Cap´ıtulo 1. Conjuntos con topolog´ıa - UN Virtual

1.15 Definición La topología dada por el teorema anterior, se conoce comola topología generada por la base B y se denota G = 〈B〉.1.16 Ejemplo Topología a derecha. Sea (X, ≤) un conjunto parcialmenteordenado. El conjunto de las colas a derechaes una base para una topología, puesx ↑ := [x, →) :={t | x ≤ t}[x, →) ∩ [y, →) = ⋃ [z,→) para z ∈ [x, →) ∩ [y, →).La topología generada se denota J d y es conocida como la topología a derecha–dualmente existe la topología a izquierda–. Esta topología es saturada –cerradapara la intersección– en el sentido que la intersección arbitraria de abiertos esde nuevo un abierto. Nótese que las colas abiertas también son abiertos paraesta topología(a, →) = ⋃ b>a[b, →).1.17 Ejemplo Claramente una topología puede tener diferentes bases; porejemplo para R 2 se definen dos bases B 1 , B 2 que conducen a una misma topologíaconocida como la usual:1. U ∈B 1 si y sólo si U = {(x, y) : ( (x − u) 2 +(y − v) 2) 1/20 y algún (u, v) enR 2 . U se acostumbradenotar como B ε ((u, v)) —U es el interior de un disco enR 2 de centro en (u, v) y radio ε—.2. V ∈B 2 si y sólo si V = {(x, y) :|x − u| + |y − v| 0 y algún (u, v) enR 2 —V es el interior de un romboen R 2 —.Es un ejercicio verificar, que lo que se puede expresar como unión de elementosde B 1 , se puede expresar también como unión de elementos de B 2 , con lo cuallas dos topologías generadas coinciden.1.18 Ejemplo Para R n se define una base B de la manera siguiente:B = {B ε (x) | ε>0, x=(x 1 ,...,x n ) ∈ R n }donde,⎧⎨B ε (x) =⎩ (y 1,...,y n ) ∈ R ∣ ( n) ⎫1/2∑⎬n (x i − y i ) 2

1.21 Ejemplo Los intervalos de la forma (a, →), (←,b)cona, b ∈ R formanuna subbase para la topología usual.En general se define una subbase de la manera siguiente.1.22 Definición Sea (X, G) un espacio topológico. Una subbase para latopología G, es una colección D de subconjuntos abiertos de X con la propiedadque, la familia formada por las intersecciones finitas de elementos de D es unabase para G.Curso de Topolología General.http://www.virtual.unal.edu.co4