabilidad.Solución.El tiempo medio de respuesta es la esperanza de T =“tiempo de respuesta”:E(T )=∫ 10x · 12x 2 (1 − x)dx =0.6 años = 219 días.Para la segunda cuestión, se requiere calcular t sabiendo que 0.9 =P (T ≤ t).0.9 =∫ t012x 2 (1 − x)dx = −t 3 (3t − 4) =⇒ −t 3 (3t − 4) − 0.9 =0.Resolviendo numéricamente esta ecuación de grado 4, obtenemos 2 raíces reales y 2 complejas.De las reales únicamente está entre 0 y 1 el valor t =0.8574 = 312.95 días. 102 VARIABLES CONTINUAS.

VARIABLES CONTINUAS. 103

104 VARIABLES CONTINUAS.

10. PRINCIPALES VARIABLES DISCRETAS1. Si el 10 por ciento de las perras de la residencia canina “Funciona Rios” sufren del parásito“gorrinus molestus atendum entradam”, ¿cuantás perras, por término medio, ha de analizar unveterinario para encontrar a la primera infectada?Solución.Se analiza una perra. La probabilidad de que esté infectada es p =0.1.X =“número de la primera perra infectada” es una variable geométrica o de Pascal de parámetrop.Por lo tanto E(X) =1/p =1/0.1 =10.2. En un examen tipo test, cada pregunta tiene 3 respuestas posibles y sólo una correcta. Lapuntuación del examen se hace de la siguiente forma: pregunta bien vale 1 punto, y preguntamal vale -0.5. Si se deja en blanco no puntúa. Calcular la puntuación que se espera que obtengauna persona que contesta a todas las preguntas al azar. Calcular el mismo valor si cada preguntamal vale -1.Solución.Contestando siempre al azar, tenemos:X =“número de preguntas bien contestadas de un total de n preguntas” es una variable aleatoriabinomial Bi(n, p =1/3).Y =“número de preguntas mal contestadas de un total de n preguntas” es una variable aleatoriabinomial Bi(n, p =2/3).Se puntua de la forma Z = X − 0.5Y. La puntuación que se espera es E(Z) =E(X) − 0.5E(Y )=n · 13 − 0.5 · n · 23 =0.Si cada pregunta mal se puntua como -1, entonces Z = X −Y, por lo que E(Z) =E(X)−E(Y )=n− n 2 = − 1n. 3 3 3PRINCIPALES VARIABLES DISCRETAS 105

3. De un grupo de 20 alumnos de la ESO y 10 de Bolonia se eligen 2 alumnos al azar para concursaren el “1,2,3, repetid curso otra vez”. Calcular la probabilidad de que la pareja esté formadapor uno de la ESO y uno de Bolonia.Solución.Tenemos una población de N =20+10elementos. n A =20alumnos de la ESO. N − n A =10alumnos de Bolonia.La variable X=“número de alumnos de la ESO en una muestra de 2” es una hipergeométrica deparámetros N =30,n A =20,n=2. Debemos calcular.P (X =1)=( 20)( 101 1( 302)) = 4087 . 106 PRINCIPALES VARIABLES DISCRETAS

4. La policia registra el aula de informática de una facultad porque han recibido una denunciaanónima de que desde ellos se insulta al gobierno. Si el 40 por ciento de los ordenadores estáninfectadas con el virus “cabronator”, que lanza insultos por Twitter aleatoriamente, ¿cuántosordenadores, por término medio, debe examinar la policia para encontrar el primero con el virus?Solución.Se analiza un ordenador. La probabilidad de que esté infectado es p =0.4.X=“número del primer ordenador infectado” es una variable geométrica o de Pascal de parámetrop.E(X) =1/p =1/0.4 =40.5. Supóngase que el número de promesas hechas realidad dichas por el presidente del gobiernosigue una distribución de Poisson de media 3 cada 1000. Calcular la probabilidad de que untrabajador de la minería no tenga por qué preocuparse, luego de un mitin del presidente dondepromete ampliar el convenio de la mineríaa50años más.Solución.X=“número de promesas hechas realidad” sigue una distribución de Poisson de parámetro λ =0.003. Nos piden la probabilidad de que el presidente haya dicho la verdad, que es−0.003 0.0031P (X =1)=e1!=2.991 × 10 −3 .El trabajador ya está preparando las maletas para irse a Alemania.PRINCIPALES VARIABLES DISCRETAS 107

6. La madame de una casa de citas que solo da servicio mediante reserva telefónica sabe, porexperiencia, que el 15 por ciento de las personas que reservan una cita no asistirán. Si para lanoche del viernes acepta 25 reservas, pero solo dispone de 20 chicas, ¿cuál es la probabilidadde que a todos los degenerados que asisten a la casa se les asigne chica (aunque sea la trencade napia larga)?Solución.Llamemos A=“no asistir a una cita”. p = P (A) =0.15.La variable X=“número de personas que no acuden a la cita de 25” sigue una distribución binomialde parámetros n =25y p =0.15.Nos piden P (X ≥ 5) = ∑ 25k=5( 25k)(0.15) k (1 − 0.15) 25−k =0.317. 7. Los chicos de la Royal Flan Navy detienen a 400 árabes sospechosos de pertenecer al grupoterrorista ALahiteKedas. De los 400, tras un juicio rápido y justo, se elige a seis al azar y se les108 PRINCIPALES VARIABLES DISCRETAS

envía a Guantánamo. Sabiendo que, entre los 400 detenidos, únicamente hay 2 pertenecientesa ALahiteKedas, ¿cuál es la probabilidad de que ninguno de los 2 vaya a Guantánamo?Solución.De una población de N = 400 sospechosos, sólo hay 2 de ALahiteKedas. Se elige una muestrade n = 6.La variable X=“número de terroristas” sigue una distribución hipergeométrica deparámetros N = 400,n A =2,n=6. Debemos calcular( 6 394)P (X =0)= 0)(2) = 2580726600 =0.97.( 4002Debido a que N es muy grande, y n = 6 =0.015 < 0.1 se puede utilizar la aproximación por laN 400binomial: X se puede aproximar por una Bi(n, p = n A 2N) ≡ Bi(6, ). 400Luego P (X =0)= ( )60 (2400 )0 (1 − 2400 )6 =0.97, obteniéndose el mismo resultado. 8. En el último congreso de enfermedades raras, se dio fe de gente que se queda dormida cuandotiene la oportunidad de estar en la cama con su actor/actriz favorita/o. La probabilidad de dichaenfermedad es muy baja, p =1/100.000. Calcular la probabilidad de que en una ciudad con500.000 habitantes haya más de 3 pringados con dicha enfermedad.Solución.X=“número de personas con esa enfermedad”. X ∈ Bi(500.000,1100.000 ).Dado que n>30 y p3) = 1 − P (X ≤ 3) = 1 −3∑k=0−5 5kek!=1− 0.265 = 0.735. PRINCIPALES VARIABLES DISCRETAS 109

9. En Villapodre del chorizo de abajo hay una proporción del 42 por ciento de vecinos asiduos a lasmeriendas del alcalde. El domingo al salir de misa hay un grupo de vecinos cabreados porqueel alcalde no les asfalta la pista de acceso a su casa, y están entregando trípticos con el lema“alcalde, gorrino, asfáltanos el camino”. ¿Cuál es la probabilidad de que a la cuarta personaque recibe uno de esos folletos le gusten las meriendas del alcalde, y se líe a gritos contra losvecinos cabreados?Solución.p =0.42 es la probabilidad de ser asiduo a las meriendas del alcalde.Se le entregan trípticos a los vecinos. X =“número de vecinos a los que se le da el tríptico hastallegar al primer amigo del alcalde” sigue una distribución geométrica de parámetro p.Nos piden P (X =4)=p(1 − p) 3 =0.42(1 − 0.42) 3 =0.081.10. Se conoce que la enfermedad de Smith, enfermedad rara en general, pero menos entre los quese apellidan Smith, produce hinchazón de codos después de estudiar en la biblioteca variashoras, en un porcentaje del 60 por ciento. En una facultad hay 10 Smith en la enfermería conproblemas en los codos, después de estudiar para el examen de Estadística. a) ¿Cuál es laprobabilidad de que no se le hinchen los codos a más de la mitad? b) ¿Cuál es la probabilidadde que no se le hinchen los codos a ninguno? c) ¿Cuál es la probabilidad de que se le hinchena todos?Solución.La variable X=“número de Smith a los que se les hinchan los codos, de un grupo de 10” sigueuna distribución Bi(10, 0.6).a) La probabilidad de que no se le hinchen los codos a más de la mitad es1 − P (X >5) = P (X ≤ 4) =4∑k=0( ) 10(0.6) k (1 − 0.6) 10−k =0.166.kb) La probabilidad de que no se le hinchen los codos a ninguno es( ) 10P (X =0)= (0.6) 0 (1 − 0.6) 10−0 =1.04 × 10 −4 .0c) La probabilidad de que se le hinchen los codos a todos es( ) 10P (X = 10) = (0.6) 10 (1 − 0.6) 10−10 =6. 04 × 10 −3 . 10110 PRINCIPALES VARIABLES DISCRETAS

11. El sistema de defensa antispam del servidor de correo de Tejorobas.com utiliza un sistema con3 programas diferentes, capaces cada uno de detectar un ataque de spam, independientementede los demás, con probabilidad 0.8. Calcular la probabilidad de que un envío de publicidad pornosea detectado a tiempo para que no le llegue al correo de la asociación de viudas católicas, quetiene cuenta en dicho servidor de correo.Solución.La variable X i =“el programa i se activa” es una distribución de Bernouilli con parámetro p =0.8.Y = X 1 + X 2 + X 3 sigue una distribución binomial Bi(3, 0.8).Cuando se recibe un envío de spam, sera detectado a tiempo si al menos uno de los programasse activa. La probabilidad de que eso ocurra esP (Y ≥ 1) = 1 − P (Y =0)=1−( 30)0.8 0 (1 − 0.8) 3 =0.992 . 12. En Mississippi se juzga a un acusado de suplantar a Obama en una cita con su esposa. Paraello se ha formado un jurado de 12 personas, elegidas de una lista de 35 voluntarios, de loscuales 18 eran blancos y 17 afroamericanos. El jurado se eligió, teóricamente, por sorteo, perosólo había un hombre de color. ¿Se puede tener algún motivo para pensar que el sorteo no fuealeatorio?Solución.PRINCIPALES VARIABLES DISCRETAS 111

De 35 personas, hay 17 hombres de color y 18 blancos. Se eligen 12. La variable X=“número deafroamericanos en la muestra” sigue una distribución hipergeométrica de parámetros N =35,n A =17y n =12. La probabilidad de que haya únicamente uno en el jurado es( 17)( 18)1 11P (X =1)= ( 35) = 102157325 =6.48 × 10−4 .12Por lo tanto, la probabilidad es muy pequeña, lo que hace sospechar de la aleatoriedad delsorteo.13. En una página de almacenamiento de imágenes en internet, la probabilidad de error en la subidade una fotografía es del 2 por ciento, pero un error del software provoca que la conexión seinterrumpa totalmente (perdiendo todo el trabajo hecho) cuando se cometen tres errores. Unpelmazo está subiendo las 100 fotografías de su último viaje a Cancún para presumir ante susamistades. ¿Cuál es la probabilidad de que se le fastidie la conexión justo en la última fotografía?Solución.La probabilidad de error (para sus amigos y familiares, éxito) al subir una fotografía es 0.02, porlo que la probabilidad de que llegue bien es 0.98. Definamos X=“número de fotografías biensubidas (fracasos) antes del tercer error (éxito)”. X sigue una distribución binomial negativa deparámetros r =3,p=0.02. Nos piden P (X = 97) (puesto que habría 97 fotografías bien subidas+ 2 mal subidas = 99 fotografias, y en la prueba 100 debe haber un error de conexión).( )3+97− 1P (X = 97) =(0.02) 3 (0.98) 97 =3112 PRINCIPALES VARIABLES DISCRETAS

=( ) 99(0.02) 3 (0.98) 97 =0.176. 314. El número de calzoncillos limpios en los armarios de los estudiantes de la residencia universitaria“Gafa Pasta” es una variable aleatoria de Poisson de media 1.a) Si se elige un armario al azar en una de las habitaciones de la residencia, determinar laprobabilidad de que contengan 8, 9o10calzoncillos limpios.b) Calcular la probabilidad de que más del 40 por ciento de los 50 armarios del primer piso(estudiantes de último curso) contengan 8, 9o10calzoncillos limpios.c) Sabiendo que 5 de los 20 armarios que hay en el segundo piso (sección femenina) contienenmás de 12 bragas limpias, determinar la probabilidad de que, si se eligen al azar 10 de estos 20armarios, 2 de ellos contengan más de 12 bragas limpias.Solución.X=“número de calzoncillos límpios” ∈ Pois(λ =1)a) La probabilidad de que, elegido un armario al azar contenga 8, 9 o 10 calzoncillos limpios es∑10−1 1kP (X =8)+P (X =9)+P (X = 10) = ek! =1.0239 × 10−5 .b) Definamos el suceso A como “un armario contiene 8, 9 o 10 calzoncillos limpios”. La probabilidadde A es p =1.0239 × 10 −5 , como hemos calculado en el apartado anterior. Ahoraanalizamos los 50 armarios del primer piso y comprobamos en cuántos de ellos se verifica elsuceso A (éxito). La variable Y =“número de éxitos en 50 pruebas” es una variable binomial depárametros n =50y p = P (A).k=8Como el 40 por ciento de 50 es 20, nos piden P (Y >20).∑19( ) 50P (Y >20) = 1 − P (Y ≤ 19) = 1 − (1. 023 9 × 10 −5 ) k (1 − 1. 023 9 × 10 −5 ) 50−k ,kque es aproximadamente cero.k=0c) Consideremos el suceso éxito =“tener más de 12 bragas límpias”. p = P (éxito) =5/20. Seeligen 10 de los 20 armarios. La variable X=“número de éxitos en 10 pruebas” es binomialBi(10,p). Nos pidenP (X =2)=( )( ) 2 (10 51 − 5 ) 10−2=0.281. 2 20 20PRINCIPALES VARIABLES DISCRETAS 113

15. Los Vengadores están esperando un nuevo ataque a la tierra. Los enemigos pueden procederde los siguientes planetas: Planeta azul, con probabilidad 0.30; Merkelandia, con probabilidad0.25; Planeta editorial, con probabilidad 0.35, y Planet Hollywood, con probabilidad 0.10. Lesatacan un total de 200 enemigos. ¿Cual es la probabilidad de que sean 50 de cada planeta?Solución.Llamamos X i =“proceder del planeta i”.(X 1 ,X 2 ,X 3 ,X 4 ) es una multinomial M 4 (200; 0.3, 0.25, 0.35, 0.10).Nos pidenP (X 1 =50,X 2 =50,X 3 =50,X 4 = 50) =200!=50!50!50!50! (0.3)50 (0.25) 50 (0.35) 50 (0.1) 50 =8.3379 × 10 −13 .Como vemos, la probabilidad es prácticamente cero, con lo cual la tierra no necesita a los vengadores,le llega con Kiko Rivera y Torrente.16. Repetidas estadísticas realizadas en un cierto estado de Estados Unidos han dado origen a lasiguiente distribución de probabilidad de la tendencia política de los hijos: P(ser republicano)114 PRINCIPALES VARIABLES DISCRETAS

= 0.8, P(ser demócrata) = 0.20. Un político del Manzanilla Party tiene 10 hijos. ¿Cual es laprobabilidad de que el número de hijos demócratas sea mayor o igual a 1?Solución.Llamemos X =“número de demócratas en 10 nacimientos”∈ Bi(10, 0.2).P (X ≥ 1) = 1 − P (X =0)=1− ( 100)(0.2) 0 (1 − 0.2) 10−0 =0.89263. 17. Supóngase que el 60 por ciento de la población está de acuerdo con la nueva medida del gobiernode regalar alcohol en la entrada de los colegios, para que los niños se acostumbren desdepequeños a la cultura del vino. ¿Cuál es la probabilidad de que, de cinco personas elegidas alazar, la mayoría esté de acuerdo con esta medida?Solución.Definimos la variable X=“número de personas de acuerdo con la medida, de una muestra de5”∈ Bi(5, 0.6). Nos pidenP (X ≥ 3) =5∑k=3( 5k)(0.6) k (1 − 0.6) 5−k =0.682. 18. Un libro de Camilo José Pela contiene 200.000 palabras, de las cuales 500 son tacos. Cadapágina contiene 200 palabras. Se elige una página al azar. Calcular: a) la probabilidad de queno tenga tacos. b) La probabilidad de que tenga más de seis tacos.Solución.PRINCIPALES VARIABLES DISCRETAS 115

500La variable X=“número de tacos” es Bi(200, )=Bi(200, 1), y puede aproximarse por una200000 4001distribución de Poisson de parámetro λ = 200 · =0.5.400−0.5 0.50a) P (X =0)=e =0.60653.0!b) P (X ≥ 6) = ∑ +∞ 0.5kk=6e−0.5 =1.41 × 10 −5 . k!19. Chano, antiguo investigador Parga y Pondal y doctor en estadística, que ahora se dedica avender pañuelos de papel en los semáforos, ha calculado, luego de varios meses en la calle,que le compran uno de cada veinte conductores. Está lloviendo y hace frío, pero necesita venderun paquete más, por lo menos, para tener suficiente para el recibo del agua. ¿Cuántos cochesdeben de pasar por el semáforo para que la probabilidad de vender por lo menos un paquete depañuelos sea mayor o igual que 0.8?Solución.La variable X=“número de ventas tras n coches” sigue una distribución Binomial Bi(n, 120 =0.05).Se quiere calcular n tal que P (X ≥ 1) ≥ 0.8.P (X ≥ 1) ≥ 0.8 ⇔ 1 − P (X =0)≥ 0.8 ⇔⇔ P (X =0)≤ 0.2 ⇔( n0)0.05 0 0.95 n ≤ 0.2 ⇔⇔ 0.95 n ≤ 0.2 ⇔ n log(0.95) ≤ log(0.2) ⇔ n(−0.0512 ) ≤−1.609 ⇔⇔ 0.0512n ≥ 1.609 ⇔ n ≥ 1.6090.0512 =31.42.Por lo tanto, deberá esperar 32 o más coches.20. Problema basado en hechos reales. En el departamento de estadística de una universidad muy,muy lejana, el 90 por ciento de las mujeres acababan dejando el departamento tras sufrir elacoso insistente de un impresentable, y terminaban metiéndose a monjas de clausura. Si eneste momento hay cuatro becarias en el departamento y una de ellas es ninfómana perdida,¿cuál es la probabilidad de que alguna de las tres restantes se escape al convento?Solución.La probabilidad de irse al convento es 0.9. Sea X=“número de profesoras que escapan al conventode las 3 que hay”. X sigue una distribución binomial Bi(3, 0.9) (obviamente, a la ninfómanano la contamos, porque jamás irá al convento).116 PRINCIPALES VARIABLES DISCRETAS

La probabilidad de que alguna de ellas escape es3∑( 3P (X ≥ 1) = (0.4)k)k (1 − 0.4) 3−k =0.784 . k=121. Para rendir bien donde debe y que no le echen de casa, un desgraciado ha de tomar 3 píldorasde Biagra antes de meterse en cama. El hombre, como le da vergüenza ir a la farmacia, compralas píldoras por internet, y adquiere un envase de 12 pastillas, cuatro de las cuales vienen enmalas condiciones. Se pide: a) probabilidad de que la mujer lo destroce a sartenazos (si algunaestá en malas condiciones, es como si no tomase nada). b) Si un camello del barrio le vendeuna fiambrera de 40 pastillas, de las cuales 10 están malas, ¿qué le compensa más al hombrepara que su mujer no le arree: comprar por internet o al camello?Solución.La variable X =“número de pastillas en malas condiciones de una muestra de 3” es una variablehipergeométrica con N =12,n A =4y n =3.a) Nos piden( 4)( 80P (X ≥ 1) = 1 − P (X =0)=1− ( 3)12) = 4155 =0.74.3b) Cuando le compra al camello del barrio, tenemos que N =40,n A =10y n =3. En este caso,)( 10)( 300 3( 403P (X ≥ 1) = 1 − P (X =0)=1− ) = 291494 =0.58.Luego si le compra al camello la probabilidad de que su mujer le arree es más baja. Fiarse delvecino antes que de internet es, habitualmente, la mejor solución.PRINCIPALES VARIABLES DISCRETAS 117

22. Rivaldillo, un famoso crack de futbol tiene un 43 por ciento de meter gol ante la puerta vacia enuna jugada, siendo cada jugada independiente de las demas. ¿Cuál es la probabilidad de que:a) meta gol por primera vez en la cuarta ocasión? b) El primero y el segundo gol ocurran en laquinta y séptima jugada?Solución.Definimos éxito=“meter gol ante puerta vacía”. p = P (éxito) =0.43.a) La variable X=“número de fracasos antes del primer gol” es BN(1,p).P (X =3)= ( )1+3−13 0.43 1 (1 − 0.43) 3 =0.0796.b) Si el primer gol ocurre en la quinta jugada:P (X =4)= ( )1+4−14 0.43 1 (1 − 0.43) 4 =0.0453.Si el segundo gol ocurre en la séptima jugada es que ha habido antes 5 tiradas sin gol.Y =“número de fracasos antes del segundo gol” es BN(2,p).P (Y =5)= ( )2+5−15 0.43 2 (1 − 0.43) 5 =0.0667.La probabilidad de que ocurran las dos cosas es la probabilidad de la intersección:P [(X =4)∩ (Y =5)]=0.0453 · 0.0667 = 0.00302.23. La sangre azul se da en la población con una frecuencia relativa de 0.004. Si se examinan npersonas, ¿cuál es la probabilidad de que al menos 2 de ellas puedan contraer matrimonio real?¿Qué valor debe tener n para que esta probabilidad exceda el 99 por ciento? (recuérdese queel matrimonio entre personas del mismo sexo está permitido).Solución.Definimos el suceso éxito=“tener sangre azul” p = P (éxito) =0.004. La variable X=“número depersonas de sangre azul en una muestra de tamaño n” es una variable hipergeométrica, pero,suponiendo que el tamaño de la población es grande, X se podrá considerar aproximadamentebinomial (n, p). A la vez, al ser p muy pequeña (suceso raro), la distribución de la variable seaproxima finalmente por por una variable de Poisson de párametro λ = np.La probabilidad que nos piden es:P (X ≥ 2) = 1 − P (X

)−λ λ0 λ1=1−(e + e−λ =1− e −λ (1 + λ) =1− e −λ − λe −λ .o! 1!Ahora buscamos λ para que esta probabilidad sea mayor que 0.99:1 − e −λ − λe −λ > 0.99 ⇔⇔ 1 − 0.99 >e −λ (1 + λ) ⇔⇔ 0.01 >e −λ − λe −λ .Resolviendo numéricamente, se obtiene que λ =6. 63, luego 6.63 = n · 0.004, así que n = 1659.6.Por lo tanto, n deberá ser 1660 omás personas. 24. La Legión, de misión especial en Akinoestán, ha hecho una redada en los alrededores de uncolegio de la ciudad santa de Casti-ya. Los soldados van metiendo novilleros (dícese del alumnoque hace novillos) en el camión hasta que encuentran a uno con un libro de texto, momento enque dan por terminada su misión (la probabilidad de que un alumno lleve un libro de texto es0.03). Calcular el número medio de presos que meten en el camión.Solución.La variable X=“número de prisioneros que se meten en el camión hasta que entre el primerocon un libro de texto” es una variable aleatoria geométrica o de Pascal con parámetro p =0.03.Nos piden E(X) = 1 = 1 =33.33, es decir entre 33 y 34 presos. p 0.03PRINCIPALES VARIABLES DISCRETAS 119

25. En una caja de preservativos hay 10 de color amarillo, 3 de color azul y 4 de color rojo. Vanesay Teo van a echar un kiki rapidito antes de que regresen los padres de Vanesa. Teo extrae 3preservativos. ¿Cuál es la probabilidad de que sea uno de cada color?Solución.Llamamos X i =“número de preservativos de color i en la muestra”. La variable (X 1 ,X 2 ,X 3 ) esuna variable con distribución multihipergeométrica H(17; 10, 3, 4, 3). La probabilidad pedida es( 10)( 3 4)1P (X 1 =1,X 2 =1,X 3 =1)= 1)(1) = 317 =0.176 . ( 17326. Un matrimonio del Manzanilla Party desea tener un niño varón para que de mayor sea buenamericano, sepa disparar a los malos y mantenga la descendencia. Deciden tener hijos hastaconseguirlo. ¿Cuál es la probabilidad de que tengan primero 3 niñas y el cuarto hijo sea elvarón? (suponemos que no hay embarazos múltiples).Solución.Debe ocurrir el suceso 3 nacimientos de hijas y luego un hijo.La variable X =“número de hijas antes del primer varón” es una variable geométrica de parámetrop =0.5P (X =3)=0.5 3 0.5 =0.5 4 =0.0625.27. El secretario del rector es un incompetente. Como regla general, de cada 5 cartas que escribe,una le sale mal y tiene que tirarla a la papelera. El rector debe mandarle una carta urgentisima,declarándole su amor, a la ministra de educación. ¿Será prudente que su secretario escriba 4cartas en vez de una, si quiere que el rector no se cabree (y acabe pegándole un capón, comohace siempre)?Solución.120 PRINCIPALES VARIABLES DISCRETAS

Llamamos A=“éxito”=“la carta escrita por el secretario sale bien”. p = P (A) =4/5.Si escribe 4 cartas, la variable X=“número de cartas que le salen bien de 4” ∈ Bi(4, 4).5P (X =0)= ( )40 (45 )0 (1 − 4 5 )4−0 =0.0016, es decir, la probabilidad de que no le salga ninguna bienes muy pequeña.28. La probabilidad de que un misil “amigo” mate a un soldado de su misma compañía se calculaque es la misma que la de que un futbolista de segunda división meta gol en propia meta, o sea0.4. ¿Cuál es la probabilidad de que lanzando 4 misiles haya menos de 2 amigos muertos?Solución.X=“número de muertos por misil amigo” sigue una distribución Bi(4, 0.4).P (X

Poisson Pois(50 · 0.048=2. 4). La probabilidad de despedir al encargado es que haya más deuna banana poco azucarada:P (X >1) = 1 − P (X ≤ 0) = 1 − (P (X =0)+P (X =1))=)−2.4 2.40 −2.4 2.41=1−(e + e =0.69. 0! 1!30. En una manifestación multitudinaria, el 20% de los asistentes son de grupos de izquierda, el30% son neonazis y el 40% son tránsfugas profesionales que están a lo que cae. Un periodistade LaSecta quiere filmar una escena impactante para subir la audiencia, e integra en la manifestacióna un 10% de judíos ortodoxos. Al final de la marcha, reune en una sala donde haycamara oculta a 4 invitados: ¿cuál es la probabilidad de que 2 sean neonazis y 2 ortodoxos, yse monte un buen follón?Solución.Llamemos X i =“personas del grupo i”. La variable (X 1 ,X 2 ,X 3 ,X 4 ) sigue una distribución multinomialM 4 (4; 0.2, 0.3, 0.4, 0.1).P (X 1 =0,X 2 =2,X 3 =0,X 4 =2)= 4!0!2!0!2! 0.20 0.3 2 0.4 0 0.1 2 =0.0054. 122 PRINCIPALES VARIABLES DISCRETAS

11. PRINCIPALES VARIABLES CONTINUAS1. La vida humana, en los países con calidad de vida, se supone que sigue una distribución exponencial.¿Cuál es, en estos países, la probabilidad de que una persona viva más que la media?¿Cuál es el valor de la variable tal que la mitad de la población vive menos que él?Solución. Para una distribución exponencial, la función de distribución y su media son, respectivamente:F (x) =1− e −λx ,x>0. E(X) =1/λ.P (X >E(X)) = P (X >1/λ) =1− F ( 1 λ )=1− (1 − e−λ 1 λ )=e −1 =0.367.En la segunda parte nos piden calcular la mediana, es decir el valor Me de la variable tal queF (Me)=P (X 5) = P (Z > 5 − 3 )=P (Z >0.66) =3=1− P (Z ≤ 0.66) = 1 − F N(0,1) (0.66) = 1 − 0.74 = 0.26.El porcentaje de estudiantes que aprueban es el 26 por ciento.PRINCIPALES VARIABLES CONTINUAS 123

3. En un ayuntamiento se ha calculado que el 52 por ciento de hijos salen de derechas. En lasúltimas elecciones municipales, hubo empate exacto en votos entre derechas e izquierdas. Elactual candidato de derechas a alcalde está contento, porque en las elecciones del domingo hayexactamente 1000 votantes nuevos, todos de 18 años (surgidos a raiz de un apagón provocadopor un huracán). ¿Cuál es la probabilidad de que gane las elecciones?Solución.p = P (salir de derechas)=0.52.X =“número de votos de derechas de los 1000 nuevos votantes” ∈ Bi(1000, 0.52), que seaproxima mediante una distribución normal de media np = 1000 · 0.52 y varianza np(1 − p) =1000 · 0.52 · (1 − 0.52), es decir una distribución N(520, 15.79).El candidato de derechas gana las elecciones si X>500.P (X >500) = P (Z >500 − 520)=P (Z >−1.26) = 0.10.15.79Desde aquí aconsejamos al candidato que compre unos cuantos votos, que la probabilidad deganar tampoco es tan alta.4. La limpiadora de la facultad de bellas artes observa que el número de salpicaduras que limpiadiariamente, en la pared y el suelo de los váteres de los profesores, es una variable uniforme,que oscila entre 10 y 20 manchas. Se queja al decano, y éste piensa que, si no se limpiara,en poco tiempo podrían tener un bonito mural abstracto. Tras 100 días sin limpiar los baños,124 PRINCIPALES VARIABLES CONTINUAS

calcular si les podría servir para la próxima exposición de arte abstracto de la universidad (cuyanormativa exige que los murales tengan 1600 borrones como mínimo).Solución.La variable X=“número de manchas” sigue una distribución uniforme (entendemos que discreta),con lo que la media es E(X) = 10+20 =15manchas. Su varianza es n2 −1donde n es el número2 12de valores que toma. Por tanto, Var(X) = n2 −1= 112 −1=10. (si se supone que la distribución12 12es uniforme continua, cambiaría la varianza).Después de 100 días, Y = X 1 + ... + X 100 se aproxima (por el teorema central del límite) por unadistribución normal N(100 · 15, √ 100 · 10) ≡ N(1500, 31.62).La probabilidad de tener más de 1600borrones esP (Y >1600) = P(Z>)1600 − 1500=31.62=1− F N(0,1) (3. 16) = 1 − 0.99921 = 0.00079.Por lo tanto, la probabilidad es muy pequeña, con lo que el mural no les va a servir para laexposición.5. La duración de cierto chip puede considerarse una variable con distribución exponencial demedia 5 años. Si se instalan 100 chips en un Tablet marca “Aivaz”, ¿cuál es la probabilidad dePRINCIPALES VARIABLES CONTINUAS 125

que el dueño del Tablet no tenga que comprar otra hasta pasar al menos 2 años? (El Tabletcasca si cascan 40 chips o más).Solución.X=“duración” es una variable exponencial de media 5 años.P (cascar un chip)=P (X >2) = 1 − F (2) = 1 − (1 − e − 1 5 ·2 )=e − 1 5 ·2 =0.67.Sea Y =“número de chips que se estropean de los 100” ∈ Bi(100, 0.67), que puede aproximarse(por una distribución N 67, √ )100 · 0.67 · (1 − 0.67) ≡ N (67, 4.7).Por lo tanto, la probabilidad pedida esque la aproximamos porP (Y ≥ 40) =P (Y ≥ 40) = P∑100k=40(Z ≥( 100k)(0.67) k (1 − 0.67) 100−k ,)40 − 67= P (Z ≥−5.744)4.7∼ = 1. 6. José Luis y Ramón están haciendo un rally etílico en el que hay abiertos 40 bares. José Luisestásólo de asistente, puesto que es abstemio y piensa, preocupado, que tendrá que cargar consu compañero cuando se desplome. Según sus cálculos, y conociendo de sobra que el hígadode su amigo es igual de absorbente que una esponja, Ramón ingiere una cantidad variablede alcohol en cada bar, que es por término medio de 200 cc con una desviación típica de 20cc. Sabiendo que Ramón se desploma al llegar a los 5 litros, ¿crees que la preocupación deJosé Luis está fundada? ¿En qué bar como máximo deberán terminar la ronda para estar casiseguros de que no cae? (casi seguro le llamamos a una probabilidad de 0.95).Solución.La variable X=“cantidad de alcohol en cada bar” es una variable aleatoria, de media 200 cc ydesviación típica 20 cc.Y =“cantidad de alcohol tras pasar por 40 bares”=X 1 + X 2 + ... + X 40 , que puede aproximarse poruna normal de media 200 · 40 = 8000, y desviación típica σ = √ 40 · 20 2 = 126. 49.P (Y >5 litros)=P (Y >5000) = P (Z > 5000−8000126.49)=P (Z >−23. 717) ≃ 1.Luego la probabilidad de que se desplome es prácticamente uno.b) Cae si el total de alcohol supera los 5 litros. Por lo tanto, no cae si el total de alcohol no llegaa los 5 litros, es decir hay que calcular n tal que P (S n < 5000) ≥ 0.95, donde S n = X 1 + X 2 + ... +126 PRINCIPALES VARIABLES CONTINUAS

X n∼ = N(200n, 20√ n).P (S n < 5000) ≥ 0.95 ⇔ P(Z

La variable X=“número de curaciones en 1000 pacientes” sigue una distribución binomial Bi(1000, 0.7).Como E(X) = 700. De los 1000 pacientes tratados, se esperan 700 curaciones.Al ser p>0.1, utilizamos el teorema central del límite para aproximar X por una distribuciónN(700, √ 1000 · 0.7 · 0.3)) ≡ N(700, 14.491).En la segunda parte del problema, nos piden los valores a y b tales queP (a 0.89 ⇔ F (c) > 1.892=0.945.Luego c ha de ser mayor que 1.5982. Como c = b−70014.491 , entoncesb − 70014.491=1.5982 ⇒ b =700+23.159.Los valores en los que estará comprendido dicho número serán 700 − 23.16 y 700+23.16, esdecir 676.84 y 723.16 (676 y 724 curaciones).8. El peso de la caja fuerte de una pyme de un solo empleado, en kilogramos, es una v.a. X quetiene distribución N(50, 6). La banda de los latin queens va robando cajas de pymes mediantealunizaje. a) Indicar la distribución de la variable aleatoria Y =“número de cajas, de 10 tiendasrobadas en una noche, que pesan menos de 40 kg”. b) ¿Cuál es la probabilidad de que puedantransportar las 10 cajas en un coche que admite una carga máxima de 450 kg?Solución.128 PRINCIPALES VARIABLES CONTINUAS

a) P (X < 40) = P ( )Z< 40−506 = P (Z

= F N(0,1) (−0.6) · 0.2=0.30765.0.17829P (C/X < 164) =P ({X = −28.018 =54.875= P (Z >) ∼ = 1. Buen cálculo, Toñito. 130 PRINCIPALES VARIABLES CONTINUAS

11. El letrero de un ascensor dice “Máximo 10 personas, 1200 kg”. Suponiendo que en el edificiovive toda la familia del gordo granudo, cuyo peso se distribuye según una normal de media 140kg y desviación típica 10 kg, ¿cuál es la probabilidad de que se metan 10 en el ascensor y sequeden bloqueados?Solución.La variable Y =“Peso de 10 personas”= X 1 + ... + X 10 , donde X i ∈ N(140, 10). Por lo tanto, porla fórmula (4.1), Y ∈ N(140 · 10, √ 10 · 10 2 ) ≡ N(1400, 31.623).P (quedar bloqueados) =P (Y >1200) == P (Z >1200 − 1400)=P (Z >−6. 32) ≃ 1.31.623Luego se van a quedar atrapados en el ascensor sí osí.PRINCIPALES VARIABLES CONTINUAS 131

12. El programa “Crónicas marranas” pide a los espectadores que manden sms si prefieren que serecorte el dinero en sanidad antes que en la fórmula uno. A la centralita comienzan a llegar mensajesa ritmo de 3 por minuto. Calcular la probabilidad de que lleguen al menos 160 mensajesen una hora.Solución.X=“número de mensajes por minuto” ∈ Pois(3) (se adecúa al proceso de Poisson).Y =“número de mensajes en una hora” =X 1 + ... + X 60 ∈ Pois(3 · 60 = 180). Por ser una suma devariables, la distribución de Y puede aproximarse por una normal N(180, √ 180).( ) Y − 180 200 − 180P (Y ≥ 160) = P √ ≥ √ = P (Z ≥−1.49) = 0.931. 180 18013. En el quiosco del campus se venden revistas pornográficas de 3, 5 y 7 euros, según las proporciones30, 20 y 50 por ciento, respectivamente. Cierto día que sale en portada Angélica Jolín,el quiosquero vende 300 revistas. ¿Cuál es la probabilidad de que haya vendido más de 2000euros?Solución.Sea X la variable que toma los valores 3, 5y7conprobabilidades 0.3, 02 y 0.5.La media es E(X) =3· 0.3+5· 0.2+7· 0.5 =5.4.La Varianza es E(X 2 ) − E(X) 2 =(3 2 · 0.3+5 2 · 0.2+7 2 · 0.5) − 5.4 2 =3.04.X mide los euros ganados por revista. La variable Y =“euros ganados al vender 300 revistas” =X 1 + ... + X 300 se aproxima por una distribución normal de mediaμ = 300 · 5.4 = 1620, σ = √ 300 · 3.04 = 30.199.132 PRINCIPALES VARIABLES CONTINUAS

La probabilidad de ganar más de 2000 euros esP (Y >2000) = P (Z >2000 − 1620)=P (Z >12.583) ≃ 1.30.19914. En una población de vampiros borrachos, la cantidad de vino X presente en la sangre de unvampiro elegido al azar es una variable aleatoria con distribución N(30, 10). Una cantidad superiora 53 se considera extremadamente alta. Para hacer un estudio, elegimos vampiros al azar.a) Si se eligen 7, ¿cuál es la probabilidad de que al menos uno de ellos presente una cantidadde vino extremadamente alta? b) Si se eligen 5 vampiros al azar, ¿cuál es la probabilidad de quela suma de sus cantidades de vino en sangre sea superior a 140? c) ¿Cuál es la probabilidadde que la diferencia de cantidad de vino en sangre entre dos vampiros sea inferior a 10?Solución.a) La probabilidad de que un vampiro presente una cantidad de vino extremadamente alta esp = P (X >53) = P (Z > 53−3010)=P (Z >2.3) = 1 − F N(0,1) (2.3) = 0.010.Y =“número de vampiros con cantidad de vino extremadamente alta del grupo de 7” ∈ Bi(7,p).P (Y ≥ 1) = 1 − P (Y =0)=1− ( 70)0.010 0 (1 − 0.010) 7 =0.072.b) Y = X 1 + ... + X 5 ∈ N(5 · 30, √ 5 · 10 2 ) ≡ N(150, 22.361) (aquí utilizamos el resultado (4.1)).P (Y >140) = P (Z > 140−15022.361 )=P (Z >−0.447) = 1 − F N(0,1)(−0.44) = 0.672 .PRINCIPALES VARIABLES CONTINUAS 133

c) X 1 − X 2 ∈ N(0, √ 10 2 +(−1) 2 · 10 2 ) ≡ N(0, 14.142) (se usa otra vez la fórmula (4.1), con c 1 =1y c 2 = −1).P (X 1 − X 2 < 10) = P (Z < 10−014.142 )=P (Z

12. INTERVALOS DE CONFIANZA1. Sanidad desea controlar si la cantidad de Cloruro-Alfatil-CloruroAdroxileno (CACA) presente enlos cereales de lactantes marca Fabran está dentro de los limites permitidos. Se desea analizarel contenido medio de CACA en cada caja de cereal. ¿Cuántos envases deberán analizarsepara que, con una confianza del 95%, el error cometido al estimar el contenido medio teóricode CACA mediante la media muestral no exceda el 5%? (Sanidad establece que el contenidode CACA en los cereales debe ser una variable aleatoria con distribución normal de desviacióntípica 1.4).Solución.Se supone que X =“contenido de CACA” ∈ N(μ, 1.4)Con una probabilidad de 0.95, queremos que el error no exceda el 5 por ciento, es decir que|μ − ¯x| ≤0.05.Como el intervalo de confianza para la media (cuando la desviación típica es conocida) es(¯x − Z α/2σ √n , ¯x + Z α/2σ √n),tenemos que |μ − ¯x| ≤Z α/2σ √n , es decir tenemos que.|μ − ¯x| ≤ Z α/2σ √n y|μ − ¯x| ≤ 0.05Entonces acotamos Z α/2σ √n por 0.05, donde α =1− 0.95 = 0.05, con lo que Z α/2 =1.96. Porconsiguiente:1.96 1.4 √ n≤ 0.05 ⇔⇔ √ n ≥1.96 · 1.40.05=54.88,lo que significa que n ≥ 3011.81 ⇒ n ≥ 3012 envases.INTERVALOS DE CONFIANZA 135

2. En una encuesta del Centro de Investigaciones Sociológicas se ha encontrado que las dos terceraspartes de los 60 encuestados desconfían de las encuestas. Determinar un intervalo deconfianza para la proporción p de personas que desconfían de las encuesas, con un nivel designificación del 1 por ciento.Solución.√ )ˆp(1−ˆp)El intervalo de confianza para una proporción es(ˆp ± Z α/2 . En este caso, ˆp = 2,Z n3 α/2 =2.64,n=60. El intervalo sale:⎛ √⎝ 2 23 − 2.64 ·· (1 − 2)3 360, 2 3 +2.64 · √2es decir, el intervalo va del 50.6 al 82.7 por ciento.⎞· (1 − 2)3 3 ⎠ =(0.506, 0.827),603. Una empresa de mercenarios está interesada en estudiar un nuevo tipo de interrogatorio paraque un preso cante por soleares, haciendole cosquillas en los cataplines con un cactus. Para suestudio, se le aplica este tercer grado a 10 presos sospechosos de guardar en su nevera armasde destrucción masiva, y se anota el número de carcajadas por minuto que el tío logra dar hastaque ya se autoacusa de tirar las torres gemelas:60.12, 66.8, 43.5, 56.23, 58.96, 45.86, 77.6, 56.29, 60.15, 12.65.136 INTERVALOS DE CONFIANZA

Obtener un intervalo de confianza para la media del número de carcajadas por minuto que lanzaun preso en su interrogatorio.Solución.Suponemos que el número de carcajadas sigue una distribución normal. El Intervalo de confianzapara la media es()ŝ n−1ŝ¯x − t n−1,1−α/2 √ n−1, ¯x + t n−1,α/2 √ .n nEn este caso, ¯x =53.81, ŝ n−1 =17.37 y t 9,1−α/2, =2.262 (eligiendo el valor habitual para α =0.05).El intervalo de confianza es (53.81 ± 2.26 17.37 √10)=(41.39, 66.24).4. En una ciudad de los Estados Unidos se observó que, de una muestra de 120 personas, 68tenían un arsenal de armas automáticas en su casa. Construir un intervalo de confianza para laproporción de personas obsesas con la violencia, para un nivel de confianza del 95 por ciento.Solución.Sea p la proporción de obsesos con las armas. En la muestra, los datos son:n = 120, ˆp = 68120 =0.56. 1 − α =0.95 ⇒ α =0.05 ⇒ Z α/2 =1.96.El intervalo de confianza para una proporción es( √ ) (√ )ˆp(1 − ˆp)0.56(1 − 0.56)ˆp ± Z α/2 = 0.56 ± 1.96 ·=n120=(0.56 − 0.088, 0.56+0.088) = (0.472, 0.648). INTERVALOS DE CONFIANZA 137

5. La desviación típica de la cantidad de alcohol de garrafa en las botellas de las fiestas universitariasque organiza un pub es una variable importante a controlar, para que no haya excesode alcohol en las botellas y el pub llegase a perder dinero. Para ello se elige al borrachín dela empresa y se le pide que se beba 13 botellas y estime el nivel de alcohol en cada una deellas. Después de anotar los datos se encuentra una desviación típica muestral de 0.12 litros.Obtener un intervalo de confianza para la verdadera desviación típica de la cantidad de alcoholpor botella, con un nivel del 90 por ciento.Solución.Los datos que nos dan son n =13, Ŝn =0.12. 1 − α =0.9 ⇒ α =0.1. El intervalo es(√ √ )nŜ2 n,nŜ2 n,donde χ 2 n−1,α/2 = χ2 12, 0.12χ 2 n−1,α/2χ 2 n−1,1−α/2=21.026. χ 2 n−1,1−,α/2 = χ2 12,1− 0.12=5.226.Por lo tanto, el intervalo resulta(√ √ )13 · 0.122 13 · 0.1221.026 , 2=(0.094, 0.189). 5.2266. Dos grupos de jubilados varones se presentan voluntarios para un experimento, enfocado acomprobar las diferencias de dos vitaminas para estimulación de la líbido en personas mayores.El grupo A toma unas pastillas de invención de una firma farmacéutica americana, y el grupo Btoma una que suministra la seguridad social (y que resultó ser mezcla de aspirina, que vale paratodo). Los resultados (medida de la proporción de aumento de cierto miembro innombrable, trastomar la pastilla y un largo paseo por una playa nudista), en los grupos AyBsongrupo A 1.85 0.177 0.564 0.140 0.128 0.51 0 0.759 0.332grupo B 0.83 1.256 0.412 0.14 0.232 0.11 0 0.123 0.332Suponiendo que los datos son normales y ambos grupos tienen la misma varianza, ¿confirmanestos datos que los resultados de la firma farmacéutica americana son estadisticamentesimilares a los de la seguridad social?Solución.El intervalo de confianza para la diferencia de medias, suponiendo que las varianzas por gruposson iguales, es: (√ )1(x − y) ± t n+m−2,α/2 Ŝ Tn + 1 =m138 INTERVALOS DE CONFIANZA

⎛⎞=⎝(x − y) ± t n+m−2,α/2√(n − 1)Ŝ2 n−1 +(m − 1)Ŝ2 m−1n + m − 2Los resultados que se obtienen son:Grupo A: n =9, x =0.49, Ŝ n−1 =0.56.Grupo B: m =9, y =0.38, Ŝ m−1 =0.40.√1n + 1 ⎠ .mElegimos un valor habitual para α =0.05, t n+m−2,α/2 = t 16,0.052=2.11.La desviación típica del total es:Ŝ T =√8 · 0.562 +8· 0.4 216·√19 + 1 9 =0.22.Haciendo los cálculos, el intervalo de confianza resulta:((0.49 − 0.38) − 2. 11 · 0.22, (0.49 − 0.38) + 2.11 · 0.22) = (−0.35, 0.57 ) .Como vemos, el intervalo de confianza para la diferencia de medias contiene al cero, con lo que,con esta muestra, no podemos apreciar diferencias estadísticamente significativas entre ambaspastillas. INTERVALOS DE CONFIANZA 139

7. El diario “El imparcial de derechas” informa de que “la mayoría de los estudiantes de la ESOcreen que Francisco Franco fue un futbolista del Real Madrid”. Se hizo esta declaración en basea una encuesta, para la cual se escogieron al azar y entrevistaron 86 estudiantes de la ESO,del mismo colegio donde estudió el ministro de educación. El 52 por ciento de los entrevistadosafirmaron que Franco había sido un buen futbolista del Madrid (“metió muchos goles”, afirmóalguno).a) A partir de esta información, obtener un intervalo de confianza del 95 por ciento para laproporción real de estudiantes de la ESO que creen que Franco fue futbolista. ¿Se justifica ladeclaración del periódico?b) ¿Cuántos estudiantes se tendrían que entrevistar por parte del periódico para estimar laproporción de estudiantes que creen que Franco fue futbolista, con un error máximo de 0.1 y unaprobabilidad de 0.95? Utilizar la proporción de la muestra anterior para aproximar la varianza dela estimación.Solución.Sea p la proporción de estudiantes que creen que Franco fue futbolista. En la muestra, los datosson:n =86, ˆp =0.52, 1 − α =0.95 ⇒ α =0.05 ⇒ Z α/2 =1.96.El intervalo de confianza para una proporción es( √ ) ( √ )ˆp(1 − ˆp)0.52(1 − 0.52)ˆp ± Z α/2 = 0.52 ± 1.96=(0.42, 0.62).n86Debido a que el valor “teórico” (la mayoría) que dice el periódico, que es p =0.51, está eneseintervalo, con probabilidad 0.95, se justifica la declaración del periódico.√ˆp(1−ˆp)b) Se requiere calcular n tal que |p − ˆp| ≤0.1. Como |p − ˆp| ≤Z α/2 , tendremos quenZ α/2√ˆp(1 − ˆp)n≤ 0.1 ⇔ 1.96√0.52(1 − 0.52)n≤ 0.1 ⇔⇔ n ≥ 1.962 · 0.52 · 0.480.01Por lo tanto, n ha de ser mayor o igual a 96. =95.88.8. Se realizan 10 determinaciones del porcentaje de riqueza en un lingote de oro hallado en lasminas del rey Salmonete, con dos instrumentos distintos. Las varianzas muestrales resultan ser140 INTERVALOS DE CONFIANZA

0.5419 y 0.6065. Encontrar un intervalo de confianza para el cociente de varianzas teóricas enambos instrumentos, con una confianza del 95 por ciento.Solución.El intervalo de confianza para la razón de varianzas es(F n−1,m−1,1−α/2Ŝ 2 m−1Ŝ 2 n−1Aquí, n = m = 10; Ŝ 2 n =0.5419 ⇒ Ŝ2 n−1 =Ŝ 2 m−1 =0.67.Los valores de la distribución F son,F n−1,m−1,α/2Ŝ 2 m−1Ŝ 2 n−1).nn−1Ŝ2 n = 10 · 0.5419 = 0.602. De igual forma calculamos9F 9,9,0.025 =0.248; F 9,9,1−0.052=4.026.Por lo tanto, el intervalo de confianza es()0.670.248 ·0.602 , 4.026 · 0.67=(0.27, 4.48). 0.6029. Se encuesta a 100 votantes para conocer sus opiniones respecto a los candidatos a presidenteRojojoy y Rubalcabra. Los resultados muestran que 55 apoyan a Rojojoy y 45 a Rubalcabra. Sepide:a) Calcular un intervalo de confianza para la proporción de cada candidato, con una confianzadel 99 por ciento.b) Calcular el tamaño muestral para que una fracción 0.55 de partidarios de Rojojoy permitaafirmar que será elegido, con una confianza del 99 por ciento.Solución.ˆp 1 =ˆp(Rojojoy) = 55100 =0.55. ˆp 2 =ˆp(Rubalcabra) = 45100 =0.45.Confianza del 99 por ciento significa que 1 − α =0.99 ⇒ α =0.01 ⇒ z α/2 =2.57.√ )El intervalo de confianza para una proporción es(ˆp ± Z α/2 .ˆp(1−ˆp)nEl intervalo para Rojojoy es(√ )0.55 · (1 − 0.55)0.55 ± 2.57 ·=(0.55 − 0.12, 0.55+0.12) = (0.43, 0.67).100INTERVALOS DE CONFIANZA 141

El intervalo para Rubalcabra es(√ )0.45 · (1 − 0.45)0.45 ± 2.57 ·=(0.45 − 0.12, 0.45+0.12) = (0.33, 0.57).100b) Rojojoy será elegido si el intervalo de confianza para la proporción de voto está a la derechade 0.5. Por lo tanto, su extremo inferior debe ser mayor que 0.5.√ˆp(1 − ˆp)ˆp − Z α/2n> 0.5 ⇒ 0.55 − 2.57√0.55(1 − 0.55)n> 0.5 ⇒√0.2475⇒ 2.57 < 0.05 ⇒ n> 2.572 · 0.2475= 653.89.n0.05 2Por lo tanto, el tamaño muestral ha de ser mayor o igual a 654. 10. Una compañía de recolección de uva contrata 10 inmigrantes subsaharianos y otros tantos supersaharianos.Las duraciones de vida (minutos) observadas tras un trabajo sin agua, comidani descanso han sido:A: 1614, 1094, 1293, 1643, 1466, 1270, 1340, 1380, 1028, 1497.B: 1383, 1138, 1092, 1143, 1027, 1061, 1627, 1021, 1711, 1065.a.- Suponiendo que las varianzas son iguales, encontrar un intervalo de confianza para la diferenciade medias al 95 por ciento.b.- Lo mismo pero suponiendo las varianzas desiguales.Solución.142 INTERVALOS DE CONFIANZA

El intervalo de confianza para la diferencia de medias, suponiendo varianzas iguales, es(√ )1(x − y) ± t n+m−2,α/2 Ŝ Tn + 1 =m⎛⎞=Obtenemos de los datos:⎝(x − y) ± t n+m−2,α/2√(n − 1)Ŝ2 n−1 +(m − 1)Ŝ2 m−1n + m − 2Grupo A: n =10, x = 1362.5, Ŝ n−1 = 202.46.Grupo B: m =10, y = 1226.8, Ŝ m−1 = 255.61.t n+m−2,α/2 = t 18,0.05 =2.1.2El intervalo sale (−80.93, 352.33).√1n + 1 ⎠ .mb) Suponiendo que las varianzas (o desviaciones típicas) no son iguales, el intervalo de confianzaes (dado que los tamaños de muestra son menores que 30):⎛⎞⎝(x − y) ± t n+m−2−Δ,α/2√Ŝ 2 n−1n+ Ŝ2 m−1m⎠ ,con Δ el entero más próximo a((m − 1) Ŝ2 n−1− (n − 1) Ŝ2 m−1(m − 1)(Ŝ2n−1nnm) 2) 2+(n − 1)(Ŝ2m−1m) 2=[ (9 ·)202.46 2109 · ( 202.46 210(255.61− 9 ·210) 2 (+9·255.61 210)] 2) 2=0.89674.En consecuencia, Δ=1, y el valor de t es t 17,0.025 =2.109. Como√Ŝ 2 n−1n√ +Ŝ2 m−1 202.46m = 2+ 260.87210 10= 104.42,el intervalo queda((1362.5 − 1226.8) ± 2.1098 · 104.42) == (140.8 − 220.31, 140.8 + 220.31) = (−79.51, 361.11). 11. Dos universidades tienen métodos distintos para abusar de sus alumnos. Las dos desean compararel tiempo medio que les lleva realizar un test absurdo sin validez alguna. En cada universidadse anotaron los tiempos para 100 alumnos seleccionados al azar. Las medias y cuasidesviacionesmuestrales obtenidas fueron las siguientes:x =50.2 y =52.9 Ŝ n−1 =4.8 Ŝ m−1 =5.4.INTERVALOS DE CONFIANZA 143

Si se supone que el muestreo se llevó a cabo sobre dos poblaciones normales e independientescon la misma varianza, obtener los intervalos de confianza estimados del 90, 95 y 99 por cientopara la diferencia de medias del tiempo de realización del test para las dos universidades. Conbase a ésta evidencia, ¿estaríamos inclinados a concluir que existe una diferencia real entre lostiempos medios para cada universidad?.Solución.Vamos a calcular el intervalo de confianza para la diferencia de medias, con varianzas desconocidas,pero iguales.El intervalo es⎛⎞⎝(x − y) ± t n+m−2,α/2√(n − 1)Ŝ2 n−1 +(m − 1)Ŝ2 m−1n + m − 2√1n + 1 ⎠ ,mdonde x − y = −2.7,√√√ √(n−1)Ŝ2 n−1 +(m−1)Ŝ2 m−1 99·4.8=2 +99·5.4 21=5.1 y + 1 = n+m−2 100+100−2 n m1+ 1100100 =0.14.Al ser los tamaños de muestra iguales a 100, los valores de la t de Student son los de la normal1 − α = 0.9 ⇒ z α/2 =1.64,1 − α = 0.95 ⇒ z α/2 =1.96,1 − α = 0.99 ⇒ z α/2 =2.57.Los intervalos de confianza son:1 − α = 0.9, (−2.7 ± 1.64 · 5.1 · 0.14) = (−2.7 ± 1.17) = (−3.87, −1.53),1 − α = 0.95, (−2.7 ± 1.96 · 5.1 · 0.14) = (−2.7 ± 1.39) = (−4.09, −1.31),1 − α = 0.99, (−2.7 ± 2.57 · 5.1 · 0.14) = (−2.7 ± 1.83) = (−4.53, −0.87).Observando los intervalos, vemos que los tres obtenidos son de números negativos (el valorcero no pertenece a ninguno de ellos), con lo cual se evidencia un menor tiempo medio para larealización del test en la primera universidad. 12. De las 120 inspecciones realizadas por un inspector de hacienda en otras tantas universidades,se ha comprobado que había fraude en 43 ocasiones. Obtener, al 10 por ciento de significación,un intervalo de confianza para el porcentaje de fraude.Solución.144 INTERVALOS DE CONFIANZA

Sea p la proporción de fraude. En la muestra, los datos son:n = 120, ˆp = 43120 =0.35. α=0.1 ⇒ Z α/2 =1.64.El intervalo de confianza para una proporción es( √ ) (√ )ˆp(1 − ˆp)0.35 · (1 − 0.35)ˆp ± Z α/2 = 0.35 ± 1.64 ·=n120=(0.35 − 0.071, 0.35+0.071) = (0.279, 0.421). 13. Una fábrica desea comparar la efectividad de 2 métodos de entrenamiento para los empleadosque ejecutan cierta operación de montaje. Los empleados seleccionados se dividirán en dosgrupos de igual tamaño. El primero recibirá elmétodo 1 (dinero extra), y el segundo el método2 (insultos extra). Cada empleado ejecutará la operación de montaje, y se medirá el tiempodel mismo.Se espera que las mediciones para ambos grupos tengan una cuasi-desviacióntípica de aproximadamente 2 minutos. Si la estimación para la diferencia en tiempo promedio demontaje debe tener un error máximo de 0.1 minutos con una probabilidad igual a 0.95, ¿cuántostrabajadores hay que incluir en cada grupo de entrenamiento?Solución.El intervalo de confianza para la diferencia de medias es(√ )1(x − y) ± t n+m−2,α/2 Ŝ Tn + 1 ,mdonde ŜT es la cuasi-desviación típica muestral de la población total (nos dicen que es 2). Eneste caso, n = m y, como n ha de ser grande, t n+n−2,α/2se puede aproximar por el valor de lanormal Z α/2 . Dado que 1 − α =0.95 ⇒ Z α/2 =1.96.INTERVALOS DE CONFIANZA 145

Si el error máximo admitido para la estimación de la diferencia en tiempo medio de montaje es0.1, tendremos que |(μ 1 − μ 2 ) − (x − y)| ≤0.1 (siendo μ 1 y μ 2 los valores medios teóricos), conlo quez α/2 Ŝ T√2n ≤ 0.1 ⇒ n ≥ 10.1 2 · z2 α/2 · Ŝ2 T · 2 ⇒ n ≥ 1568. 14. El gobierno autonómico ha decidido frenar de una vez la manía obsesiva de la gente de orinaren las piscinas públicas. Según un estudio publicado en Science, las piscinas públicas con unacantidad “más que razonable” de orín deben de tener un pH de 5.7. Supóngase que se analizanmuestras de agua de 40 piscinas públicas en la comunidad autónoma, con respecto a su pH ysu media y desviación resultan 3.7 y 0.5, respectivamente. Determinar un intervalo de confianzadel 99 por ciento para la media de pH en las piscinas de la comunidad autónoma.Solución.La variable considerada es X=“pH del agua de las piscinas”. Los datos que nos dan son n =40, ¯x =3.7, ŝ n =0.5. 1 − α =0.99 ⇒ α =0.01.()ŜEl intervalo de confianza es x ± t n−1n−1,1−α/2√n . Como Ŝn−1 = nn−1ŝn = 40 · 0.5 = 0.512 y39t n−1,1−α/2 =2.707, el intervalo que resulta es(3.7 ± 2. 707 · 0.512 )√ =(3.7 − 0.219, 3.7+0.219) = (3.481, 3.919).40Conclusión: los usuarios de las piscinas desobedecen totalmente las recomendaciones de Sciencey del gobierno autonómico, puesto que el intervalo para el pH medio queda muy alejadodel nivel 5.7 aceptable. 15. Una empresa farmacéutica desea establecer un “genérico” de la baba de caracol, lógicamentemás barato pero con parecidas propiedades para la piel. Para ello decide solicitar a los 500diputados de un parlamento cualquiera una muestra de baba, entregándole un vaso a cada unopara que lo llene, después de ver una película de dibujos. La variable estudiada en este caso esX= “porcentaje de miligramos de alantoína por decilitro de baba”. Se ha calculado una mediamuestral de 9.5 y una cuasi-desviación típica muestral de 0.5. Hallar un intervalo de confianzapara la cantidad “normal” media de alantoína por decilitro de baba, del 95 por ciento. Si lababa “real” contiene un porcentaje de alantoína de 9.8, ¿podría ser apta para el genérico laseleccionada por el laboratorio?Solución.146 INTERVALOS DE CONFIANZA

El intervalo de confianza para la media es()Ŝ n−1x ± t n−1,α/2 √ . nLos datos muestrales son x =9.5, Ŝ n−1 =0.5 y n = 500. Al ser n tan grande, el valor de la tcoincide con el de la normal: t n−1,α/2∼ = Z0.025 =1.96. El intervalo de confianza sale:(9.5 − 1.96 ·0.5√500, 9.5+1.96 ·0.5√500)=(9.45, 9.54).Como vemos, el intervalo de confianza no se acerca al nivel “real” de 9.8, por lo que el laboratorioestá empezando ya a considerar otras posibilidades para su genérico (presos comunes,drogadictos... ).16. Se ha realizado un estudio del efecto del calor en la tasa de movilidad de los altos cargos de laadministración. Los datos siguientes se han obtenido de la variable X=“tiempo invertido en hacerla o con un canuto”, realizado por una muestra de 20 altos cargos, sometidos a una temperaturade 11 o C por encima de la temperatura ambiente (temperatura ambiente 18 o C)”. Los resultadosobtenidos son: x =41.2, Ŝ n =2.1. Calcular un intervalo de confianza para el trabajo mediorealizado por los altos cargos cuando la temperatura es de 29 o C.Solución.El intervalo de confianza para la media es()Ŝx ± t n−1n−1,α/2√n .Los datos obtenidos son x =41.2, Ŝ n =2.1,n =20.t 19,α/2 = t 19,0.052confianza sale:(41.2 − 2.093 ·2.1√20, 41.2+2.093 ·2.1√20)=(40.217, 42.183). =2.093. El intervalo deINTERVALOS DE CONFIANZA 147

148 INTERVALOS DE CONFIANZA

13. TEST DE HIPÓTESIS1. Un enterado de bar (dícese de todo español que, sea cuál sea su ocupación, si está enelbarentiende más que nadie de todos los temas, independientemente de su profesión; que tiene uncuñado que también sabe más que nadie; que admite lo que pone cualquier periódico que estésobre la barra como verdad absoluta, y que se reafirma en sus argumentos por medio del tonocreciente de su voz) asegura que la manera de aceptar que una moneda es correcta es quesalga cara una vez en 2 lanzamientos. ¿Cuál es la función de potencia de este test?Solución.Sea p la probabilidad de cara. El test que propone el enterado es H 0 : p =0.5 frente a p ≠0.5, yse acepta H 0 si sale cara una vez en 2 lanzamientos.Potencia= 1− P (Error tipo II) =1− P (Aceptar H 0 /H 0 falsa) =P ( RechazarH 0 /H 0 falsa).La variable X=“número de caras en 2 lanzamientos” ∈ Bi(2,p).P (Aceptar H 0 /p ≠0.5) = P (X =1)= ( 21)p(1 − p) =2p(1 − p), con lo que la potencia seráF (p) =1− 2p(1 − p). Gráficamente:Como vemos, esta función tiene un mínimo en p =0.5. A medida que nos alejamos de ese valor,la potencia aumenta. En los casos más extremos (p =0o p =1), que sería una moneda con 2caraso2cruces, la potencia (probabilidad de rechazar que la moneda es correcta cuando no loes) es máxima, pero la potencia va disminuyendo a medida que la moneda es correcta (p =0.5).TEST DE HIPÓTESIS 149

2. El dueño del bar (habitualmente más enterado que nadie, debido a la seguridad que le ofrece elaprender de todos los enterados asíduos de su establecimiento) decide aceptar que una monedaes correcta si al lanzarla 10 veces se obtienen 3, 4, 5, 6 o 7 caras. ¿Cuál es la probabilidad decometer un error de tipo I? Comparar el resultado con el mismo error en el test propuesto por elenterado del problema anterior.Solución.La variable X=“número de caras en 10 lanzamientos” ∈ Bi(10,p).P (Error tipo I) =P (Rechazar H 0 /H 0 cierta). Si H 0 cierta, p =0.5.P (Rechazar H 0 /H 0 cierta) =1− P (aceptar H 0 /H 0 cierta) ==1−7∑k=3( ) 10(0.5) k (1 − 0.5) 10−k =0.109.kEn el problema anterior, P (Error tipo I) = P (Rechazar H 0 /H 0 cierta) =1− P (Aceptar H 0 /H 0cierta) =1− P (X =1/p =0.5), siendo X ∈ Bi(2,p). EntoncesP (Error tipo I) =1− 2 · 12 · (1 − 1 2 )=0.5.Como vemos, el error tipo I del test propuesto por el dueño del bar es bastante más pequeño queel del propuesto por el primer enterado, lo cual podría indicar que todo dueño de bar adquierealgo de sabiduria de los clientes.3. Las muestras aleatorias simples de dos grupos de personas, que ingresaron en urgencias latarde del 25 de diciembre, después de la clásica comilona, proporcionan las siguientes medicionesde los niveles de glucosa en la sangre:grupo A (tercera edad) 54 99 105 46 70 87 55 58 139 91grupo B (primera edad) 93 91 93 150 80 104 128 83 88 95¿Estos datos permiten mantener la hipótesis de que las varianzas de los niveles de glucosa ensangre son iguales en ambos grupos?Solución.De los datos obtenemosGrupo A: n =10, Ŝn−1 =29.2. Grupo B: m =10, Ŝm−1 =20.91.Queremos contrastar la hipótesis nula H 0 : σ 2 A = σ2 B frente a H 1 : σ 2 A ≠ σ2 B . Bajo H 0, σ2 Bσ 2 A150 TEST DE HIPÓTESIS=1.

El estadístico para este contraste esw = Ŝ2 n−1σ 2 2Ŝ 2 m−1σ 2 1∈ F n−1,m−1 si H 0 es cierta.El valor del estadístico para esta muestra es ŵ = 29.2220.91 2 · 1=1.95.Para calcular el p-valor del contraste, tenemos que tener en cuenta que la distribución F esasimétrica. Por lo tanto, calculamos el área a la izquierda de ŵ (ver Figura 13-1), que es 0.83292.Figura 13-1: Valor del estadístico del contraste.Esto significa que el área a la derecha (en gris en la figura) es 1 − 0.832 = 0.168 . Así, el p-valores el doble del menor de estos valores: 2 · 0.168=0.336, con lo que se acepta la hipótesis nulaH 0 . TEST DE HIPÓTESIS 151

4. El programa “Virusdestruyer” afirma en su propaganda que es capaz de detectar un 60 porciento de los virus que todavía no existen. Un alumno de la ESO se inventa 156 virus nuevosmutando el virus “MASTER of ESO.depresive”. El ordenador de la secretaría de su instituto, quetiene incorporado la versión pirata del antivirus, facilitada por la delegación del gobierno, logradetectar 77. ¿Qué opinas de la publicidad del antivirus?Solución.El programa ha detectado 77156afirma el programa.=0.493, que parece bastante más bajo de la proporción 0.6 queContrastamos H 0 : “el programa detecta el 60 por ciento de los virus”, es decir p =0.6 frente aH 1 : p

Solución.a) Las proporciones muestrales son ˆp 1 = 89200 y ˆp 2 = 100170 .El contraste que se plantea es H 0 : p 1 = p 2 frente a H 1 : p 1 ≠ p 2 .H 0 es lo mismo que p 1 − p 2 =0.El estadístico para este contraste esw = (ˆp 1 − ˆp 2 ) − (p 1 − p 2 )√,ˆp 1 (1−ˆp 1 )n 1+ ˆp 2(1−ˆp 2 )n 2que sigue, aproximadamente, una distribución N(0, 1) cuando H 0 es cierta.El valor del estadísticopara las muestras observadas es:− 100200√89 89 ·(1− 200 200 )ŵ = ( 89170 ) − (p 1 − p 2 )+ 100170200·(1−100170 )170=√89200( 89200 − 100170 ) − 089 ·(1− 200 )+ 100170200·(1−100170 )170= −2. 77.El p-valor es el doble del área a la izquierda de -2.77 (Figura 13-2), que es F N(0,1) (−2. 77) =0.00273. Por lo tanto el p-valor sería 0.004, que es un valor muy bajo, con lo que rechazariamosla hipótesis nula. Por consiguiente, consideramos que hay diferencias significativas entre losbarrios (desde el punto de vista estadístico, no por las pintas).TEST DE HIPÓTESIS 153

Figura 13-2: Valor del estadístico para el contraste de diferencia de proporciones. El p-valor es eldoble del área a la derecha de 2.77 (o área a la izquierda de -2.77).6. La empresa “Software libre de pago S.L.” vende un sistema operativo para ordenadores. Segúnel manual, el tiempo de respuesta para el comando TIMO sigue una distribución normal demedia 190 milisegundos. Para realizar el contraste H 0 : “la media es 190” frente a H 1 : “la mediaes mayor que 190”, se toma una muestra aleatoria simple, obteniéndose los siguientes tiemposde respuesta: 187, 212, 195, 208, 192. ¿Se acepta o se rechaza H 0 ?Solución.Contrastamos H 0 : μ = 190 frente a H 1 : μ>190.De los datos de la muestra obtenemos que ¯x =198.8, ŝ n−1 =10.70. El valor del estadístico paraeste contraste es:ŵ =x − μ oŜ n−1 / √ n =1.837,y el p-valor es el área a la derecha de ŵ, esto es 0.070, por lo que se tendería a rechazar lahipótesis nula.7. Sanidad ha fijado en 70 el número medio de bacterias por centímetro cúbico de agua que constituyeun nivel máximo aceptable para el agua embotellada. Este nivel puede causar vómitos,diarrea, etc, pero nunca supera los 2 días de hospital. Un nivel superior genera más gastos al154 TEST DE HIPÓTESIS

ministerio porque entonces se superan los 2 días de hospital. Se seleccionan 9 fuentes públicasde 9 pueblos y se realiza un recuento del número de bacterias por centímetro cúbico en cadauna de ellas, obteniéndose 74, 76, 69, 66, 74, 75, 78, 62, 79.a) Establecer y resolver el contraste de hipótesis adecuado a la situación descrita. b) Si uncientífico pagado por el partido de la oposición dice que el superar las 73 bacterias puede provocarla muerte, ¿qué tamaño de muestra debe elegirse, para realizar el contraste anterior connivel 0.05 y potencia 0.9?Solución.Contrastamos H 0 : μ =70frente a H 1 : μ>70.De los datos obtenemos n =9, ¯x =72.55, ŝ n−1 =5.7. El valor del estadístico para el contraste esŵ =x − μ oŜ n−1 / √ n =1.34.El p-valor es el área a la derecha de ŵ =1.34, es decir 0.11. Con este p-valor no habría motivopara rechazar la hipótesis nula.b) En este caso plantearíamos H 0 : μ ≤ 73 frente a H 1 : μ>73.Deberíamos rechazar H 0 , para un nivel α =0.05, cuando ŵ>F N(0,1) (0.95) = 1.64 (aquí elegimoscomo valor crítico para aceptar o rechazar el de una distribución N(0, 1) ynoeldelat de Studentpor dos motivos: al no saber el tamaño muestral, no sabríamos en qué t debemos buscar y, encualquier caso, el tamaño muestral ha de ser grande, de manera que se aproximará el valor dela t por el de la normal). Entoncesŵ>1.64 ⇔x − μŜ n−1 / √ n> 1.64 ⇔ x − μ>1.64Ŝn−1 √ ⇔ n x>73+1.64Ŝn−1 √ . nPotencia= 1− P (Error tipo II) =1− P (Aceptar H 0 /H 0 falsa) =P (Rechazar H 0 /H 0 falsa). Si lapotencia ha de ser 0.9, entoncesP (ŵ>1.64/μ > 73) = 0.9 ⇔ P (ŵ ≤ 1.64/μ > 73) = 0.1.() ⎛⎞Ŝn−173+1.64 √ n− μ0.1 =P x ≤ 73+1.64Ŝn−1 √ /μ > 73 = P ⎝Z ≤ /μ > 73⎠ .n Ŝ √n n−1El valor de una N(0, 1) que deja a la izquierda un área de 0.1 es −1.28. Por lo tanto,73+1.64 Ŝn−1 √ nŜ n−1 √n− μ= −1.28 ⇔ 73+1.64Ŝn−1 √ − μ = n −1.28Ŝn−1 √ ⇔ nTEST DE HIPÓTESIS 155

⇔ 73 − μ = −2.92Ŝn−1 √ ⇔ n 2.92Ŝn−1 √ = μ − 73 ⇔ n =n(2.92Ŝn−1μ − 73Si, por ejemplo, μ =74, y cogemos como Ŝn−1 =5.7 (es una estimación de la desviación típica),n = 277.02, es decir el tamaño muestral ha de ser mayor o igual a 278.8. Se cree que los chicos adolescentes que fuman porros comienzan a hacerlo a una edad mástemprana que las chicas. ¿Los siguientes datos apoyan esta suposición? (Suponer que ladistribución de la variable edad a la que empiezan a beber hombres y mujeres es normal).Solución.Hombres n =15 x =11.3 ŝ n−1 =4Mujeres m =14 x =12.6 ŝ m−1 =3.5Planteamos el contraste H 0 : μ X = μ Y frente a H 1 : μ X

9. Para estudiar el efecto del ejercicio físico sobre el nivel de triglicérido, se ha realizado el siguienteexperimento con 11 individuos: se tomaron muestras de sangre para determinar el nivel detriglicérido por 100 mililitros de sangre, de cada sujeto. Después los individuos fueron sometidosa un programa de sexo agotador. Al final del periodo de ejercicios, se tomaron nuevamentemuestras de sangre y se obtuvo una segunda lectura del nivel de triglicérido. De este modo, sedispone de dos conjuntos de observaciones del nivel de triglicérido por 100 mililitros de sangrede los sujetos (suponer normalidad en las variables):Sujeto 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11Previo 68 77 94 73 37 131 77 24 99 629 116Posterior 95 90 86 58 47 121 136 65 131 630 104¿Hay pruebas suficientes para afirmar que el sexo duro produce cambios en el nivel de triglicérido?Solución.Se contrasta H 0 : μ X = μ Y frente a H 1 : μ X ≠ μ Y .En este caso las muestras son dependientes (muestras relacionadas o apareadas). Hay quecalcular las diferencias entre los datos de una muestra y la otra: d =(d 1 = y 1 −x 1 , ..., d n = y n −x n ).El estadístico esŵ =d − μ oŜ n−1 / √ n .Para las muestras observadas, tenemos que d =12.54, Ŝ n−1 =24.46 y μ o =0bajo H 0 . Enconsecuencia,ŵ = 12.5424.46 √11=1.70.TEST DE HIPÓTESIS 157

El p-valor del contraste es 0.12 (2 veces el área a la derecha de 1.70), con lo que, en principio,no rechazamos la hipótesis nula, luego no podemos concluir que el sexo agotador afecte al nivelde triglicérido. Los interesados en reducirlo deberán practicar otro deporte. 10. El Gasapamil y el Pedopruside son dos productos utilizados para reducir la aerofagia. Paracompararlos, unos pacientes son tratados con Gasapamil y otros con Pedopruside tras darlesde comer callos y fabada. Los resultados obtenidos se muestran en la siguiente tabla, dondeX=“reducción (número) de los gases evacuados/segundo por vía secundaria de un pacientetratado con Gasapamil” e Y =“reducción de los gases evacuados/segundo por vía secundaria deun paciente tratado con Pedopruside”:Sujeto 1 2 3 4 5 6 7X 10 15 18 23 12 16 15Y 15 10 19 9 14 12 18a) Admitiendo normalidad en las variables, ¿puede aceptarse la igualdad de varianzas a unnivel de significación de 0.1? b) Un médico de cabecera cobra mayor comisión por recetar Gasapamil.¿Proporcionan estos datos suficiente evidencia estadística, a un nivel de significaciónde 0.1, para concluir que el Pedopruside es menos efectivo para reducir la peste habitual traslas comidas de navidad, época en la que el médico tiene la consulta llena?158 TEST DE HIPÓTESIS

Solución.a) Para contrastar H 0 : σ X = σ Y frente a H 1 = σ X ≠ σ Y , el estadístico a utilizar esw = Ŝ2 n−1σ 2 2Ŝ 2 m−1σ 2 1∈F n−1,m−1 si H 0 es cierta.En este casoŵ = 4.192 =1. 21.3.82 El p-valor para el contraste es 2 veces el área a la derecha de 1.21, que es 2 · 0.41 = 0.82, con loque aceptamos claramente la igualdad de varianzas.b) El médico quiere saber si la reducción media de gases es mayor con Gasapamil (variableX) que con Pedopruside (variable Y ). Vamos a planteamos el contraste H 0 : μ X = μ Y frente aH 1 : μ X >μ Y .El estadístico del contraste esw =(x − y) − (μ X − μ Y )√√(n−1)Ŝ2 n−1 +(m−1)Ŝ2 m−1·n+m−21n + 1 m.Las medias muestrales son x =15.57 e ȳ =13.85 y, bajo H 0 ,μ X − μ Y =0. Entonces ŵ =0.804.El p-valor es el área a la derecha de ŵ, que es 0.21, con lo que, con esta muestra, no podemosrechazar H 0 (igualdad de efectos de ambas marcas). 11. El peso en mujeres (no muy pesadas) de 30 a 40 años es una variable aleatoria con distribuciónnormal de media 53 Kg. Un estudio realizado en 16 mujeres de tales edades, que han adoptadoun método nuevo de gimnasia facial, da una media muestral de 50 kg y una cuasi-desviacióntípica muestral de 5 Kg. ¿Puede afirmarse que dicho método modifica el peso medio?Solución.Contrastamos H 0 : μ =53frente a H 1 : μ

El p-valor es el área a la izquierda de −2.4, buscado en una distribución t con 15 grados delibertad, que es 0.14. Con este p-valor no rechazaríamos la hipótesis nula, luego el método noparece bueno para adelgazar. 12. Para poder disfrutar de unas buenas vacaciones de verano en su finca de Chorizolandia, lavicerrectora de planificación familiar ha decidido montar una timba en el patio del rectorado ysacarse así unos duros extra. Allí obliga a jugar a los dados y a apostar a todos los profesoresy alumnos que se acercan al rectorado para realizar alguna gestión. Un alumno de Caminosque ya ha aprobado la estadística sospecha que la vicerrectora está utilizando dados trucados,porque cree que gana demasiadas veces. Para tratar de demostrarlo, se esconde detrás de unárbol en el patio del rectorado y anota los resultados de 30 jugadas seguidas.Resultado del lanzamiento 1 2 3 4 5 6número de resultados 3 4 6 5 2 10La vicerrectora gana cuando sale el 6. Gracias a sus conocimientos de estadística, el alumnova a intentar que la vicerrectora, en vez de ir a su finca, pase el verano en Alcalá-Meco con suamiga Mari Conde Playa. ¿Crees que lo conseguirá?Solución.Contrastamos H 0 : “el dado está cargado en el 6”, es decir p(6) = 1/6, frente a H 1 : p>1/6.El estadístico del contraste es w =cuando H 0 es cierta.√ ˆp−pp(1−p)n, que sigue, aproximadamente, una distribución N(0, 1)En este caso, ˆp =10/30 yŵ =1030 − 1 6√16 (1− 1 6 )30=2.44.El p-valor es 0.0073, luego se rechaza la hipótesis nula. El alumno, como mínimo, deberáobservar una muestra más grande para intentar ver si el porcentaje observado del 6 supera alteórico. 160 TEST DE HIPÓTESIS

13. Interesa investigar si el nivel de los estudiantes que acceden a la Universidad es semejanteal de hace diez años. Para ello se somete a una prueba especial (enroscar bombillas) a 200estudiantes seleccionados al azar, observándose que la superan 80. Esa misma prueba habíasido realizada hace diez años por una amplia muestra de 400 estudiantes, superándola un totalde 335.a) ¿Puede afirmarse que, en la actualidad, la proporción de estudiantes que pasarían la pruebaes inferior, en más de un cinco por ciento, a la proporción de ellos que la pasaron hace diezaños? Responder en base al p-valor. b) Supuesto que se hubiesen tomado dos muestras deigual tamaño, ¿cuál debería ser éste para estimar la diferencia de proporciones con un errorinferior al uno por ciento, y un nivel de confianza del 95 por ciento?Solución.a) Las proporciones muestrales son ˆp 2 = 80200 =0.4 y ˆp 1 = 335400 =0.8375.El contraste que se plantea es H 0 : p 1 − p 2 ≥ 0.05 frente a H 1 : p 1 − p 2 < 0.5. El estadístico delcontraste esEn este casow = (ˆp 1 − ˆp 2 ) − (p 1 − p 2 )√.ˆp 1 (1−ˆp 1 )n 1+ ˆp 2(1−ˆp 2 )n 2ŵ = (0.4 − 0.8375) − (p 1 − p 2 )√0.4·(1−0.4)+ 0.8375·(1−0.8375)200 400=(0.4 − 0.8375) − 0.05√= −12.42.0.4·(1−0.4)+ 0.8375·(1−0.8375)200 400El p-valor es el área a la izquierda, en una N(0, 1), del valor -12.42 (prácticamente 0), con lo querechazamos de lleno H 0 (aceptando la hipótesis alternativa).TEST DE HIPÓTESIS 161

) Suponemos n 1 = n 2 .El intervalo de confianza (de máxima longitud) para la diferencia de proporciones es(√1(ˆp 1 − ˆp 2 ) ± Z α/2 + 1 ),4n 1 4n 2cuya longitud es 2 · Z α/2√14n 1+ 14n 1. Queremos queLuego2 · Z α/2√14n 1+ 14n 1=2· Z α/2√24n 1≤ 0.1 y a =0.05 ⇒ Z α/2 =1.96.4 · 1.96 2 2 ≤ 0.1 2 ⇒ n 1 ≥ 1.962 · 2= 768.32.4n 1 0.01Obtenemos pues que los tamaños de muestra (para ambas muestras el mismo) deberían sermayores o iguales a 769.14. Científicos de una universidad española desean estudiar si es cierto que “se coge antes a unmentiroso que a un cojo”. Para estudiar este problema, se seleccionaron 2 grupos de 11 personas:uno formado por por gente normal a la que se le hizo un vendaje para impedirles doblaruna pierna, y otro formado por políticos de profesión. Se mezcló aleatoriamente a los dos grupos,y se les dejó en los alrededores de la plaza de Neptuno (Madrid), a escasos treinta metrosde un pelotón de antidisturbios cabreados. A continuación, se lanzó por sorpresa una bengalaen el medio de los antidisturbios, simulando que procedía del grupo de los voluntarios, y se anotóel tiempo que cada uno de ellos tardó en recibir el primer porrazo:Sujeto 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11Grupo A (mentirosos) 25 25 47 44 30 37 53 53 52 60 28Grupo B (cojos) 27 29 47 56 26 82 57 80 61 59 43¿Hay suficiente evidencia estadística (al nivel de significación 0.01) a favor del refrán español(suponer que las varianzas de los grupos pueden suponerse iguales)?162 TEST DE HIPÓTESIS

Solución.Tenemos dos variables que miden el tiempo: X representando datos del grupo A, e Y representandodatos del grupo B. El contraste que planteamos es:H 0 : μ X = μ Y frente a H 1 : μ X

Se trata de contrastar H 0 : μ =8frente a H 1 : μ>8.Como nos dicen que la desviación típica es conocida e igual a 2, el estadístico a utilizar esw = x − μ oσ/ √ n∈ N(0, 1).En este caso,ŵ = 9 − 8√2=5.100El p-valor es el área a la derecha de ŵ, que es prácticamente cero, luego se rechaza la hipótesisnula.17. Se desea saber si es cierto lo postulado en cierto foro bastante conocido de internet, que reza“todas las tías son putas menos mi madre que es una santa”. Para ello se seleccionan 100 mujerescon novio o casadas (ninguna de ella con hijos) y se les lanza un gancho: un presentadorde televisión parecido a Brad Pitt les entra en un bar y les invita a una copa. Al final, 57 de ellasacabaron en la cama con el presentador. ¿Qué se podría decir del refrán, desde un punto devista estadístico?Solución.Llamamos p = P (mujeres infieles). Se entiende que T D S P T Ssip>0.5.Se trata de contrastar H 0 : p ≤ 0.5 frente a H 1 : p>0.5 (aceptamos el refrán como verdad simás de la mitad de las mujeres son infieles, menos porcentaje entra dentro de la idiosincrasiahumana).164 TEST DE HIPÓTESIS

El estadístico del contraste es w =√ ˆp−pp(1−p)nŵ =. En este caso,0.57 − 0.5√0.5·(1−0.5)100=1.4.El p-valor es el área a la derecha de 1.4, en una distribución N(0, 1), que es 0.09. Luego seacepta o se rechaza dependiendo del nivel. Para a =0.05 o 0.01 se aceptaría H 0 , pero si a =0.1se rechazaría. El problema sigue, por lo tanto, abierto a posteriores investigaciones.18. Se observaron 12 mujeres del alto Volga y se obtuvieron los tiempos en minutos de la duracióndel parto: 353; 496; 568; 422; 410; 380; 463; 430; 310; 518; 446; 368. En el bajo Caribe la duración mediadel parto es de 400 minutos aproximadamente. A la vista de estos datos, ¿puede afirmarseque las caribeñas bajas tardan menos en dar a luz que las Volguianas altas? .Solución.Consideremos X=“tiempo del parto de las mujeres del Alto Volga”. Como queremos saber si lamedia es mayor que 400 (que es lo que tardan en el bajo Caribe), contrastaremos:H 0 : μ = 400 frente a H 1 : μ>400.Los datos que se obtienen de la muestra son:n =12, ¯x = 430.33, ŝ n−1 =73.62,TEST DE HIPÓTESIS 165

y el valor del estadístico del contraste esŵ =430.33 − 36073.62=3. 309.√12El p-valor es el área a la derecha de 3.309, en una distribución t con 11 grados de libertad, quees 0.004, con lo que se rechazaría claramente H 0 y aceptaríamos que el tiempo medio es másgrande que 400.19. Una empresa fabrica 2 tipos de preservativos elásticos. En ambos, la longitud sigue una distribuciónnormal de desviación típica 2 cm y medias 25 (tamaño grande) y 30 (extragrande). Unfarmacéutico recibe un envío de dos paquetes de preservativos, uno de cada clase, pero porerror vienen sin clasificar. Para diferenciar si son de un tipo u otro, el farmacéutico inventa lasiguiente regla: examina 20 y acepta que son del tipo A si la media muestral de la longitud delos 20 preservativos es mayor que 28. Calcular las probabilidades de los posibles errores quepuede cometer.Solución.Se plantea el contraste H 0 : μ =30frente a H 1 : μ =25. La regla de decisión es aceptar H 0 si¯x >28.Si X ∈ N(μ, σ) entonces, dada una muestra de tamaño n, la media muestral ¯x ∈ N(μ,σ √n ).P (Error tipo I) =P (Rechazar H 0 siendo cierta) =P (¯x ≤ 28/H 0 es cierta).P (Error tipo II) =P (Aceptar H 0 siendo falsa) =P (¯x>28/H 0 es falsa).Si H 0 es cierta, μ =30, luego ¯x ∈ N(30,2 √20).P (¯x ≤ 28/H 0 es cierta) =P (¯x ≤ 28/μ = 30) =()28 − 30= P Z ≤√2= P (Z ≤−4.472) ∼ = 0.20Si H 0 es falsa,μ=25, por lo tanto ¯x ∈ N(25,2 √20).P (¯x>28/H 0 es falsa) =P (¯x>28/μ = 25) =()28 − 25= P Z>√2= P (Z >6.7) ∼ = 020Comprobamos que las probabilidades de cometer los errores de tipo IyIIsonprácticamentecero, por lo que el farmacéutico se ha inventado una regla cojonuda. 166 TEST DE HIPÓTESIS

20. Cachuli lleva billetes desde el ayuntamiento a su casa, en bolsas de basura de 10 kg cada una.La Pantoja anda un poco mosca porque, en el último pago que tuvo que hacerle al peluquero desu hijastro, le entregó una bolsa y no había suficiente dinero. Isabel, enojada, empieza a pensaren vengarse, cantándole a su novio toda la noche “la bien pagá” a grito pelado. Pero, antesde hacerlo, decide comentar el problema con su amiga Mayte, que hizo un curso de estadísticabásica en la cárcel para rebajar condena. Mayte decide coger aleatoriamente siete bolsas delarmario de Cachuli y pesarlas, obteniendo: 9.8, 10.2, 10.4, 9.8, 10.2, 10.2, 9.6. A partir de estamuestra, Mayte le dice a la Pantoja que hace muy mal en dudar de su novio. ¿Por qué?Solución.Suponemos que el peso de las bolsas de dinero sigue una distribución normal. Planteamos elcontraste H 0 : μ =10frente a H 1 : μ

(grupo 1) y otros que ven “2001 odisea del espacio” (grupo 2), obteniéndose las siguientespresiones sistólicas al final de la película:Grupo 1 104 88 100 98 102 92 96 100 96 96Grupo 2 100 102 96 106 110 110 120 112 112 90¿Puede considerarse que las presiones medias son iguales a pesar de ver una u otra película?Solución.Los datos que se obtienen son, para el grupo A: n =10, x =97.2, Ŝ n−1 =4.73.Para el grupo B: m =10, y = 105.8, Ŝ m−1 =8.86.El contraste que se plantea es: H 0 : μ 1 = μ 2 frente a H 1 : μ 1 ≠ μ 2 . El estadístico del contraste es(desconocemos las desviaciones típicas y los tamaños muestrales son pequeños):w = √(x − y) − (μ 1 − μ 2 )(n−1)Ŝ2 n−1 +(m−1)Ŝ2 m−1n+m−2√1n + 1 m∈t n+m−2−Δ si H 0 es cierta.Para estos datos se obtiene que Δ es el entero más próximo a 4.26, yŵ =96.8 − 105.3√√9·4.91 2 +9·9.35 218·1+ 110 10= −2.706.El p-valor es 0.017, con lo que rechazaríamos la hipótesis de igualdad para niveles de 0.05 o0.1. Para un nivel más pequeño como 0.01 se aceptaría. Sin embargo, de la observación de lasmedias muestrales (y de la observación de la película de Stanley Kubrick) algunos sospechamosque la contemplación de “2001 odisea del espacio” tiende a aumentar la presión sanguínea.. 168 TEST DE HIPÓTESIS

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