Notas de Topolog´ıa Clara M. Neira U. - UN Virtual

Notas de TopologíaClara M. Neira U.22 de octubre de 2003

Capítulo 0Teoría de ConjuntosEn esta sección se presentan muy brevemente conceptos básicosde la Teoría de Conjuntos así como la notación que se utilizará enadelante. Suponemos al lector familiarizado con estas definicionesy resultados por lo cual no incluiremos demostraciones.0.1. Definiciones básicasAsumimos que el significado de la palabra “conjunto”es intuitivamenteclaro y, como es costumbre, utilizaremos preferiblementeletras mayúsculas A, B, ... para denotar los conjuntosy letras minúsculas a, b, ... para denotar los elementos de unconjunto.Si a y b son elementos distintos, escribiremos a ≠ b y con A ≠ Bestamos indicando que A y B son conjuntos distintos.Si un elemento a pertenece al conjunto A utilizaremos la notacióna ∈ A y si deseamos expresar que a no es un elementodel conjunto A escribiremos a /∈ A. Para indicar que todos los1

elementos del conjunto A pertenecen también al conjunto B, estoes que que A es un subconjunto de B o que el conjunto Aestá contenido en B, escribiremos A ⊂ B y si deseamos especificarque, aunque A es un subconjunto de B, existen elementosde B que no pertenecen a A, escribiremos A B. En este casodiremos que A es un subconjunto propio de B. Como es natural,si A ⊂ B y B ⊂ A entonces A y B tienen los mismos elementosy escribiremos A = B.Para describir un conjunto podemos listar de manera explícitasus elementos como cuando escribimos A = {2, 3, 5, 7}, o indicaruna propiedad que los caracterice, como cuando utilizamosla notaciónA = {x : x es un número primo menor que 10}o equivalentementeA = {x|x es un número primo menor que 10}.Denotamos con el símbolo ∅ al conjunto vacío y afirmamos que∅ ⊂ X para todo conjunto X.Si X es un conjunto cualquiera, la colección de todos los subconjuntosde X es un conjunto que denotamos con el símboloP(X) y llamamos el conjunto “partes de X”.2

0.2. Unión, intersección y diferencia de conjuntosSi A y B son conjuntos entoncesla unión de A y B,que denotamos A ∪ B es elconjunto formado por los elementosque pertenecen a A opertenecen a B. Es decirA∪B = {x : x ∈ A o x ∈ B}.Si A y B son conjuntos entoncesla intersección de A yB, que denotamos A∩B, es elconjunto formado por los elementosque pertenecen a A ysimultáneamente pertenecena B. Es decirA∩B = {x : x ∈ A y x ∈ B}.Si A ∩ B = ∅ decimos que A y B son disyuntos.De las definiciones se concluye que A ⊂ A ∪ B, B ⊂ A ∪ B,A ∩ B ⊂ A y A ∩ B ⊂ B.3

Además se satisfacen las siguientes propiedades:1. A ∪ A = A y A ∩ A = A para cada conjunto A.2. A ∪ ∅ = A y A ∩ ∅ = ∅ para cada conjunto A.3. A ∪ B = B ∪ A y A ∩ B = B ∩ A para todo conjunto A ytodo conjunto B.4. A ∪ B = A si y sólo si B ⊂ A.5. A ∩ B = A si y sólo si A ⊂ B.6. A ∪ (B ∪ C) = (A ∪ B) ∪ C para A, B y C conjuntosarbitrarios.7. A ∩ (B ∩ C) = (A ∩ B) ∩ C para A, B y C conjuntosarbitrarios.8. A ∪ (B ∩ C) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C) para A, B y C conjuntosarbitrarios.9. A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C) para A, B y C conjuntosarbitrarios.La siguiente operación que mencionaremos es la diferencia deconjuntos.4

Si A y B son conjuntos entoncesla diferencia AB es elconjunto formado por los elementosque pertenecen a A yno pertenecen a B. Es decirA B = {x ∈ A : x /∈ B}.Si estamos trabajando con subconjuntos de un conjunto fijo Xy A ⊂ X nos referiremos a X A como el complemento de Aen X y lo denotaremos también con A c o con ∁A.Las siguientes propiedades se conocen con el nombre de Leyesde De Morgan y resultan de gran utilidad en el trabajo conconjuntos.1. Si A y B son subconjuntos de X entonces (A ∪ B) c =A c ∩ B c .2. Si A y B son subconjuntos de X entonces (A ∩ B) c =A c ∪ B c .Ejercicios5

0.3. Uniones e intersecciones arbitrariasAsí como es posible conseguir un nuevo conjunto uniendo o intersectandodos conjuntos dados, es posible formar nuevos conjuntosconstruyendo la unión o la intersección de una colecciónarbitraria de conjuntos o dicho de otra manera, de una familiaarbitraria de conjuntos.Dada una colección A de conjuntos definimos la unión de lacolección como el conjunto⋃A = {x : x ∈ A para algún A ∈ A}A∈Ay la intersección de la colección como el conjunto⋂A = {x : x ∈ A para cada A ∈ A}.A∈ASi la colección A es vacía ningún elemento x satisface la condiciónnecesaria para poder afirmar que pertenece a ⋃ A∈AA. Entonces⋃ A∈A A = ∅. Pero la expresión ⋂ A∈AA sólo tiene sentidosi estamos pensando en un conjunto X que sea todo nuestro“universo”. De ser así, cada elemento x ∈ X pertenece a ⋂ A∈A Aporque de lo contrario existiría A ∈ A = ∅ tal que x ∈ A, locual es absurdo. Entonces ⋂ A∈A A = X.Si A es una colección de subconjuntos de un conjunto X entonceslas Leyes de De Morgan tienen la siguiente presentación:1.2.(⋃A∈A A) c=⋂A∈A Ac .(⋂A∈A A) c=⋃A∈A Ac .Ejercicios6

0.4. Producto cartesianoAntes de dar la definición precisa del producto cartesiano dedos conjuntos nos referiremos brevemente al concepto de parejaordenada. Rigurosamente hablando la pareja ordenada (a, b) esel conjunto {{a}, {a, b}}. La primera coordenada de la parejaes el elemento que aparece en los dos conjuntos que la defineny la segunda coordenada es el elemento que aparece sólo en unode los conjuntos. Si a = b entonces la pareja (a, b) se reduce alconjunto {{a}} y en este caso la primera coordenada es igual ala segunda.Sean X y Y dos conjuntos. El producto cartesiano X × Y es elconjunto de parejas ordenadas que tienen como primera coordenadaun elemento de X y como segunda coordenada un elementode Y . Esto es:X × Y = {(x, y) : x ∈ X y y ∈ Y }.De la definición se tiene que si X y Y son conjuntos entoncesX × ∅ = ∅ × Y = ∅ y que, en general, X × Y ≠ Y × X.Ejercicios0.5. FuncionesSean X y Y conjuntos. Una función (o aplicación) f de X en Yque denotamos por f : X −→ Y es un subconjunto de X × Ytal que:7

1. Para cada x ∈ X existe y ∈ Y tal que (x, y) ∈ f.2. Si (x, y) ∈ f y (x, z) ∈ f entonces y = z.La relación (x, y) ∈ f se suele simbolizar por y = f(x) y f(x)se acostumbra llamar la imagen de x por la función f. Tambiénutilizaremos la notación x ↦−→ f(x) para indicar que (x, f(x)) ∈f. Informalmente hablando, una función de un conjunto X enun conjunto Y se puede describir dando una regla que permitacalcular f(x) para cada x ∈ X, como cuando se estudia cálculoy se describe una función de R 2 en R por medio de la expresiónf(x, y) =1x 2 + y 2 + 1 .Si f : X −→ Y es una función entonces el conjunto X se llamael dominio de f, el conjunto Y es el codominio de f y el subconjuntode Y cuyos elementos son las imágenes de los elementosde X, esto es el conjunto {f(x) : x ∈ X}, es el rango de f.Denotamos por Dom f el dominio de f, por Cod f el codominiode f y por Ran f el rango de la función f.Si f : X −→ Y es una función y A ⊂ X, existe una función condominio A, que llamamos la restricción de f al conjunto A ydenotamos f ↾ A , definida por f ↾ A (a) = f(a) para cada a ∈ A.De manera análoga, si f(X) ⊂ B ⊂ Y , entonces podemos considerarla co-restricción de f a B que es una función que actúade la misma forma que f sobre los elementos de X, pero tienecomo codominio el conjunto B. No utilizaremos una notaciónespecial para la co-restricción de una función.Una función f definida de un conjunto X en un conjunto Ydetermina de manera natural dos aplicaciones. La primera, quese acostumbra denotar por el mismo símbolo f, con dominioP(X) y codominio P(Y ) se denomina imagen directa y aplica al8

subconjunto A de X en el subconjunto de Y f(A) = {f(x) : x ∈A}. La segunda aplicación que se denomina imagen recíproca yse denota por f −1 , está definida de P(Y ) en P(X) por f −1 (B) ={x ∈ X : f(x) ∈ B}. Por simplicidad, para y ∈ Y escribimosf −1 (y) en lugar de f −1 ({y}).Decimos que una función f : X −→ Y es uno a uno o inyectivasi f(x) ≠ f(y) siempre que x sea diferente de y, sobreyectiva (osimplemente sobre) si f(X) = Y y biyectiva si es uno a uno ysobre.Nótese que una función f : X −→ Y es uno a uno si y sólo sif −1 (f(A)) = A para todo A ⊂ X y que f es sobreyectiva si ysólo si f(f −1 (B)) = B para todo B ⊂ Y .Si f : X −→ Y es una función biyectiva, existe una funciónde Y en X que se llama la inversa de f y se denota por f −1definida por f −1 (y) = x si y sólo si f(x) = y. El hecho de que fsea sobreyectiva garantiza la existencia de x = f −1 (y) para caday ∈ Y y el que f sea uno a uno garantiza que tal x es único.Si f : X −→ Y y g : Y −→ Z son funciones entonces la funcióncompuesta g ◦ f : X −→ Z está definida por g ◦ f(x) = g(f(x)).Formalmente hablando, (x, z) ∈ g ◦ f si y sólo si existe y ∈ Ytal que (x, y) ∈ f y (y, z) ∈ g.Ejercicios9

0.6. Productos arbitrariosHasta ahora nos hemos referido únicamente al producto cartesianode dos conjuntos. En realidad estudiar este producto nospermite de manera inmediata definir el producto cartesiano deuna colección finita de conjuntos. En efecto, si X 1 , X 2 , ..., X nes una colección de conjuntos entonces el producto cartesianoX 1 × X 2 × ... × X n , que también denotaremos por ∏ i=1,...,n X i,se define como el conjunto de n-tuplas{(x 1 , x 2 , ..., x n ) : x i ∈ X i para cada i = 1, ..., n}.El ejemplo más inmediato y seguramente conocido por todos esel conjunto R n = {(x 1 , x 2 , ..., x n ) : x i ∈ R}. En este caso todoslos factores del producto son iguales al conjunto de los númerosreales.Un análisis un poco más detallado nos muestra que en realidadcada elemento x = (x 1 , x 2 , ..., x n ) del producto cartesianoX 1 × X 2 × ... × X n es una función del conjunto {1, 2, ..., n}en el conjunto ⋃ i=1,...,n X i, definida por x(i) = x i para cadai = 1, ..., n.Este hecho, que podría parecer una complicación innecesaria,permite generalizar la noción de producto cartesiano a familiasarbitrarias de conjuntos como lo muestra la siguiente definición.0.6.1 Definición. Sea {X j } j∈J una familia de conjuntos. Elproducto cartesiano de esta familia se denota por ∏ j∈J X j y esel conjunto de todas las funciones x : J −→ ⋃ j∈J X j tales quex(j) ∈ X j para cada j ∈ J.10

Con frecuencia utilizamos x j para denotar a x(j) y denotamosal elemento x ∈ ∏ j∈J X j por (x j ).0.6.2 Ejemplos.1. Si J = N entonces los elementos del producto ∏ n∈N X n sepueden escribir como una sucesión (x 1 , x 2 , ...) donde x n ∈X n para cada n ∈ N.2. Si X j = X para cada j ∈ J, entonces ∏ j∈J X j es el conjuntode todas las funciones definidas de J en X. Denotamospor X J a este conjunto.3. Si X j ⊂ Y j para cada j ∈ J entonces ∏ j∈J X j ⊂ ∏ j∈J Y j.Ejercicios0.7. RelacionesUna relación sobre un conjunto X (o en un conjunto X) esun subconjunto R del producto cartesiano X × X. Si (x, y) ∈ Rescribimos x R y. Nótese que una función definida de un conjuntoX en sí mismo es una relación f en X en la que cada elementode X aparece como la primera coordenada de un elemento def exactamente una vez. En este sentido las relaciones son unageneralización de las funciones.Una relación de equivalencia sobre un conjunto X es una relación∼ en X que satisface las siguientes propiedades:11

1. (Reflexividad) x ∼ x para todo x ∈ X.2. (Simetría) Si x ∼ y, entonces y ∼ x.3. (Transitividad) Si x ∼ y y y ∼ z, entonces x ∼ z.Dada una relación de equivalencia ∼ sobre un conjunto X y unelemento x ∈ X definimos la clase de equivalencia de x como elconjunto [x] = {y ∈ X : x ∼ y}. De la definición se obtiene quex ∈ [x] para cada x ∈ X lo cual significa que ⋃ x∈X [x] = X ytambién que dadas dos clases de equivalencia [x] y [y], se tieneque [x] = [y] o [x]∩[y] = ∅. Expresamos estos dos hechos diciendoque la relación ∼ induce una partición de X.Formalmente, una partición de un conjunto X es una colecciónde subconjuntos disyuntos de X cuya unión es X.Una relación de orden parcial sobre un conjunto X es una relación≤ en X que satisface las siguientes propiedades:1. (Reflexividad) x ≤ x para todo x ∈ X.2. (Antisimetría) Si x ≤ y y y ≤ x, entonces x = y.3. (Transitividad) Si x ≤ y y y ≤ z, entonces x ≤ z.Si ≤ es una relación de orden parcial sobre un conjunto X existeuna relación < sobre X definida por x < y si x ≤ y y x ≠ y.La relación < no es reflexiva pero si transitiva. Una relacióntransitiva < sobre un conjunto X que además tenga la propiedadde que si x < y entonces x ≠ y se llama un orden estricto.Entonces cada relación de orden parcial determina un ordenestricto y, recíprocamente, un orden estricto < determina unorden parcial ≤ definido por x ≤ y si x < y o x = y.12

Una relación de orden parcial ≤ sobre un conjunto X es unorden total si para cada par x, y de elementos de X se tieneexactamente una de las situaciones x = y, x < y o y < x. Eneste caso decimos que el conjunto X está totalmente ordenado.Ejercicios0.8. CardinalidadDecimos que dos conjuntos X y Y son equipotentes si existe unafunción biyectiva de X en Y . Afirmamos que existen conjuntosque se llaman números cardinales, de tal manera que cadaconjunto X es equipotente con exactamente un número cardinalque se denota por |X| y recibe el nombre de cardinal de X.Si A y B son números cardinales, decimos que A ≤ B si y sólosi existe una función uno a uno definida de X en Y . La relación≤ es un orden parcial sobre el conjunto de números cardinales.Los siguientes hechos son evidentes:1. |X| = |Y | si y sólo si X y Y son equipotentes.2. |X| ≤ |Y | si y sólo si X es equipotente con algún subconjuntode Y .Veamos ahora algunos números cardinales. El conjunto vacío esel cardinal 0 y el conjunto {0, ..., n − 1} es el cardinal n. Unconjunto X es enumerable si y sólo si X es equipotente con elconjunto N de los números naturales. En este caso escibimos13

|X| = ℵ 0 . Si X es equipotente con el conjunto R de los númerosreales, escribimos |X| = c. Un conjunto X es contable si esenumerable o su cardinal es n para algún n = 0, 1, ..., esto es, Xes contable si es enumerable o es finito.Con frecuencia utilizaremos los siguientes hechos:1. n < ℵ 0 < c para todo n = 0, 1, ....2. La unión de cualquier colección contable de conjuntos contableses contable.3. El producto de dos conjuntos contables es un conjunto contable4. El conjunto Q de los números racionales es contable.Finalizamos esta breve introducción a la teoría de conjuntosenunciando un axioma aceptado por la gran mayoría de matemáticos.Axioma de Elección. Dada una colección A de conjuntos novacíos disyuntos dos a dos, existe un conjunto C que tiene exactamenteun elemento en común con cada elemento de A.El Axioma de Elección nos dice que cuando tenemos una colecciónde conjuntos no vacíos, nos es posible construir un nuevoconjunto escogiendo un elemento de cada conjunto de la colección.Ejercicios14

Capítulo 1Espacios Métricos1.1. Métricas y seudométricas1.1.1 Definición. Sea X un conjunto. Una métrica sobre Xes una función ρ : X × X −→ R tal que:1. ρ(x, y) ≥ 0,2. ρ(x, y) = 0 si y sólo si x = y,3. ρ(x, y) = ρ(y, x) y4. ρ(x, y) ≤ ρ(x, z) + ρ(z, y) (desigualdad triangular)para todo x, y, z ∈ X. Si ρ es una métrica sobre X decimosque (X, ρ), o simplemente X, si no hay lugar a confusión sobrela métrica con la que se trabaja, es un espacio métrico.1.1.2 Ejemplos.1. Si X es un conjunto cualquiera, la función ρ : X ×X −→ R15

eal M > 0 tal que |f(x)| < M para todo x ∈ R). La funciónρ : X × X −→ R definida por ρ(f, g) = sup{|f(x) − g(x)| :x ∈ R} es una métrica sobre X.6. Sea C(I) el conjunto de todas las funciones continuas definidasdel intervalo I = [0, 1] en R. La función ρ : C(I)×C(I) −→R definida por ρ(f, g) = ∫ 10|f(x) − g(x)|dx es una métricasobre C(I).7. Cualquier subconjunto Y de un espacio métrico (X, d) esun espacio métrico con la restricción d ↾ Y ×Y de la funciónd a Y × Y .8. Si X = {x 1 , x 2 , ...} es un conjunto contable, entonces lafunción d : X × X −→ R definida por⎧⎨1 + 1 si i ≠ jd(x i , x j ) = i + j⎩0 si i = jes una métrica sobre X. El espacio (X, d) se llama el EspacioMétrico de Sierpinski y d se llama la métrica de Sierpinski.En un espacio métrico, además de medir la distancia entre dospuntos, es posible medir la distancia entre un punto y un conjunto.1.1.3 Definición. Sea (X, d) un espacio métrico. Si A es unsubconjunto no vacío de X entonces la distancia d(x, A) de unpunto x ∈ X al conjunto A se define como el ínfimo de losnúmeros d(x, a) donde a ∈ A; esto es,d(x, A) = inf{d(x, a) : a ∈ A}.17

Nótese que si (X, d) es un espacio métrico y A ⊂ X entoncesd(x, A) = 0 para todo x ∈ A; pero que d(x, A) = 0 no implicaque x sea un elemento de A. Si consideramos por ejemplo elconjunto R de los números reales con la métrica usual y A ={ 1 n: n ∈ N} entonces d(0, A) = 0 y 0 /∈ A.1.1.4 Definición. Sea (X, d) un espacio métrico. Si A esun subconjunto de X entonces el diámetro de A, diam A essup{d(x, y) : x, y ∈ A}. Si diam A < ∞ entonces decimos queel conjunto A es acotado.De la definición se tiene que el espacio métrico X es acotado si lafunción d es acotada. Las condiciones que debe satisfacer la funcióndistancia d en un espacio métrico X son bastante rigurosas.En ocasiones una función d : X ×X −→ R, pudiendo no ser unamétrica en el sentido estricto, permite hablar de “distancia” losuficientemente bien para algunos propósitos.1.1.5 Definición. Sea X un conjunto. Una función ρ : X ×X −→ R tal que1. ρ(x, y) ≥ 0,2. ρ(x, x) = 0,3. ρ(x, y) = ρ(y, x) y4. ρ(x, y) ≤ ρ(x, z) + ρ(z, y)para cada x, cade y y cada z en X, se llama una seudométricasobre X. Si ρ es una seudométrica sobre X decimos que (X, ρ)(o simplemente X) es un espacio seudométrico.18

Nótese que en un espacio seudométrico (X, ρ) pueden existirpuntos distintos x y y con ρ(x, y) = 0.1.1.6 Ejemplos.1. Toda métrica sobre un conjunto X es también una seudométrica.2. Si X es un conjunto entonces la función ρ : X × X −→ Rdefinida por ρ(x, y) = 0 es una seudométrica sobre X.3. Sea x 0 ∈ [0, 1]. La función η : C(I) × C(I) −→ R definidapor η(f, g) = |f(x 0 −g(x 0 )| es una seudométrica sobre C(I).Ejercicios1.2. Funciones continuasSin duda el concepto más útil e importante en el estudio de losespacios métricos, seudométricos y en general de los espaciostopológicos es el concepto de continuidad.1.2.1 Definición. Sean (X, ρ) y (Y, η) espacios métricos (resp.seudométricos). Una función f : X −→ Y es continua en unpunto x 0 ∈ X si dado ɛ > 0 existe δ > 0 tal que si ρ(x, x 0 ) < δ,entonces η(f(x), f(x 0 )) < ɛ.Si la función f es continua en cada punto de X decimos simplementeque f es continua.Los siguientes son ejemplos típicos de funciones continuas.19

1.2.2 Ejemplos.1. Si (X, d) es un espacio métrico entonces Id X : X −→ X,la función idéntica de X, es continua. En efecto, si x 0 ∈ Xy si ɛ es un número real positivo y consideramos δ = ɛentonces d(x, x 0 ) < δ implica d(Id X (x), Id X (x 0 )) < ɛ.2. Si (X, ρ) y (Y, η) son espacios métricos y si k ∈ Y es unpunto arbitrario pero fijo de Y , entonces la función constantef : X −→ Y de valor k es una función continua.Para demostrar esto basta observar que si x 0 ∈ X, si ɛ > 0y si δ es un número real arbitrario, entonces ρ(x, x 0 ) < δimplica η(f(x), f(x 0 )) = η(k, k) = 0 < ɛ.El siguiente resultado muestra la continuidad de una funciónpoco mencionada hasta ahora.1.2.3 Proposición. Sean (X, d) un espacio métrico y A ⊂ X,A ≠ ∅. La función de X en los números reales definida porx ↦−→ d(x, A) es continua.Demostración. Sean x 0 ∈ X y ɛ > 0. Escogemos 0 < γ < ɛ ytomamos δ = γ 2 . Si d(x, x 0) < δ y si a ∈ A es un punto tal qued(x 0 , a) < d(x 0 , A) + δ se tiene:d(x, A) ≤ d(x, a)≤ d(x, x 0 ) + d(x 0 , a)< 2δ + d(x 0 , A)= γ + d(x 0 , A)< ɛ + d(x 0 , A).20

De la misma forma si se escoge b ∈ A tal que d(x, b) < d(x, A)+δse encuentra queEntoncesEsto completa la demostración.d(x 0 , A) < ɛ + d(x, A).|d(x, A) − d(x 0 , A)| < ɛ.Ejercicios1.3. Topología de un espacio métrico1.3.1 Definición. Sean (X, d) un espacio métrico, x ∈ X yɛ > 0. El conjunto B(x, ɛ) = {y ∈ X : d(x, y) < ɛ} se llamala bola abierta centrada en x con radio ɛ. El conjunto B[x, ɛ] ={y ∈ X : d(x, y) ≤ ɛ} se llama la bola cerrada centrada en xcon radio ɛ.Nótese que en R, la bola abierta centrada en un número real xcon radio ɛ es el intervalo abierto (x − ɛ, x + ɛ).La siguiente figura muestra la bola abierta de radio 1 centradaen el origen, para cada una de las métricas ρ, ρ 1 y ρ 2 definidassobre R 2 en los numerales 2, 3 y 4 de los ejemplos 1.1.2..21

Por su parte, la bola abierta de radio ɛ centrada en una funciónf : R −→ R que pertenezca al espacio métrico descrito en elnumeral 5. de los ejemplos 1.1.2., está formada por las funcionesacotadas que tienen su gráfica contenida en la franja que muestrala siguiente figura:Si X es un espacio discreto, es decir si en X consideramos lamétrica discreta, entonces la bola abierta de radio ɛ > 0 centradaen un punto x ∈ X se reduce a {x} si ɛ ≤ 1 y es todo el conjuntoX si ɛ > 1.Si X es el Espacio Métrico de Sierpinski definido en el numeral8 de 1.1.2. entonces la bola de radio 0 < ɛ ≤ 1 centrada encualquier punto x ∈ X se reduce a {x}.22

Una de las propiedades más bonitas y relevantes de las bolas enun espacio métrico se enuncia en el siguiente resultado:1.3.2 Proposición. Si (X, d) es un espacio métrico, si a y bson elementos de X, si ɛ y δ son números reales positivos y six ∈ B(a, ɛ) ∩ B(b, δ) entonces existe γ > 0 tal que B(x, γ) ⊂B(a, ɛ) ∩ B(b, δ).Para probar esta proposición basta considerar γ = mín{ɛ −d(a, x), δ − d(x, b)} y utilizar la desigualdad triangular.En los espacios métricos tenemos la posibilidad de hablar de“cercanía”. Decir que un punto está tan cerca de otro comoqueramos, significa que los puntos están a una distancia menorque un número positivo que hemos fijado con anterioridad. Enotras palabras, si para nosotros “estar suficientemente cerca”de un punto a significa estar a una distancia menor que uncierto número ɛ > 0, entonces los “vecinos” de a o los puntos“suficientemente cercanos a a” son precisamente los elementosdel conjunto B(a, ɛ). Estas consideraciones sugieren la siguientedefinición:23

1.3.3 Definición. Sean X un espacio métrico y x ∈ X. Unsubconjunto V de X es una vecindad de x si existe ɛ > 0 talque B(x, ɛ) ⊂ V . Denotamos por V(x) al conjunto de todas lasvecindades del punto x.1.3.4 Ejemplos.1. En los números reales el intervalo [1, +∞) es una vecindadde 3 (en realidad es una vecindad de cualquier real mayorque 1); pero no es una vecindad de 1.2. El conjunto {x ∈ R : |x| > 2} es una vecindad de 3 en R.3. La bola cerrada B[x, 1] es una vecindad de x = (0, 0) en R 2 .4. El conjunto A = {(x, y) : y < x} es una vecindad de cadauno de los puntos de A.5. El conjunto {f : R −→ R : |f(x)| < 2 para cada x ∈ R}es una vecindad de la función arctan x en el espacio defunciones acotadas definido en el numeral 5. de 1.1.2..Los items 2 y 4 de los ejemplos anteriores muestran conjuntosmuy especiales en los que se basará todo nuestro estudio entopología. Tienen en común la característica de ser vecindadesde cada uno de sus puntos. De estos conjuntos diremos que sonconjuntos abiertos.1.3.5 Definición. Un subconjunto A de un espacio métrico Xes un conjunto abierto en X si A es vecindad de cada uno desus puntos.24

Consideremos un espacio métrico X. De la definición se infierende manera natural los siguientes hechos:1. El conjunto vacío ∅ y el conjunto X son conjuntos abiertos.2. Si A y B son conjuntos abiertos en X entonces A ∩ B es unconjunto abierto en X.3. La unión de cualquier familia de conjuntos abiertos en Xes un conjunto abierto en X.Nótese que en un espacio métrico X las bolas abiertas son conjuntosabiertos y que cada conjunto abierto se puede expresarcomo una unión de bolas abiertas. Decimos entonces que lasbolas abiertas “generan” los conjuntos abiertos. Más adelanteexpresaremos este hecho diciendo que las bolas abiertas “generanla topología del espacio X” o que “son una base para latopología de X”.La siguiente definición establece un criterio que nos permitesaber cuándo, desde el punto de vista puramente topológico,vale la pena distinguir entre dos métricas aparentemente distintas.1.3.6 Definición. Dos métricas sobre un conjunto X sonequivalentes si generan los mismos conjuntos abiertos.1.3.7 Ejemplos.1. Hemos visto que si X es un conjunto contable entonces lossubconjuntos unitarios de X son bolas abiertas, tanto si25

consideramos la métrica discreta sobre X, como si consideramosla métrica de Sierpinski. Estas dos métricas generanentonces los mismos conjuntos abiertos en X. En otraspalabras, estas métricas son equivalentes.2. Los numerales 2, 3 y 4 de 1.1.2. establecen métricas equivalentessobre R 2 .3. Si (X, d) es un espacio métrico, la función d 1 : X × X −→R definida por d 1 (x, y) = mín{d(x, y), 1} es una métricaacotada sobre X equivalente a la métrica d.Estudiaremos otros conceptos topológicos en espacios métricosa lo largo de los siguientes capítulos.Ejercicios26

Capítulo 2Espacios TopológicosLa distancia definida en un espacio métrico da lugar al conceptode bola abierta, que a su vez permite hablar de las vecindadesde un punto y de los conjuntos abiertos en el espacio. En estecapítulo generalizamos estas ideas a otros conjuntos en los queno necesariamente se tiene la noción de distancia.2.1. Bases para una topología - Conjuntos abiertosHemos visto que en un espacio métrico (X, d) las bolas abiertassatisfacen las siguientes propiedades:⋃1.x∈X,ɛ>0B(x, ɛ) = X.2. Si a, b ∈ X, si ɛ, δ > 0 y si x ∈ B(a, ɛ) ∩ B(b, δ) entoncesexiste γ > 0 tal que B(x, γ) ⊂ B(a, ɛ) ∩ B(b, δ).Con estas propiedades en mente y teniendo en cuenta que lacolección de bolas abiertas en un espacio métrico da lugar aconceptos tan importantes como el concepto de vecindad y el de27

conjunto abierto que nos permiten estudiar el espacio métrico aprofundidad, formulamos la siguiente definición:2.1.1 Definición. Sea X un conjunto. Una colección B de subconjuntosde X es una base para una topología sobre X si sesatisfacen las siguientes condiciones:⋃1.B∈B B = X.2. Si B 1 , B 2 ∈ B y x ∈ B 1 ∩ B 2 entonces existe C ∈ B talque x ∈ C y C ⊂ B 1 ∩ B 2 .La primera condición nos dice que todo elemento de X debepertenecer a un elemento de B y la segunda que la intersecciónde dos elementos de la colección B se puede expresar como unaunión de elementos de la misma colección.2.1.2 Ejemplos.1. La colección de todas las bolas abiertas en un espacio métricoX es una base para una topología sobre X.2. La colección de todos los intervalos de la forma [a, b) con ay b números reales y a < b es una base para una topologíasobre R.Al igual que sucede en los espacios métricos, el concepto de basepara una topología da lugar al concepto de conjunto abierto.2.1.3 Definición. Sean X un conjunto y B una base para unatopología sobre X. Un subconjunto A de X es un conjuntoabierto en X si es unión de una familia de elementos de B.28

La colección de todos los conjuntos abiertos en X es la topologíasobre X generada por B. Esta definición justifica el término“base para una topología” sobre X.Nótese que, al igual que en los espacios métricos, la topologíasobre X generada por B tiene las siguientes propiedades:1. El conjunto vacío ∅ y el conjunto X son conjuntos abiertos.2. Si A y B son conjuntos abiertos en X entonces A ∩ B es unconjunto abierto en X.3. La unión de cualquier familia de conjuntos abiertos en Xes un conjunto abierto en X.Ejercicios2.2. Espacios topológicosEn realidad, para estudiar conceptos topológicos no siempre partimosde una base para una topología sobre un conjunto X. Confrecuencia tenemos como punto de partida la colección de todoslos conjuntos abiertos. Trabajaremos entonces con la siguientedefinición:29

2.2.1 Definición. Sea X un conjunto. Una colección τ de subconjuntosde X tal que1. el conjunto vacío ∅ y el conjunto X pertenecen a τ,2. si A, B ∈ τ entonces A ∩ B ∈ τ,3. la unión de cualquier familia de elementos de τ pertenecea τes una topología sobre X. Los elementos de la colección τ sellaman conjuntos abiertos y la pareja (X, τ), o simplemente Xsi no cabe duda sobre cuál es la colección τ, se llama un espaciotopológico.2.2.2 Ejemplos.1. Si X es un espacio métrico, la topología generada por lacolección de todas las bolas abiertas es una topología sobreX que se llama la topología métrica o la topología generadapor la métrica. Los espacios métricos son una importanteclase de espacios topológicos.La topología usual sobre R, y en general sobre R n , es latopología generada por la métrica usual.Si la topología sobre un espacio X está generada por unamétrica decimos que X es un espacio metrizable.2. Sea X un conjunto cualquiera. La colección P(X) de todoslos subconjuntos de X es una topología sobre X que recibeel nombre de topología discreta. El espacio (X, P(X)) sellama espacio discreto. Nótese que esta topología está generadapor la métrica discreta sobre X.30

3. Sea X un conjunto cualquiera. La colección {∅, X} es unatopología sobre X que se llama topología trivial o topologíagrosera. El espacio X con esta topología es un espacio trivialo espacio grosero.4. La colección τ = {∅, {0}, {0, 1}} es la topología de Sierpinskisobre el conjunto X = {0, 1}. El espacio (X, τ) sellama el espacio de Sierpinski.5. La colección {(a, +∞) : a ∈ R} ∪ {R} es una topologíasobre R que se acostumbra llamar la topología de las colas aderecha. Por su parte, la colección {(−∞, a) : a ∈ R}∪{R}es también una topología sobre R que se llama la topologíade las colas a izquierda.6. Sea X un conjunto infinito. La colección{A ⊂ X : A c es finito } ∪ {∅}es una topología sobre X que recibe el nombre de topologíade los complementos finitos.7. Sea X un conjunto. La colección{A ⊂ X : A c es contable } ∪ {∅}es una topología sobre X que recibe el nombre de topologíade los complementos contables.8. Un subconjunto A del plano R 2 se llama radialmente abiertosi por cada uno de sus puntos existe un segmento abiertode linea recta en cada dirección, que contiene al punto yestá contenido en el conjunto. Es inmediato que la colecciónde todos los conjuntos radialmente abiertos es una topologíasobre R 2 que se llama topología radial. El plano R 2 juntocon esta topología es el plano radial.31

Consideremos sobre el conjunto de los números reales la topologíausual τ usual y la topología de las colas a derecha τ C . Nóteseque cada conjunto abierto en el espacio (R, τ C ) es un conjuntoabierto en (R, τ usual ). Expresamos este hecho diciendo que τ Ces menos fina que τ usual o que τ usual es más fina que τ C . Engeneral tenemos la siguiente definición:2.2.3 Definición. Sean X un conjunto y τ 1 , τ 2 topologías sobreX. Decimos que τ 1 es menos fina que τ 2 o que τ 2 es más finaque τ 1 si τ 1 ⊂ τ 2 .Como es natural, si τ 1 es menos fina que τ 2 y τ 2 es menos finaque τ 1 entonces τ 1 = τ 2 .2.2.4 Ejemplos.1. Recordemos la métrica del taxista ρ 1 definida sobre R 2 porρ 1 ((x 1 , y 1 ), (x 2 , y 2 )) = |x 1 − x 2 | + |y 1 − y 2 |.Si (x 1 , y 1 ) ∈ R 2 y ɛ > 0 entonces{(x, y) : |x − x 1 | + |y − y 1 | < ɛ}⊂ {(x, y) : √ (x − x 1 ) 2 + (y − y 1 ) 2 < ɛ}.32

Esto implica que la topologíausual sobre R 2 es menos finaque la topología generada porla métrica del taxista.Además se tiene que{(x, y) : √ √ }2ɛ(x − x 1 ) 2 + (y − y 1 ) 2

2. Si z es un punto en una bola abierta en R 2 con la topologíausual, para cada posible dirección existe un segmento abiertode linea en esta dirección, que contiene a z y que está contenidoen la bola. Esto implica que la topología usual de R 2es menos fina que la topología radial.Ejercicios2.3. VecindadesAhora estamos en capacidad de definir el concepto de vecindadde un punto en un espacio topológico.2.3.1 Definición. Sean X un espacio topológico y x ∈ X. Unsubconjunto V de X es una vecindad de x si existe un conjuntoabierto A tal que x ∈ A y A ⊂ V . Denotamos por V(x) elconjunto de todas las vecindades de x.Nótese que un subconjunto A de un espacio topológico X es unconjunto abierto si y sólo si A es vecindad de cada uno de suspuntos.El siguiente resultado resume las propiedades más importantesde las vecindades.2.3.2 Proposición. Sea (X, τ) un espacio topológico.1. x ∈ V para cada V ∈ V(x).34

2. Si U, V ∈ V(x) entonces U ∩ V ∈ V(x).3. Si U ∈ V(x) entonces existe V ∈ V(x) tal que U ∈ V(y)para cada y ∈ V .4. Si U ∈ V(x) y U ⊂ V entonces V ∈ V(x).Demostración.1. La primera afirmación es consecuencia inmediata de la definiciónde vecindad.2. Si A, B ∈ τ, x ∈ A, x ∈ B, A ⊂ U y B ⊂ V entoncesA ∩ B ∈ τ, x ∈ A ∩ B y A ∩ B ⊂ U ∩ V .3.Puesto que U ∈ V(x) existeV ∈ τ tal que x ∈ V y V ⊂U. Entonces para cada y ∈V , U ∈ V(y).4. Si A ∈ τ es tal que x ∈ A y A ⊂ U entonces también A ⊂ Vy así V ∈ V(x).En nuestra discusión incial de este capítulo vimos cómo generaruna topología sobre un conjunto X partiendo de una colección desubconjuntos de X con las mismas propiedades de la colección de35

olas abiertas en un espacio métrico. Esto es, partiendo de unabase para una topología sobre X. Ahora veremos que si tomamoscomo punto de partida colecciones con las mismas propiedadesde las vecindades de los puntos, también podemos generar unatopología sobre el conjunto X.2.3.3 Proposición. Sea X un conjunto. Si para cada x ∈ X seha asignado una colección V(x) de subconjuntos de X tal que:1. x ∈ V para cada V ∈ V(x),2. si U, V ∈ V(x) entonces U ∩ V ∈ V(x),3. si U ∈ V(x) entonces existe V ∈ V(x) tal que U ∈ V(y)para cada y ∈ V ,4. si U ∈ V(x) y U ⊂ V entonces V ∈ V(x),entonces existe una topología sobre X tal que para cada x ∈ Xla colección V(x) es precisamente la colección de vecindades dex.Demostración. Diremos que un conjunto A ⊂ X es “abierto” sipara cada x ∈ A existe V ∈ V(x) tal que V ⊂ A. Demostraremosahora que la colección de conjuntos “abiertos” es una topologíasobre X y que la colección de vecindades de cada x ∈ X es V(x).1. Es inmediato que ∅ y X son conjuntos “abiertos”.2. Si A y B son conjuntos “abiertos” y si x ∈ A ∩ B, existenU, V ∈ V(x) tales que U ⊂ A y V ⊂ B. Por hipótesisU ∩ V ∈ V(x) y puesto que U ∩ V ⊂ A ∩ B, A ∩ B es unconjunto “abierto” .36

3. Si A es una familia de conjuntos “abiertos” y x ∈ A entoncesx ∈ A para algún A ∈ A. Existe V ∈ V(x) tal queV ⊂ A, así V ⊂ ∪A y se concluye que ∪A es un conjunto“abierto” .Entonces la colección τ de conjuntos “abiertos” es una topologíasobre X.Por otra parte, si W es una vecindad de x existe A ∈ τ tal quex ∈ A y A ⊂ W . Como A ∈ τ, existe V ∈ V(x) tal que V ⊂ A,entonces V ⊂ W , luego W ∈ V(x).De manera recíproca, si V ∈ V(x) y si ademásU = {y ∈ V : V es una vecindad de y},entonces U es un conjunto abierto que contiene a x y está contenidoen V .En R con la topología usual los intervalos abiertos centrados enun punto x dan lugar a todas las vecindades de x en el siguientesentido: Toda vecindad de x contiene un intervalo abiertocentrado en x. Diremos que los intervalos abiertos centrados enx son un sistema fundamental de vecindades del punto x. Engeneral tenemos la siguiente definición:2.3.4 Definición. Sean X un espacio topológico y x ∈ X.Un subconjunto B(x) de V(x) es un sistema fundamental devecindades de x si para cada V ∈ V(x) existe U ∈ B(x) tal queU ⊂ V . Llamamos a los elementos de B(x) vecindades básicasde x.37

2.3.5 Ejemplos.1. Sean X un espacio topológico y x ∈ X. La colección de todaslas vecindades abiertas de x es un sistema fundamentalde vecindades de x.2. Si X es un espacio topológico discreto y x ∈ X entonces elconjunto cuyo único elemento es {x} es un sistema fundamentalde vecindades de x.3. Si X es un espacio métrico y x ∈ X, el conjunto de todaslas bolas abiertas centradas en x es un sistema fundamentalde vecindades de x. También lo es el conjunto de todas lasbolas abiertas con radio racional, centradas en x.De la definición se infiere que si X es un espacio topológico ypara cada x ∈ X la colección B(x) es un sistema fundamentalde vecindades de x entonces:1. Si V ∈ B(x), entonces x ∈ V .2. Si V 1 , V 2 ∈ B(x), entonces existe V 3 ∈ B(x) tal que V 3 ⊂V 1 ∩ V 2 .3. Si V ∈ B(x), existe U ∈ B(x) tal que si y ∈ U entoncesW ⊂ V para algún W ∈ B(y).4. Un subconjunto A de X es abierto si y sólo si contiene unavecindad básica de cada uno de sus puntos.Al igual que sucede con las bases para una topología y conlas colecciones de vecindades, colecciones de subconjuntos de38

un conjunto X con las propiedades “adecuadas” para ser sistemasfundamentales de vecindades de los puntos de X, permitengenerar una topología sobre X como lo muestra el siguienteresultado.2.3.6 Proposición. Sea X un conjunto. Si para cada x ∈ X seha asignado una colección B(x) de subconjuntos de X tal que:1. x ∈ V para cada V ∈ B(x),2. si U, V ∈ B(x) entonces existe W ∈ B(x) tal que W ⊂U ∩ V ,3. si U ∈ B(x) entonces existe V ∈ B(x) tal que para caday ∈ V , existe W ∈ B(y) con W ⊂ U,entonces existe una topología sobre X tal que para cada x ∈ Xla colección B(x) es un sistema fundamental de vecindades de x.Demostración. Para cada x ∈ X la colección V(x) = {U ⊂X : V ⊂ U para algún V ∈ B(x)} satisface las hipótesis de laproposición 2.3.3, luego existe una topología sobre X tal quepara cada x ∈ X se tiene que V(x) es la colección de todaslas vecindades de x. Resulta inmediato que B(x) es un sistemafundamental de vecindades de x para cada x ∈ X.2.3.7 Ejemplos.1. Los conjuntos de la forma [x, y) con x < y forman un sistemafundamental de vecindades de x para una topologíasobre R. En efecto, si x < y entonces x ∈ [x, y), si x < yy x < z y se tiene x < w < mín{y, z} entonces [x, w) ⊂39

[x, y) ∩ [x, z) y finalmente, si x < y y z ∈ [x, y) entonces[z, y) ⊂ [x, y).2.Sea Γ = {(x, y) ∈ R 2 : y ≥ 0}. Si y > 0 las vecindadesbásicas de z = (x, y) serán las bolas abiertas usuales centradasen z con radio menor o igual que y y si y ′ = 0, lasvecindades básicas de z ′ = (x ′ , y ′ ) son los conjuntos de laforma {z ′ } ∪ A donde A es una bola abierta contenida en Γtangente al eje real en z ′ .El espacio topológico que se obtiene recibe el nombre dePlano de Moore.40

3.Para cada punto z del planodefinimos las vecindades básicasde z como los conjuntos de laforma {z} ∪ A donde A es unabola abierta usual, centrada enz, de la cual se ha removido unnúmero finito de segmentos delinea que pasan por z.El espacio topológico que se obtiene se llama plano ranurado.4. Para cada número real x distinto de 0 definimos B(x) comolos intervalos abiertos centrados en x mientras que los elementosde B(0) serán los conjuntos de la forma (−∞, −n)∪(−ɛ, ɛ) ∪ (n, ∞) donde n ∈ N y ɛ > 0.5. Consideremos el conjunto R I de todas las funciones definidasdel intervalo I = [0, 1] en R. Definimos las vecindadesbásicas de f ∈ R I como los conjuntos de la forma U(f, F, δ) ={g ∈ R I : |g(x) − f(x)| < δ, para cada x ∈ F } donde F esun subconjunto finito de I y δ > 0.Ejercicios2.4. Conjuntos cerradosLigado íntimamente con el concepto de conjunto abierto en unespacio topológico, está el concepto de conjunto cerrado.41

2.4.1 Definición. Sea X un espacio topológico. Un subconjuntoF de X es un conjunto cerrado en X si su complemento,F c , es un conjunto abierto.Hacemos notar que el conjunto vacío y el mismo conjunto X sona la vez abiertos y cerrados y que un subconjunto de X puede noser abierto ni cerrado como sucede por ejemplo con el conjunto{1} en el espacio de Sierpinski.La siguiente proposición establece algunas de las más importantespropiedades de los conjuntos cerrados.2.4.2 Proposición. Sea X un espacio topológico.1. ∅ y X son conjuntos cerrados.2. Si F y K son conjuntos cerrados entonces F ∪ K es unconjunto cerrado.3. Si C es una familia de conjuntos cerrados entonces ⋂ F ∈C Fes un conjunto cerrado.Demostración.1. Que ∅ y X son conjuntos cerrados es una consecuencia inmediatade la definición.2. Por las Leyes de De Morgan, (F ∪ K) c = F c ∩ K c que esun conjunto abierto porque así lo son F c y K c .3. Nuevamente por las Leyes de De Morgan, (⋂ F ∈C F ) c=⋃F ∈C F c que es también un conjunto abierto.42

La unión arbitraria de conjuntos cerrados no siempre es un conjuntocerrado como lo muestra el siguiente ejemplo.2.4.3 Ejemplo. Sea R el espacio de los números reales [ con latopología usual. La colección de conjuntos de la forma −1, 1 − 1 ]ndonde n ∈ N, es una familia de conjuntos cerrados cuya uniónes el intervalo [−1, 1) que no es un conjunto cerrado.Ejercicios2.5. Adherencia de un conjuntoEn los conjuntos cerrados se nota un hecho particular. Si unpunto está fuera de un conjunto cerrado, intuitivamente se sabeque el punto está “realmente muy lejos” del conjunto. Esto sesabe porque existe toda una vecindad del punto contenida enel complemento del conjunto. En otras palabras, si un conjuntoes cerrado no hay puntos “adheridos” a él que se encuentrenfuera de él. Acudiendo nuevamente a la intuición, diriamos queun punto está “adherido” a un conjunto si con seguridad encontraremospuntos del conjunto tan “cerca” como queramos delpunto. Esta idea que surge de manera natural de nuestra propiaexperiencia da lugar a la siguiente definición.2.5.1 Definición. Sean X un espacio topológico y A un subconjuntode X. Un punto x ∈ X es adherente a A si todavecindad de x contiene puntos de A. El conjunto de todos lospuntos adherentes a A se denota por A y se llama la adherenciade A.43

2.5.2 Ejemplos.{ }−11. Consideremos A =n : n ∈ N como subconjunto de R.El número 0 es adherente a A si sobre R consideramos latopología usual, pero 0 NO es adherente a A si sobre R consideramosla topología discreta o la topología generada porlos intervalos de la forma [a, b) con a < b. Nótese que cadaelemento de A es adherente a A. Dado n ∈ N, cualquiervecindad de −1−1contiene por lo menos ann .2. En el Plano de Moore, cada punto de la forma (a, 0) esadherente al conjunto {(x, y) : y > 0}.3. Si R 2 tiene la topología de los complementos finitos, el punto(0, 0) es adherente al conjunto A = {(x, y) : y > x 2 + 1}.Este punto NO es adherente a A si estamos considerandola topología usual sobre R 2 .4. En R con la topología usual la adherencia del intervalo (a, b)es el intervalo [a, b]. Sin embargo no en todo espacio métricola adherencia de la bola abierta B(x, ɛ) es la bola cerradaB[x, ɛ]. Si X es un conjunto con más de un punto y consideramosla métrica discreta sobre X, entonces para x ∈ X,B(x, 1) = {x} y B[x, 1] = X.5. La adherencia del conjunto de los números racionales Q enR es R. En este caso decimos que el conjunto Q es denso enR. En general, decimos que un subconjunto A de un espaciotopológico X es denso en X si A = X.El comentario final del primer ejemplo nos hace reflexionar sobreun hecho completamente natural:44

Si X es un espacio topológico y A ⊂ X, entonces A ⊂ A.Además resulta también inmediato que si A ⊂ B entonces A ⊂B.El siguiente resultado nos permite hacer otra presentación de laadherencia de un conjunto.2.5.3 Proposición. Si X un espacio topológico y A ⊂ X entoncesA = ⋂ {K ⊂ X : K es cerrado y A ⊂ K}.Demostración.1. Si x ∈ A y K es un subconjunto cerrado de X que contienea A entonces x ∈ K, pues de lo contrario existiríauna vecindad V de x con V ⊂ K c , lo cual implicaría queV no contiene puntos de A. Entonces x ∈ ⋂ {K ⊂ X :K es cerrado y A ⊂ K}.2. Por otro lado, si x /∈ A existe una vecindad abierta V dex sin puntos en común con A, entonces V c es un conjuntocerrado tal que A ⊂ V c y x /∈ V c . Esto significa que x /∈⋂ {K ⊂ X : K es cerrado y A ⊂ K}.Algunas de las más importantes propiedades de la adherencia seresumen en el siguiente resultado.2.5.4 Proposición. Sea X un espacio topológico.1. A = A para cada A ⊂ X.45

2. A ∪ B = A ∪ B para cada A, B ⊂ X.3. A ⊂ X es cerrado si y sólo si A = A.Demostración.1. Por ser intersección de conjuntos cerrados, A es un conjuntocerrado que contiene a A. Entonces A ⊂ A. La otrainclusión es inmediata.2. El conjunto A ∪ B es cerrado y contiene a A ∪ B, entoncescontiene también a A ∪ B, entonces A ∪ B ⊂ A ∪ B. Porotro lado, puesto que A ⊂ A ∪ B y B ⊂ A ∪ B se tiene queA ⊂ A ∪ B y B ⊂ A ∪ B, entonces A ∪ B ⊂ A ∪ B.3. Si A es cerrado, A ⊂ A, lo que implica A = A. Por otraparte, si A = A y x /∈ A existe V ∈ V(x) tal que V ∩A = ∅.Entonces V ⊂ A c , de donde A c es abierto y A es cerrado.Cuando se tiene un espacio topológico X automáticamente setiene una función, que se llama operación de adherencia de Kuratowski,de P(X) en P(X) que asigna a cada subconjunto A deX su adherencia A. De manera recíproca, dado un conjunto X yuna función A ↦−→ A : P(X) −→ P(X) con las propiedades adecuadas,se puede encontrar una topología sobre X en la que laadherencia de cada subconjunto de X está dada por la función.Este es el resultado que se presenta en la siguiente proposición.2.5.5 Proposición. Sea X un conjunto y supongamos que seha definido una operación A ↦−→ A : P(X) −→ P(X) tal que46

1. A ⊂ A para cada A ⊂ X.2. A = A para cada A ⊂ X.3. A ∪ B = A ∪ B para cada A, B ⊂ X.4. ∅ = ∅.Existe una topología sobre X cuya operación de adherencia esprecisamente A ↦−→ A.Demostración. Como nuestro deseo es que la operación dada seala operación de adherencia en el espacio topológico que formemos,comenzaremos por dar la colección de los que esperamossean conjuntos cerrados. Sea F = {F ⊂ X : F = F }. Veamosque la colección τ = {A : A c ∈ F} es la topología sobre X queestamos buscando.1. Puesto que ∅ ∈ F, X ∈ τ. Por otro lado, X ⊂ X, luegoX = X, de donde X ∈ F, por tanto ∅ ∈ τ.2. Si A, B ∈ τ se tiene(A ∩ B) c = A c ∪ B c= A c ∪ B c= A c ∪ B c= (A ∩ B) c ,entonces (A ∩ B) c ∈ F y A ∩ B ∈ τ.3. Veamos ahora que la unión de cualquier colección de elementosde τ pertenece a τ. En primer lugar, nótese que siA ⊂ B entonces B = A ∪ B, luego B = A ∪ B = A ∪ B,de donde A ⊂ B. Así se tiene que si C ⊂ F entonces47

⋂C∈C C ⊂ C para cada C ∈ C, de donde ⋂ C∈C C ⊂ C = Cpara cada C ∈ C, lo cual implica que ⋂ C∈C C ⊂ ⋂ C∈C C.Esto significa que ⋂ C∈C C ∈ F.Si A es una familia de subconjuntos de X contenida en τse tiene( ⋃AA∈AA c) c= ⋂ A∈A= ⋂ A∈AA c= ⋂ A∈AA c( c ⋃= A),A∈Aentonces (⋃ A∈A A) c∈ F y⋃A∈A A ∈ τ.2.5.6 Ejemplos.1. Sea X cualquier conjunto. Diremos que para cada A ⊂ X,A = A. En este caso cada subconjunto de X será un conjuntocerrado y la topología que se genera a partir de estaoperación de adherencia es la topología discreta.2. Sea X un conjunto cualquiera y definamos ahora A = Xpara todo A ⊂ X, A ≠ ∅ y ∅ = ∅. En este caso encontramosla topología trivial o grosera sobre X.48

3. Si X es un conjunto infinito y para cada A ⊂ X definimos{A si A es finitoA =X si A es infinito,obtenemos la topología de complementos finitos sobre X.4. Si para cada A ⊂ R definimos⎧(−∞, sup A] si A es no vacío y está acotado⎪⎨A = Rsuperiormentesuperiormente⎪⎩∅ si A = ∅,si A es no vacío y no está acotadoobtenemos la topología de colas a derecha sobre R.5. Sean X un conjunto y B un subconjunto fijo de X. Paracada A ⊂ X definimos{A ∪ B si A ≠ ∅A =∅ si A = ∅.La función A ↦−→ A es una operación de adherencia queda lugar a una topología sobre X para la cual los conjuntoscerrados son ∅ y los subconjuntos de X que contienen a B.Ejercicios49

2.6. Puntos de acumulaciónEl concepto que estudiaremos ahora permite también caracterizarlos conjuntos cerrados en un espacio topológico.2.6.1 Definición. Sean X un espacio topológico y A un subconjuntode X. Un punto x ∈ X es un punto de acumulaciónde A si para cada vecindad V de x se tiene V ∩ (A {x} ≠ ∅.El conjunto de todos los puntos de acumulación de A se denotapor A ′ y se llama el derivado de A.De la definición se tieneasí como también queA ′ ⊂ AA = A ∪ A ′y de esta última igualdad se concluye que un conjunto A escerrado si y sólo si contiene todos sus puntos de acumulación.2.6.2 Ejemplo. Observe { que en R}con la topología usual, cada1punto del conjunto A =n : n ∈ N es adherente a A pero queningún elemento de A es punto de acumulación de A. El únicopunto de acumulación de este conjunto es 0.Ejercicios50

2.7. Interior, exterior y frontera de un conjuntoEstudiaremos ahora un concepto tan importante en topologíacomo el concepto de punto adherente.2.7.1 Definición. Sean X un espacio topológico y A un subconjuntode X. Un punto x ∈ X es interior a A si existe unavecindad de x contenida en A. El conjunto de todos los puntosinteriores a A se denota por A ◦ y se llama el interior de A.De la definición anterior se concluye que A ◦ ⊂ A para todoA ⊂ X como también que si A y B son subconjuntos de X yA ⊂ B entonces A ◦ ⊂ B ◦ .El siguiente resultado caracteriza el interior de un conjunto y sudemostración es inmediata.2.7.2 Proposición. Sean X un espacio topológico y A un subconjuntode X. EntoncesA ◦ = ⋃ {U ⊂ X : U es un conjunto abierto y U ⊂ A}.En la siguiente proposición se resumen algunas de las más importantespropiedades de la operación interior A ↦−→ A ◦ : P(X) −→P(X).2.7.3 Proposición. Sea X un espacio topológico.1. (A ◦ ) ◦ = A ◦ para cada A ⊂ X.2. (A ∩ B) ◦ = A ◦ ∩ B ◦ para cada A, B ⊂ X.51

3. A ⊂ X es abierto si y sólo si A ◦ = A.Demostración. La demostración es consecuencia inmediata de ladefinición.Tal como sucede con las operaciones de adherencia, dado unconjunto X y una función A ↦−→ A ◦ : P(X) −→ P(X) conciertas propiedades, se puede encontrar una topología sobre Xen la que el interior de cada subconjunto de X está determinadopor la función. Este es el resultado que se presenta en la siguienteproposición.2.7.4 Proposición. Sea X un conjunto y supongamos que seha definido una operación A ↦−→ A ◦ : P(X) −→ P(X) tal que1. A ◦ ⊂ A para cada A ⊂ X.2. (A ◦ ) ◦ = A ◦ para cada A ⊂ X.3. (A ∩ B) ◦ = A ◦ ∩ B ◦ para cada A, B ⊂ X.4. X ◦ = X.Existe una topología sobre X cuya operación de interior es precisamenteA ↦−→ A ◦ .En este caso se definen los conjuntos abiertos como aquellosconjuntos que son iguales a su interior. La prueba de que estosconjuntos forman la topología buscada es sencilla y la omitiremosaquí.52

2.7.5 Ejemplos.1. En R con la topología usual, el interior del intervalo [a, b] esel intervalo (a, b) pero NO siempre en un espacio métricoel interior de una bola cerrada B[x, ɛ] es la bola abiertaB(x, ɛ). Nuevamente la métrica discreta sobre un conjuntocon más de un punto nos ilustra este hecho.2. Consideremos nuevamente R con la topología usual. Q ◦ =(R Q) ◦ = ∅. Nótese que (Q ◦ ∪ (R Q)) ◦ = R ◦ = R. Estees un ejemplo que muestra que puede ocurrir (A ∪ B) ◦ ≠A ◦ ∪ B ◦ .Si A es un subconjunto de un espacio topológico X decimos queel exterior de A es el interior del complemento de A, esto es,(X A) ◦ . Los puntos de X que no están ni en interior ni en elexterior de A tienen una característica especial: cada vecindadde uno de estos puntos contiene tanto puntos de A como puntosde X A. Se tiene entonces la siguiente definición.2.7.6 Definición. Sean X un espacio topológico y A un subconjuntode X. Un punto x ∈ X es un punto frontera de A sipara cada vecindad V se tiene V ∩A ≠ ∅ y V ∩(X A) ≠ ∅. Elconjunto de todos los puntos frontera de A se denota por Fr Ay se llama la frontera de A.Nótese queFr A = A ∩ X Ay que la frontera de A es siempre un conjunto cerrado.53

El siguiente resultado muestra algunas relaciones entre la adherencia,el interior y la frontera.2.7.7 Proposición. Sean X un espacio topológico y A un subconjuntode X.1. A = A ∪ Fr A.2. A ◦ = A Fr A.3. X = A ◦ ∪ Fr A ∪ (X A) ◦ .Demostración.1. La inclusión A ∪ Fr A ⊂ A es inmediata. Sea x ∈ A. Six /∈ A, toda vecindad de x tiene puntos de A y puntos desu complemento (por lo menos a x). Entonces x ∈ A∪ Fr Ay A ∪ Fr A ⊂ A.2. Si x ∈ A ◦ entonces x ∈ A y x /∈ Fr A. Por otro lado six ∈ A Fr A entonces existe una vecindad de x contenidaen A, de donde x ∈ A ◦ .3. Si x /∈ A ◦ ∪ Fr A, existe una vecindad de x contenida enX A, de donde x ∈ A ◦ ∪ Fr A ∪ (X A) ◦ .2.7.8 Ejemplos.1. En R con topología usual, la frontera del intervalo (a, b)(así como del intervalo [a, b] o de cualquier otro intervalocon extremos a y b) es el conjunto {a, b}.54

2. En R con topología usual, la frontera de Q (y también deR Q) es R.3. Si X es un espacio topológico, Fr X =Fr ∅ = ∅.4. Cada subconjunto cerrado de R 2 es la frontera de algún subconjuntode R 2 . En efecto, si K es cerrado y K ◦ = ∅ entoncesFr K = K. En caso contrario sea F el conjunto depuntos de K con coordenadas racionales unido con el conjuntode puntos aislados de K (x es un punto aislado de Ksi existe una vecindad V de x tal que V ∩ K = {x}). Setiene que Fr F = K.Ejercicios2.8. SubespaciosEn nuestro estudio de espacios métricos vimos que es posibleconvertir un subconjunto A de un espacio métrico (X, ρ) en unnuevo espacio métrico considerando la restricción de la función ρal conjunto A×A. Así por ejemplo, el conjunto Q de los númerosracionales “hereda” la estructura de espacio métrico usual delos números reales restringiendo la métrica usual, originalmentedefinida en R×R, al conjunto Q×Q. En el nuevo espacio métricola bola abierta de radio ɛ > 0 centrada en un número racionalx es el conjunto {y ∈ Q : |x − y| < ɛ}. Observando con unpoco de atención, nos daremos cuenta de que este conjunto esprecisamente la intersección de la bola abierta en R de radio ɛy centrada en x, con el conjunto de los números racionales. En55

ealidad cada conjunto abierto en Q resulta ser la intersecciónde un conjunto abierto en R con los números racionales. En estesentido decimos que la topología usual de Q es la “topologíaheredada” por Q de R.En general tenemos el siguiente resultado.2.8.1 Proposición. Sean (X, τ) un espacio topológico y A ⊂ X.La colección τ ′ = {O ∩ A : O ∈ τ} es una topología sobre A.Demostración. La demostración de esta proposición se deducede los siguientes hechos:1. ∅ ∩ A = ∅.2. X ∩ A = A3. (O 1 ∩ A) ∩ (O 2 ∩ A) = (O 1 ∩ O 2 ) ∩ A.4. Si {O j } j∈J es una colección de subconjuntos abiertos de Xentonces ⋃ (O j ∩ A) = ( ⋃ O j ) ∩ A.Estas observaciones dan lugar a la siguiente definición.2.8.2 Definición. Sean (X, τ) un espacio topológico y A ⊂ X.La colección {O ∩ A : O ∈ τ} es la topología heredada por Ade X o la topología inducida por X (o por la topología de X)sobre A. El espacio topológico formado se llama un subespaciode X.En adelante, a menos que se explicite lo contrario, consideraremoscada subconjunto de un espacio topológico X como un56

subespacio de X. Esto es, consideraremos siempre que tiene latopología heredada de X.2.8.3 Ejemplos.1. La topología usual sobre cada subconjunto de R n es la topologíainducida por la topología usual de R n .2. Si (X, ρ) es un espacio métrico y A ⊂ X, la topología inducidasobre A es la topología generada por la restricciónde ρ al conjunto A × A.3. La topología usual { de R induce } la topología discreta sobreel conjunto 1n : n ∈ N ; pero NO sobre el conjunto{ } 1n : n ∈ N ∪ {0}. La razón es que el conjunto {0} no esabierto en el subespacio.4. El eje x como subespacio del Plano de Moore tiene la topologíadiscreta. En efecto, la intersección de un conjunto de la formaA ∪ {z}, donde A es una bola abierta usual del plano,contenida en el semiplano superior y tangente al eje x enz, con el eje x es el conjunto {z}.5. Cualquier subespacio de un espacio discreto es discreto ycualquier subespacio de un espacio trivial es trivial.Una base para una topología sobre un conjunto X también describela topología de los subespacios de X como lo muestra elsiguiente resultado.57

2.8.4 Lema. Sean X un espacio topológico y A ⊂ X. Si Bes una base para la topología de X entonces la colección B A ={O ∩ A : O ∈ B} es una base para la topología inducida sobre A.Demostración. Es inmediato que cada elemento de B A es abiertoen A. Ahora bien, todo subconjunto abierto de A tiene la formaC ∩ A donde C es un subconjunto abierto de X. Si a ∈ C ∩ A yO es un abierto básico de X que contiene a A y está contenidoen C, entonces a ∈ O ∩ A y O ∩ A ⊂ C ∩ A.2.8.5 Ejemplo.La colección{∅} ∪ {[0, 1]} ∪ {[0, a) : 0 < a ≤ 1}∪ {(a, b) : 0 ≤ a < b ≤ 1} ∪ {(a, 1] : 0 ≤ a < 1}es una base para la topología usual del intervalo [0, 1].El siguiente resultado resume algunas de las más importantespropiedades de los subespacios.2.8.6 Proposición. Si A es un subespacio de un espacio topológicoX entonces:1. Un subconjunto F de A es cerado en A si y sólo si existeK cerrado en X tal que F = K ∩ A.2. Si E ⊂ A y denotamos por Adh A E la adherencia de Een A y por Adh X E la adherencia de E en X, entoncesAdh A E =Adh X E ∩ A.3. Si a ∈ A, entonces V es una vecindad de a en A si y sólosi existe una vecindad U de a en X tal que V = U ∩ A.58

4. Si a ∈ A y si B(a) es un sistema fundamental de vecindadesde a en X, entonces {U ∩ A : U ∈ B(a)} es un sistemafundamental de vecindades de a en A.5. Si E ⊂ A y denotamos por Int A E el interior de E en A ypor Int X E el interior de E en X, entonces Int A E ⊃Int X E∩A.6. Si E ⊂ A y denotamos por Fr A E la frontera de E en A y porFr X E la frontera de E en X, entonces Fr A E ⊂Fr X E ∩ A.Ejercicios59

Capítulo 3Funciones continuasEn este capítulo estudiaremos las funciones continuas definidasentre espacios topológicos, así como algunas de sus principalespropiedades.3.1. Funciones continuasEn el Capítulo 1 utilizamos la noción de continuidad de funcionesde R en R estudiada en Análisis Real para definir funcionescontinuas entre espacios métricos. Vimos que si (X, d) y(Y, m) son espacios métricos, una función f : X −→ Y es continuaen un punto x 1 ∈ X si y sólo si para cada ɛ > 0 existeδ > 0 tal que d(x 1 , x 2 ) < δ implica m(f(x 1 ), f(x 2 )) < ɛ. Se diceque f es continua si es continua en cada punto x ∈ X.Una observación cuidadosa nos muestra que la función f : X −→Y es continua si y sólo si para cada subconjunto abierto O deY , el conjunto f −1 (O) es abierto en X.Utilizaremos esta última propiedad para definir lo que es unafunción continua entre dos espacios topológicos.60

3.1.1 Definición. Sean X y Y espacios topológicos. Una funciónf : X −→ Y es continua si f −1 (O) es un conjunto abiertoen X para cada conjunto abierto O de Y .Naturalmente también es posible definir lo que significa que lafunción f : X −→ Y es continua en un punto x ∈ X.3.1.2 Definición. Sean X y Y espacios topológicos. Una funciónf : X −→ Y es continua en un punto x ∈ X si para cadavecindad V de f(x) en Y existe una vecindad U de x en X talque f(U) ⊂ V .De estas dos últimas definiciones se concluye de manera inmediataque una función f : X −→ Y es continua si y sólo si f escontinua en x para cada x ∈ X.3.1.3 Ejemplos.1. Si f : X −→ Y es una función constante de valor k, entoncesf es continua. En efecto, si O es un subconjuntoabierto de Y entonces f −1 (O) es X o ∅, dependiendo de sik es o no un elemento de O. En cualquier caso f −1 (O) esabierto en X.2. Si τ 1 y τ 2 son topologías definidas sobre un conjunto Xy si τ 1 es más fina que τ 2 (esto es τ 2 ⊂ τ 1 ), entonces lafunción idéntica id X : (X, τ 1 ) −→ (X, τ 2 ) es continua. Encaso contrario, es decir si existe un subconjunto O de X quepertenece a τ 2 pero no a τ 1 , entonces id −1X(O) no es abiertoen (X, τ 1 ). En este caso, aunque parezca sorprendente, lafunción idéntica no es continua.61

3. Si X es un espacio discreto, cualquier función con dominioX es continua.4. Si Y es un espacio grosero, es decir si los únicos subconjuntoabiertos de Y son ∅ y el mismo Y , entonces toda funcióncon codominio Y es continua.3.1.4 Observación. Si (X, τ) y (Y, µ) son espacios topológicos,si f : X −→ Y y si B es una base para la topología de Y podemoshacer las siguientes observaciones:1. Si f es continua entonces f −1 (B) es abierto en X para cadaB ∈ B.2. De manera recíproca, si f −1 (B) es abierto en X para cadaB ∈ B y O es un subconjunto abierto de Y entoncesO = ⋃ i∈I B i para alguna familia {B i } i∈I de elementos deB, luegof −1 (O) = f −1 ( ⋃ i∈IB i )= ⋃ i∈I(f −1 B i )es abierto en X.Las observaciones anteriores nos permiten concluir que una funciónf : X −→ Y es continua si y sólo si la aplicación imagenrecíproca de f aplica elementos básicos de la topología de Y ensubconjuntos abiertos de X.62

3.1.5 Ejemplo. Consideremos el intervalo [0, 1) con la topologíainducida de la topología usual de R y denotemos con C la circunferenciaen el plano complejo, con centro en el origen y radio1. Definamos la función f : [0, 1) −→ C por f(x) = e 2πix .Veamos que f es una función continua.El conjunto formado por todos los segmentos abiertos de la circunferenciaes una base para la topología de C. Si J es uno detales segmentos y si J no contiene al número complejo 1, entoncesf −1 (J) es un intervalo abierto de la forma (a, b) donde0 < a < b < 1. Luego f −1 (J) es abierto en [0, 1). Por otraparte, si 1 ∈ J entonces f −1 (J) tiene la forma [0, a) ∪ (b, 1)donde 0 < a < b < 1 que también es un conjunto abierto en[0, 1). Se concluye que f es continua.El siguiente resultado nos da algunos criterios que permiten decidirsi una función entre dos espacios topológicos es o no unafunción continua.3.1.6 Teorema. Sean X y Y espacios topológicos y f :−→ Yuna función. Las siguientes afirmaciones son equivalentes:63

1. f es continua.2. Si K es un subconjunto cerrado de Y , entonces f −1 (K) esun subconjunto cerrado de X.3. Si A ⊂ X, entonces f(A) ⊂ f(A).Demostración.1. → 2. Nótese que (f −1 (K)) c = f −1 (K c ). Así, si K es cerradoen Y , K c es abierto; y como f es continua, f −1 (K c ) es abiertoen X, o lo que es lo mismo, f −1 (K) es cerado.2. → 3. Sea A ⊂ X. Se tiene que f −1 (f(A)) es un subconjuntocerrado de X y A ⊂ f −1 (f(A)), entonces A ⊂ f −1 (f(A)) estoimplica que f(A) ⊂ f(A).3. → 1. Sea O un subconjunto abierto de Y . Nótese en primerlugar queX X f −1 (O) ⊂ f −1 (O).Por otro lado, si x ∈ X f −1 (O), entonces f(x) ∈ f(X f −1 (O)),luego f(x) ∈ f(X f −1 (O)) lo cual es imposible si x ∈ f −1 (O);la razón de esta afirmación es que x ∈ f −1 (O) implica que O esuna vecindad de f(x) que claramente no tiene puntos en comúncon f(X f −1 (O)).Hemos demostrado queEsto completa la prueba.f −1 (O) ⊂ X X f −1 (O).El siguiente resultado es supremamente importante; ya que nosólo facilita gran cantidad de cálculos, sino que, en estudios posteriores,permite presentar a los espacios topológicos con las funcionescontinuas como una categoría.64

3.1.7 Teorema. Si f : X −→ Y y g : Y −→ Z son funcionescontinuas entonces la compuesta g ◦ f : X −→ Z también esuna función continua.Demostración. Si O es un subconjunto abierto de Z, la continuidadde g implica que g −1 (O) es abierto en Y ; y como fes continua, f −1 (g −1 (O) es un subconjunto abierto de X. Laigualdad(g ◦ f) −1 (O) = f −1 (g −1 (O)concluye la prueba del teorema.3.1.8 Observación. Observe que si f : X −→ Y es una funcióncontinua y si A es un subespacio de X, entonces la restricciónf ↾ A de f a A también es una función continua. Además, si Yes un subespacio de Z entonces f : X −→ Y es continua si ysólo si f es continua cuando se le considera definida de X enZ.Veamos ahora cómo es posible concluir que una función es continuasi se sabe que sus restricciones a ciertos subespacios de sudominio son continuas.3.1.9 Proposición. Si {A α } α∈Λ es cualquier familia de subconjuntosabiertos de X cuya unión es X, entonces una funciónf : X −→ Y es continua si y sólo si su restricción a cada A α escontinua.Demostración. Es inmediato que si f es continua, f ↾ Aα es continuapara cada α ∈ Λ.De manera recíproca, sea O un subconjunto abierto de Y . Paracada α ∈ Λ el conjunto f ↾ −1A α(O) = f −1 (O) ∩ A α es abierto en65

A α ; pero como A α es abierto en X, entonces f −1 (O)∩A α tambiénes abierto en X. Ahora bien, f −1 (O) = ⋃ α∈Λ f −1 (O)∩A α , luegof −1 (O) es abierto y f es continua.Si los elementos de la colección {A α } α∈Λ no son conjuntos abiertos,es posible que no se pueda concluir la continuidad de lafunción f. Por ejemplo la función f : R −→ R definida por{0 si x ∈ Qf(x) =1 si x /∈ Q.no es continua en ningún punto de R aunque su restricción acada subconjunto unitario de R sí lo es.La anterior observación muestra que f puede no ser continuaaunque cada elemento de la familia {A α } α∈Λ tenga la propiedadde ser un conjunto cerrado y f ↾ Aα sea continua para cada α ∈ Λ.Un resultado análogo al presentado en la proposición 3.1.9 setiene cuando {A α } α∈Λ es una colección finita de subconjuntoscerrados de X.3.1.10 Proposición. Si {A i } i=1,...,n es una familia finita de subconjuntoscerrados de X cuya unión es X, entonces una funciónf : X −→ Y es continua si y sólo si su restricción a cada A i escontinua.Demostración. Nuevamente, si f : X −→ Y es continua, entoncessu restricción a cada A i es continua.Sea K un subconjunto cerrado de Y . Para cada i = 1, ..., n elconjunto f ↾ −1A i(K) = f −1 (K) ∩ A i es cerrado en A i ; pero comoA i es cerrado en X, entonces f −1 (K) ∩ A i también es cerrado en66

X. Ahora bien, f −1 (K) = ⋃ i=1,...,n f −1 (K) ∩ A i , luego f −1 (K)es cerrado y f es continua.La condición de finitud de la familia {A i } i=1,...,n dada en laproposición anterior se puede debilitar un poco si se tiene encuenta la siguiente definición.3.1.11 Definición. Una familia de subconjuntos de un espaciotopológico es localmente finita si cada punto del espacio tieneuna vecindad que tiene puntos en común con sólo un númerofinito de elementos de la familia.3.1.12 Ejemplo. La colección de todos los intervalos de la forma(n, n + 1) con n ∈ N es una familia localmente finita desubconjuntos de R, mientras que la colección de todos los intervalosabiertos en R no lo es.Tenemos el siguiente resultado.3.1.13 Proposición. Si {A α } α∈Λ es una familia localmente finitade subconjuntos cerrados de X cuya unión es X, entonces unafunción f : X −→ Y es continua si y sólo si su restricción acada A α es continua.Demostración. Como en los casos anteriores, si f es continua,f ↾ Aα es continua para cada α ∈ Λ.Recíprocamente, sea x ∈ X y sean O una vecindad abierta def(x) y V una vecindad abierta de x que tiene puntos en comúnsólo con un número finito de elementos de la familia {A α } α∈Λ .Digamos que V ∩ A αi ≠ ∅ para i = 1, ..., n y que V ∩ A α = ∅ siα ≠ α i para cada i = 1, ..., n.67

Dado i ∈ {1, ..., n} consideremos B i = V ∩ A αi . La colección{B i } i=1,...,n es una familia finita de subconjuntos cerrados de Vcuya unión es V y como la restricción de f ↾ V a B i es continuapara cada i = 1, ..., n, entonces la proposición 3.1.10 garantizaque la función f ↾ V es continua. Esto garantiza que existe unavecindad abierta W en V tal que f ↾ V (W ) ⊂ O. Esta contenenciaimplica que f es continua en x porque W es una vecindad dex en X, ya que V es abierto en X y además f(W ) = f ↾ V (W ).Puesto que x fue escogido de manera arbitraria, se concluye quef es una función continua.Ejercicios3.2. Homeomorfismos e inmersionesConsideremos la función f : (− π 2 , π ) −→ R definida por f(x) =2tan −1 x. Es bien sabido que la función f es continua, uno a unoy sobreyectiva, además, que su inversa, la co-restricción de lafunción tangente al intervalo (− π 2 , π ), también es una función2continua. Esta función f con estas características nos permitepasar del espacio topológico (− π 2 , π ) al espacio topológico R2sin perder información alguna. En otras palabras, gracias a lafunción f, conocemos la topología de uno de los espacios unavez conocemos la topología del otro.En el fondo, aunque los dos espacios son en apariencia distintos,son el mismo espacio. Los conjuntos abiertos, cerrados, lasadherencias, los interiores o los puntos de acumulación en uno68

de los espacios tienen su contraparte en el otro y la función fes el puente para pasar de uno de los espacios al otro. Diremosque el intervalo (− π 2 , π ) y el espacio R son homeomorfos y que2la función f es un homeomorfismo.En general tenemos la siguiente definición.3.2.1 Definición. Sean X y Y espacios topológicos. Una funciónf : X −→ Y es un homeomorfismo si f es continua, unoa uno y sobreyectiva y f −1 también es continua.Si existe un homeomorfismo f : X −→ Y decimos que losespacios X y Y son homeomorfos.Es inmediato que una función continua f : X −→ Y es unhomeomorfismo si y sólo si existe una función continua g : Y −→X tal que g ◦ f =id X y f ◦ g =id Y , donde id X y id Y son lasfunciones identidad de X y Y , respectivamente.Nótese que la condición de que f −1 sea continua es equivalentea afirmar que f es una función abierta, esto es, que aplica conjuntosabiertos en conjuntos abiertos, o a afirmar que f es unafunción cerrada, es decir, que aplica conjuntos cerrados en conjuntoscerrados.En resumen, una función f : X −→ Y es un homeomorfismo sies uno a uno, sobre, continua y abierta (o cerrada).Con esta observación en mente resulta ser un fácil ejercicio demostrarel siguiente resultado.3.2.2 Proposición. Si X y Y son espacios topológicos y f :X −→ Y es una función uno a uno y sobreyectiva, entonces lassiguientes afirmaciones son equivalentes:69

1. f es un homeomorfismo.2. Si A ⊂ X, entonces f(A) es abierto en Y si y sólo si A esabierto en X.3. Si K ⊂ X, entonces f(K) es cerrado en Y si y sólo si Kes cerrado en X.4. Si M ⊂ X, entonces f(M) = f(M).3.2.3 Observación. La relación ∼ definida en los espacios topológicospor X ∼ Y si y sólo si X y Y son homeomorfos es unarelación de equivalencia. Esto justifica el hecho de que veamosdos espacios topológicos homeomorfos como el mismo espacio.La relación “ser homeomorfos” nos permite conocer un espaciotopológico por sus características relevantes (aquellas que lohacen único) y no por los nombres de sus elementos.Cuando en la observación anterior hablamos de “característicasrelevantes” de un espacio nos estamos refiriendo a las propiedadestopológicas del espacio. Una propiedad topológica es aquella quesi la posee un espacio X, la posee también cualquier espaciohomeomorfo a X.Que los conjuntos unitarios de un espacio topológico sean conjuntoscerrados es un ejemplo de una propiedad topológica.Si f : X −→ Y es una función continua y uno a uno y sif −1 : f(X) −→ X también es continua entonces X y f(X)son homeomorfos. En este caso decimos que la función f es unainmersión de X en Y o que X está inmerso en Y . En términosprácticos, podemos pensar en X como un subespacio de Y .70

La inclusión de un subespacio en un espacio topológico es elejemplo más inmediato que se puede presentar de una inmersión.Ejercicios71

Capítulo 4Topologías iniciales yTopologías finalesEn este capítulo estudiaremos estructuras iniciales como los espaciosproducto y estructuras finales como los espacios cociente.4.1. Estructuras iniciales - Topología inicialSean X un conjunto, {X α } α∈Λ una familia de espacios topológicosy para cada α ∈ Λ sea f α : X −→ X α una función. Si consideramosla topología discreta sobre el conjunto X cada una delas funciones f α resulta ser continua.Nuestro propósito ahora es dotar al conjunto X de la topologíamenos fina para la cual cada f α es una función continua.Si f α es continua, entonces para cada subconjunto abierto O deX α el conjunto fα −1 (O) debe ser un subconjunto abierto de X.Entonces la colecciónS = {f −1α (O) : α ∈ Λ y O es abierto en X α }debe estar contenida en la topología del espacio X.72

La colección B de todas las intersecciones finitas de elementosde S es una base para una topología sobre X y claramente siconsideramos la topología generada por B sobre X, entonces f αes una función continua para cada α ∈ Λ.4.1.1 Definición. La topología generada por la base B es latopología inicial sobre X inducida por la familia {f α } α∈Λ .El siguiente resultado caracteriza las funciones continuas quetienen como codominio un espacio con una topología inicial.4.1.2 Teorema. Si X tiene la topología inicial inducida por unafamilia de funciones {f α } α∈Λ , donde f α : X −→ X α , entoncesuna función f : Y −→ X es continua si y sólo si f α ◦ f escontinua para cada α ∈ Λ.Demostración. Es inmediato que si f es continua, entonces f α ◦fes continua para cada α ∈ Λ.Supongamos la continuidad de f α ◦ f para cada α ∈ Λ. Puestoque X tiene la topología inicial inducida por la familia {f α } α∈Λ ,un conjunto abierto sub-básico de X tiene la forma fα−1 (O) paraalgún α ∈ Λ y algún subconjunto abierto O de X α . Se tiene quef −1 (fα−1 (O)) = (f α ◦ f) −1 (O) es abierto en Y , porque f α ◦ f escontinua.4.1.3 Observación. Sea τ una topología sobre X tal que cadaf α es continua y denotemos por X ′ el espacio (X, τ). Puestoque f α ◦id X : X ′ −→ X α es continua para cada α ∈ Λ, se tiene73

que la aplicación idéntica id X : X ′ −→ X es continua y estosólo se tiene si τ es más fina que la topología inicial sobre Xinducida por la familia {f α } α∈Λ . La topología inicial es entoncesla topología menos fina con la que se puede dotar al conjunto X,de manera tal que cada función f α resulte ser continua.4.1.4 Ejemplos.1. Si Y tiene la topología grosera entonces la topología inicialsobre un conjunto X inducida por una función f : X −→ Yes la topología grosera.2. Si Y tiene la topología discreta entonces la topología inicialsobre un conjunto X inducida por una función uno a unof : X −→ Y es la topología discreta.Ejercicios4.2. Topología ProductoLa posibilidad de construir estructuras iniciales descrita en lasección anterior, nos permite dotar al producto cartesiano deuna familia de espacios topológicos de una topología que resultaser muy útil en distintos contextos.74

4.2.1 Definición. Sean X y Y dos espacios topológicos y consideremosla topología inicial sobre el producto cartesiano X×Yinducida por las proyecciones canónicas π 1 : X × Y −→ X yπ 2 : X × Y −→ Y . Llamamos a esta topología la topologíaproducto sobre X × Y .Los conjuntos de la forma π1 −1 (A) ∩ π−1 2 (B) donde A y B sonsubconjuntos abiertos de X y Y , respectivamente, forman unabase para la topología definida sobre X × Y .Ahora bien, si A y B son subconjuntos abiertos de X y Y , respectivamente,entonces π1 −1 (A) ∩ π−1 2 (B) = A × B. Así, la topologíaproducto sobre X × Y se puede describir como la topología generadapor los conjuntos de la forma A × B donde A y B sonsubconjuntos abiertos de X y Y , respectivamente.75

4.2.2 Observación. En general, si X 1 , X 2 ,...,X n son espaciostopológicos, la topología producto sobre X 1 × X 2 ×, ..., ×X nes la topología inicial inducida por las funciones π i : X 1 ×X 2 ×, ..., ×X n −→ X i , i = 1, ..., n; y una base para esta topologíaestá dada por los conjuntos de la forma A 1 ×A 2 ×, ..., ×A n , dondeA i es un subconjunto abierto de X i para cada i = 1, ..., n.4.2.3 Ejemplos.1. La topología usual de R 2 es la topología producto sobre R ×R.2. La topología usual de R n es la topología producto sobre elproducto cartesiano R n .3. El producto de una familia finita de espacios métricos es unespacio métrico.Ejercicios4.3. Productos arbitrariosConsideremos ahora una familia arbitraria {X α } α∈Λ de espaciostopológicos. Recordemos que un elemento x del productocartesiano ∏ α∈Λ X ⋃α es una función x : Λ −→ ˙ Xα tal quex(α) = x α ∈ X α , para cada α ∈ Λ.Para cada α ∈ Λ, la proyección canónica π α : ∏ α∈Λ X α −→ X αestá definida por π α (x) = x α .76

4.3.1∏Definición. Definimos la topología producto sobreα∈Λ X α como la topología inicial inducida por la familia{π α } α∈Λ de proyecciones canónicas.Consideremos la colecciónS = {π −1α (O) : α ∈ Λ y O es abierto en X α }y recordemos que la familia B de todas las intersecciones finitasde elementos de S es una base para la topología producto.Entonces, un conjunto abierto básico tiene la forma⋂i=1,...,nπ −1α i(O αi ) = {x ∈ ∏ α∈ΛX α : x αi ∈ O αi para todo i = 1, ..., n}= ∏ α∈ΛA α donde A α es abierto en X α para todo α ∈ Λ,A αi = O αi , i = 1, ..., n y A α = X α si α ≠ α i , i = 1, ..., n.Así, un conjunto abierto básico de la topología producto es unproducto de subespacios abiertos de los espacios originales, en elcual cada factor es igual al espacio total, salvo para un númerofinito de índices.Trabajaremos ahora con espacios topológicos que tienen unapropiedad especial: Si x y y son puntos distintos del espacio,existe una vecindad V de x tal que y /∈ V , o existe una vecindadW de y tal que x /∈ W . En otras palabras, dados dos puntosdistintos del espacio, existe una vecindad de alguno de los dospuntos, que no contiene al otro.77

Hay una gran cantidad de ejemplos de espacios con esta propiedad:cualquier espacio métrico la tiene, así como cualquier conjuntocon la topología de compementos finitos o cualquier conjuntototalmente ordenado con la topología de las colas a la derecha.Por supuesto también existe espacios sin esta propiedad, comolos conjuntos con más de un punto y topología grosera.Los espacios tales que dados dos puntos distintos del espacio,existe una vecindad de alguno de los dos puntos, que no contieneal otro, están inmersos en productos de espacios de Sierpinskicomo lo muestra el siguiente ejemplo.4.3.2 Ejemplo.Sea X = {0, 1} el espacio de Sierpinski. La topología sobre esteespacio es {∅, {0}, {0, 1}}. Consideremos un espacio topológico(X, τ) tal que dados dos puntos distintos del espacio, existe unavecindad de alguno de los dos puntos que no contiene al otroy tomemos el espacio producto ∏ A∈τ) X A, donde X A = C paracada A ∈ τ.⋃Para cada x ∈ X definimos la función α(x) = ̂x : τ −→ ˙A∈τ X Apor{0 si x ∈ Âx(A) =1 si x /∈ A.Veamos que la función α : X −→ ∏ A∈τ X A es una inmersión.Es decir que es una función continua, abierta sobre su imageny uno a uno.1. Sea A ∈ τ y O un subconjunto abierto de X A . Entonces{α −1 (πA −1 (O)) = A si O = {0}X si O = {0, 1}.78

En cualquier caso, α −1 (πA −1 (O)) es un conjunto aberto enel espacio de Sierpinski, luego α es continua.2. Sea A un subconjunto abierto de X. Se tiene = {̂x : x ∈ A}= π −1A ({0}),entonces α es una función abierta. En particular, es abiertasobre su imagen.3. Sean x y y elementos distintos de X. Por hipótesis, existeuna vecindad abierta V de uno de los puntos, digamos de x,que no contiene al otro. Es decir y /∈ V. Entonces ŷ(V ) = 1y ̂x(V ) = 0. Se concluye que ̂x ≠ ŷ y que α es uno a uno.En el ejemplo anterior resultó indispensable que el espacio topológicoX tuviera una propiedad especial para que fuera posiblesumergirlo, por medio de la aplicación α, en un producto deespacios de Sierpinski. Esta es una operación que no se puederealizar con todo espacio topológico.El siguiente ejemplo muestra cómo, sorprendentemente, todo espaciotopológico es un subespacio de un producto de espacios detres puntos.4.3.3 Ejemplo. Consideremos el conjunto C = {0, 1, 2} conla topología {∅, {0}, C}. Llamaremos al espacio topológico Cel espacio de Sierpinski de tres puntos.Sea (X, τ) un espacio topológico cualquiera y consideremos elespacio producto ∏ A∈P(X) C A, donde C A = C para cada A ∈P(X).79

Para⋃cada x ∈ X definimos la función σ(x) = ̂x : P(X) −→˙A∈P(X) C A por⎧⎪⎨ 0 si x ∈ A ◦̂x(A) = 1 si x ∈ F rA ∩ A⎪⎩2 si x /∈ A.Veamos que la función σ : X −→ ∏ A∈P(X) C A es una inmersión.Con este fin veamos que σ es una función continua, abiertay uno a uno.1. Sea A ∈ P(X) y O un subconjunto abierto de C A . Entonces{σ −1 (πA −1 (O)) = A ◦ si O = {0}X si O = {0, 1, 2},luego σ es continua.2. Sea A un subconjunto abierto de X. Se tiene = {̂x : x ∈ A}= π −1A ({0}),entonces σ es una función abierta.3. Sean x y y elementos distintos de X. Como y /∈ A = {x}se tiene que ŷ(A) = 2 y ̂x(A) = 0 o ̂x(A) = 1 dependiendode si A es o no abierto en X. Entonces ̂x ≠ ŷ y σ es uno auno.Ejercicios80

4.4. Estructuras finales - Topología finalSean Y un conjunto, {(X α , τ α )} α∈Λ una familia de espacios topológicosy para cada α ∈ Λ sea f α : X α −→ Y una función. Siconsideramos la topología grosera sobre el conjunto Y cada unade las funciones f α resulta ser continua.Ahora deseamos encontrar la topología más fina que se puededefinir sobre el conjunto Y , de tal manera que f α sea continuapara cada α ∈ Λ.Definamos tentativamente la colección τ como la colección detodos los subconjuntos A de Y tales que fα−1 A es abierto en X αpara cada α ∈ Λ. Esto esτ = {A ⊂ Y : fα−1 A ∈ τ α para cada α ∈ Λ}.Es un ejercicio sencillo demostrar que τ es una topología sobreY y que f α es continua para cada α ∈ Λ.4.4.1 Definición. Llamaremos a τ la topología final sobre Yinducida por la familia {f α } α∈Λ .4.4.2 Ejemplo. Sean (X i ) i∈I una familia de espacios topológicosdisjuntos dos a dos, X = ⋃ i∈I X i y j i X i −→ X la inyeccióncanónica de X i en X. La colección A constituida por los conjuntosA ⊂ X tales que para cada i ∈ I, A ∩ X i es un conjuntoabierto en X i , es una topología sobre X. Teniendo en cuentaque ji−1 (A) = A ∩ X i , A resulta ser la topología más fina sobre81

X tal que para cada i ∈ I, las inyecciones canónicas son continuas.Esta topología es conocida con el nombre de topologíasuma sobre X.Supongamos que X tiene la topología suma. Una condición necesariay suficiente para que una función f : X −→ Y sea continuaes que la función compuesta f ◦ j i sea continua para cadai ∈ I. En efecto, dado B subconjunto subconjunto abierto deY , f −1 (B) es abierto en X, si y solamente si, f −1 (B) ∩ X i =ji −1 (f −1 (B)) = (f ◦ j i ) −1 (B) es abierto en X i , para cada i ∈ I,es decir, f ◦ j i es continua para cada i ∈ I.En particular, si (Y i ) i∈I es otra familia de espacios topológicosdisjuntos dos a dos cuya unión es Y , y si para cada i ∈ I,la aplicación f i : X i −→ Y i es continua, entonces la aplicaciónf : X −→ Y tal que f(x) = f i (x) si x ∈ X i es también continua.En efecto, para cada i ∈ I, f◦j i = k i ◦f i , donde k i es la aplicacióncanónica de Y i en Y . Se obtiene así la continuidad de las f ◦ j i ypor ende la de f. Si los f i son homeomorfismos se concluye quef es un homeomorfismo de X sobre Y .El siguiente resultado muestra una característica muy importantede los espacios dotados de una topología final, que yahicimos notar en el ejemplo anterior.4.4.3 Teorema. Supongamos que Y tiene la topología final inducidapor la familia de funciones {f α : X α −→ Y } α∈Λ . Unafunción f : Y −→ Z es continua si y sólo si f ◦ f α es continuapara cada α ∈ Λ.Demostración. Es inmediato que si f es continua, entonces f ◦f αes continua para cada α ∈ Λ.82

De manera recíproca, Si O es un subconjunto abierto de Z,entonces f −1 (O) es abierto en Y , porque fα−1 (f −1 (O)) es abiertoen X α para cada α ∈ Λ.4.4.4 Observación. Si τ ′ es una topología sobre Y tal que f αes continua para cada α ∈ Λ y si denotamos por Y ′ al espacioformado por el conjunto Y junto con la topología τ ′ , entonces elteorema anterior garantiza que la aplicación idéntica de Y en Y ′es continua. Esto significa que τ ′ es menos fina que la topologíafinal sobre Y .4.5. Topología cocienteEjerciciosConsideremos un espacio topológico X y una relación de equivalencia∼ definida sobre X. Como es costumbre, denotaremospor [x] la clase de equivalencia de un elemento x ∈ X y porX/ ∼ el conjuunto de todas las clases de equivalencia. Esto es,X/ ∼= {[x] : x ∈ X}.La función canónica q : X −→ X/ ∼ definida por q(x) = [x]induce la topología final sobre el cociente X/ ∼. El espacioasí definido recibe el nombre de espacio cociente y la topologíafinal se llama también topología cociente.83

4.5.1 Ejemplos.1. Sea X = {(x, y) ∈ R 2 : −1 ≤ x ≤ 1 y 0 ≤ y ≤ 1} consideradocomo subespacio del plano. Definimos la relación deequivalencia ∼ sobre X de la siguiente manera:(x 0 , y 0 ) ∼ (x 1 , y 1 ) si y sólo sia) x 0 = x 1 y y 0 = y 1 , ob) x 0 = ±1, x 1 = −x 0 y y 1 = 1 − y 0 .El espacio cociente que se obtiene al dotar al conjunto X/ ∼de la topología cociente se conoce como cinta de Moëbius.2. Consideremos la relación de equivalencia ∼ sobre el planoR 2 definida por(x 0 , y 0 ) ∼ (x 1 , y 1 ) si y sólo si x 2 0 + y 2 0 = x 2 1 + y 2 1.Observando con un poco de atención notaremos que dosputos del plano están relacionados mediante ∼, si y sólo sise encuentran a la misma distancia del origen. Entonces, la84

clase de equivalencia de un punto (x 0 , y 0 ) está formada porlos puntos de la circunferencia centrada en el origen y quepasa por el punto (x 0 , y 0 ). Sean X = R 2 /∼, π : R 2 −→ Xla aplicación canónica y consideremos la topología cocientesobre X.Veamos √ que la función f : X −→ R definida por f[(x 0 , y 0 )] =x20 + y0 2 es una inmersión.i. En primer lugar, nótese que la manera como está definidala relación ∼ implica, no sólo que f está bien definida,sino que es uno a uno.ii. Ahora veamos que f es continua. Para esto consideremosun intervalo abierto (a, b) en R. Para verificar quef −1 (a, b) es un conjunto abierto en X, debemos comprobarque π −1 (f −1 (a, b)) es abierto en R 2 . Analizaremostres casos:a. si a < b ≤ 0, entonces π −1 (f −1 (a, b)) = ∅,b. si a < 0 < b, entonces π −1 (f −1 (a, b)) es el interiordel círculo de radio b centrado en el origen yc. si a ≤ 0 < b, entonces π −1 (f −1 (a, b)) es la coronaabierta limitada por las circunferencias centradasen el origen, de radios a y b.Este análisis permite concluir que f es una funcióncontinua.iii. Ahora consideremos un conjunto A abierto en X. Porla definición de la topología cociente π −1 (A) es un conjuntoabierto en el plano. Si a ∈ f(A), existe un puntoz en el plano tal que [z] ∈ A y f[z] = a. Comoz ∈ π −1 (A), existe ɛ > 0 tal que la bola de radio ɛ85

centrada en z está contenida en π −1 (A). Se tiene que(a−ɛ, a+ɛ) ⊂ f(A). Concluimos que f es una funciónabierta.4.5.2 Observación. Consideremos una función f : X −→ Y .La relación R f definida sobre X por x R f y si y sólo si f(x) =f(y) es una relación de equivalencia. En efecto,1. f(x) = f(x) para cada x ∈ X, luego R f es reflexiva.2. Si f(x) = f(y) entonces f(y) = f(x), de donde R f essimétrica.3. Si f(x) = f(y) y f(y) = f(z) entonces f(x) = f(z), portanto R f es transitiva.4.5.3 Definición. Sean X y Y espacios topológicos y f :X −→ Y una función sobreyectiva. Si Y tiene la topología finalinducida por f entonces f se llama una aplicación cociente.El término “aplicación cociente”queda ampliamente justificadocon el siguiente resultado.4.5.4 Proposición. Si f : X −→ Y es una aplicación cociente,entonces Y y X/R f son homeomorfos.Demostración. Consideremos la función ϕ : X/R f −→ Y definidapor ϕ([x]) = f(x).1. Si [x] = [y] entonces f(x) = f(y), luego ϕ es una funciónbien definida.86

2. Si ϕ([x]) = ϕ([y]), entonces f(x) = f(y), de donde [x] = [y],por lo tanto ϕ es uno a uno.3. Puesto que f es sobreyectiva, dado y ∈ Y existe x ∈ X talque f(x) = y. Entonces ϕ([x]) = y y ϕ es sobreyectiva.4. Si q es la aplicación canónica definida de X en X/R f entoncesϕ ◦ q = f y como f es continua y X/R f tiene latopología final inducida por q, se concluye que ϕ es unafunción continua.5. Nótese que A = ϕ −1 (ϕ(A)) para cada A ⊂ X/R f . Así, siA es abierto en X/R f , entonces ϕ(A) es abierto en Y . Seconcluye que ϕ es una función abierta.Se ha demostrado que ϕ es un homeomorfismo.Ejercicios87

Capítulo 5Propiedades de Separación ypropiedades de enumerabilidadEstudiaremos ahora una serie de propiedades de los espaciostopológicos que nos permiten establecer qué tan “cercanos” oqué tan “separados” están unos puntos del espacio de otros.5.1. Espacios T 0 y espacios T 1En el capítulo anterior vimos cómo los espacios topológicos concierta propiedad especial podían sumergirse en un producto deespacios de Sierpinski. La propiedad que se pedía era que dadosdos puntos distintos del espacio, existiera una vecindad de algunode los puntos que no contuviera al otro. Los espacios conesta propiedad serán nuestro primer objeto de estudio en estecapítulo.5.1.1 Definición. Un espacio topológico X es T 0 si dados x yy puntos distintos del espacio, existe una vecindad V de x talque y /∈ V , o existe una vecindad W de y tal que x /∈ W .88

5.1.2 Ejemplos.1. El espacio de Sierpinski, X = {0, 1} con la topología{∅, {0}, {0, 1}}, es un espacio T 0 . Los únicos puntos distintosentre sí son 0 y 1; y {0} es una vecindad de 0 queno contiene a 1.2. Sea d una seudométrica sobre un conjunto X. La funciónd es una métrica si y sólo si el espacio topológico generadoes T 0 . En efecto, si d es una métrica y x, y son puntosdistintos de X, entonces d(x, y) > 0, luego la bola abiertaB (x, d(x, y)) es una vecindad de x que no contiene a y. Demanera recíproca, si X es T 0 y x, y son puntos distintosde X, entonces existe una vecindad de uno de los puntos,digamos de x, que no contiene al otro. Esto significa queexiste ɛ > 0 tal que y /∈ B(x, ɛ), lo cual a su vez implicaque d(x, y) ≥ ɛ > 0.3. Cualquier conjunto X con la topología de complementosfinitos es un espacio T 0 .4. Cualquier conjunto X totalmente ordenado, con la topologíade las colas a la derecha es un espacio T 0 .5. Si X es un conjunto con más de un punto y topología grosera,entonces X no es un espacio T 0 .6. Si Y es un subespacio de un espacio T 0 , entonces Y tambiénes un espacio T 0 . En efecto, si x y y son puntos distintos deY , existe una vecindad V de uno de los puntos, digamos dex, en X, tal que y /∈ V . Se tiene que V ∩Y es una vecindadde x en Y y y /∈ V ∩ Y .89

7. Sea (X i ) i∈I una familia de espacios topológicos no vacíos.El producto X = ∏ i∈I X i es un espacio T 0 si y sólo si X ies un espacio T 0 para cada i ∈ I. En efecto, si X es T 0 , sij ∈ I y si a y b son puntos distintos de X j , escogemos x yy en X de tal manera que x i = y i para cada i ≠ j, x j = a yy j = b. Entonces x y y son puntos distintos de X y por serX un espacio T 0 , existe una vecindad básica V de uno delos puntos, digamos de x, en X, tal que y /∈ V . EntoncesV tiene la forma V = ⋂ α=1,...,n π−1 i α(O iα ), donde O iα es unavecindad de x iα para cada α = 1, ..., n. Puesto que x y ydifieren únicamente en la j-ésima coordenada, j = i α paraalgún α ∈ {1, ..., n}. Entonces O iα es una vecindad de x iα =a en X j , que no contiene a b. De manera recíproca, si X ies un espacio T 0 para dada i ∈ I y si x y y son puntosdistintos del producto ∏ i∈I X i, existe j ∈ I tal que x j ≠ y j .Puesto que X j es un espacio T 0 , existe una vecindad O j deuno de los puntos, digamos de x j , en X j , tal que y j /∈ O j .Entonces πj−1 (O j ) es una vecindad de x que no contiene ay. De esta manera queda demostrado que X es un espacioT 0 .Supongamos que (X, d) es un espacio métrico. Puesto que X conla topología generada por la métrica es un espacio T 0 , dadosdos puntos distintos x y y de X, existe una vecindad de unode los puntos, que no contiene al otro. En un ejemplo anteriormostramos que y /∈ B(x, d(x, y)). Pero podemos afirmar aúnmás: existe también una vecindad de y que no contiene a x.En efecto, x /∈ B(y, d(x, y)). Estudiaremos ahora los espaciostopológicos que tienen esta propiedad.90

5.1.3 Definición. Un espacio topológico X es un espacio T 1si para cada par x, y de puntos distintos de X existen unavecindad V de x y una vecindad W de y, tales que y /∈ V yx /∈ W .5.1.4 Ejemplos.1. Todo espacio métrico es un espacio T 1 .2. Cualquier conjunto con la topología de los complementosfinitos (resp. contables) es un espacio T 1 .3. Todo espacio discreto es T 1 .4. El plano de Moore es un espacio T 1 .5. El plano ranurado es un espacio T 1 .Es inmediato que todo espacio T 1 es también un espacio T 0 .Existen, no obstante, espacios T 0 que no son T 1 , como por ejemploel espacio de Sierpinski.La mayor importancia de los espacios T 1 radica en que elloscaracterizan a los espacios en los cuales los conjuntos unitariosson conjuntos cerrados, como lo muestra parte del siguienteresultado.5.1.5 Proposición. Sea X un espacio topológico. Las siguientesafirmaciones son equivalentes:1. X es T 1 .91

2. Para cada x ∈ X, el conjunto {x} es cerrado.3. Cada subconjunto de X es la intersección de los conjuntosabiertos que lo contienen.Demostración.1. =⇒ 2. Si X es T 1 , si x ∈ X y si y ≠ x, existe una vecindad Vde y que no contiene a x. Esto demuestra que X {x} esabierto y, por lo tanto, que {x} es cerrado.2. =⇒ 3. Si A ⊂ X, se tiene que A = ⋂ x∈XA X {x}.3. =⇒ 1. Sean x y y puntos distintos de X. Como {x} es la intersecciónde los conjuntos abiertos que contienen a x, existe unconjunto abierto que contiene a x y no contiene a y. De lamisma forma, existe un conjunto abierto que contiene a yy no contiene a x.Ejercicios5.2. Espacios de Hausdorff - T 2Hemos visto que si (X, d) es un espacio métrico y si x y y sonpuntos distintos de X, entonces B(x, d(x, y)) es una vecindadde x que no contiene a y y B(y, d(x, y)) es una vecindad de yque no contiene a x. En ambos casos hemos considerado d(x, y)92

como el radio de las vecindades escogidas, en realidad esta distanciaes el mayor radio posible para construir vecindades decada uno de los puntos que no contengan al otro. Sin embargo,cualquier número real positivo menor que d(x, y) serviría paranuestros propósitos. Si en particular consideramos un númerod(x, y)positivo r ≤ entonces B(x, r) es una vecindad de x que2no contiene a y, B(y, r) es una vecindad de y que no contiene ax y además estas vecindades tienen la propiedad adicional de nocontener puntos en común. En otras palabras, dos puntos distintosde un espacio métrico se pueden “separar” con vecindadesabiertas disyuntas. En esta sección estudiaremos los espacios quetienen esta misma propiedad.5.2.1 Definición. Un espacio topológico X es un espacio deHausdorff, o T 2 , si para cada x y cada y en X, con x ≠ y,existen V y W vecindades de x y y respectivamente, de talmanera que V ∩ W = ∅.Los espacios de Hausdorff se acostumbran también a llamar espaciosseparados.5.2.2 Ejemplos.1. Todos los espacios métricos son espacios de Hausdorff.2. Cualquier subespacio de un espacio de Hausdorff es un espaciode Hausdorff.3. Dada una familia (X i ) i∈I de espacios topológicos no vacíos,el producto ∏ i∈I X i es un espacio de Hausdorff si y sólo siX i es un espacio de Hausdorff para cada i ∈ I.93

Es inmediato que todo espacio de Hausdorff es también un espacioT 1 . Sin embargo, no todo espacio T 1 es un espacio deHausdorff. Por ejemplo, si τ es la topología de los complementosfinitos sobre un conjunto infinito X, entonces X es un espacioT 1 que no es un espacio de Hausdorff, puesto que en este espaciono existen dos conjuntos abiertos no vacíos que sean disyuntos.Las funciones continuas no preservan la propiedad de ser un espaciode Hausdorff. Es decir, existen funciones continuas definidasde un espacio de Hausdorff en un espacio que no lo es. Si X tienemás de un punto, la aplicación idéntica definida de X, con latopología discreta, en X, con la topología grosera, es un ejemploque ilustra esta situación.Aún así, las funciones continuas satisfacen propiedades importantesen presencia de espacios de Hausdorff. Una de ellas semuestra en la siguiente proposición.5.2.3 Proposición. Si f : X −→ Y es una función continuay Y es un espacio de Hausdorff, entonces el conjunto K ={(x 1 , x 2 ) : f(x 1 ) = f(x 2 )} es cerrado en X × X.Demostración. Si (x 1 , x 2 ) /∈ K, entonces f(x 1 ) ≠ f(x 2 ). ComoY es un espacio de Hausdorff, existen vecindades abiertas U yV de f(x 1 ) y f(x 2 ) respectivamente, de tal manera que U ∩V = ∅. La continuidad de f garantiza que f −1 (U) y f −1 (V ) sonvecindades abiertas de x 1 y x 2 respectivamente; y se tiene quef −1 (U) × f −1 (V ) es una vecindad abierta de (x 1 , x 2 ) en X × X,contenida en el complemento de K.La recíproca de la proposición anterior no es siempre cierta. Sif : X −→ Y es una función constante entonces el conjunto94

K = {(x 1 , x 2 ) : f(x 1 ) = f(x 2 )} = X × X es cerrado, independientementede si Y es o no un espacio de Hausdorff. Sinembargo, se tiene el siguiente resultado.5.2.4 Proposición. Si f es una función abierta de X sobre Yy si el conjunto K = {(x 1 , x 2 ) : f(x 1 ) = f(x 2 )} es cerrado enX × X, entonces Y es un espacio de Hausdorff.Demostración. Sean y 1 y y 2 puntos distintos de Y . Puesto quef es sobreyectiva, existen x 1 y x 2 en X tales que f(x 1 ) = y 1 yf(x 2 ) = y 2 . Claramente (x 1 , x 2 ) /∈ K, luego existen vecindadesabiertas U y V de x 1 y x 2 respectivamente, de tal manera queU × V ⊂ (X × X) K. Como f es abierta, f(U) y f(V ) sonvecindades abiertas de y 1 y y 2 respectivamente, y se tiene f(U)∩f(V ) = ∅.Las dos proposiciones anteriores dan una demostración inmediatadel siguiente resultado, el cual es una caracterización de losespacios de Hausdorff.5.2.5 Proposición. El espacio topológico X es un espacio deHausdorff si y sólo si la diagonal ∆ = {(x, x) : x ∈ X} escerrada en X × X.Ejercicios95

5.3. Espacios regulares y Espacios T 3En esta sección estudiaremos espacios topológicos en los quela topología del espacio permite separar conjuntos cerrados depuntos fuera de ellos.5.3.1 Definición. Un espacio topológico X es un espacio regularsi para cada K subconjunto cerrado de X y cada x ∈ X K,existen conjuntos U y V abiertos en X, tales que K ⊂ U, x ∈ Vy U ∩ V = ∅.5.3.2 Ejemplo.Consideremos sobre R la topología τ para la cual las vecindadesbásicas de x son los intervalos de la forma [x, y) con y > x.Si K es cerrado en (R, τ) y x /∈ K, existe y > x tal que U =[x, y) ⊂ R K. Para cada z ∈ K, con z < x, sea V z = [z, x)y para cada z ∈ K, con z ≥ y, sea V z = [z, z + 1). El conjuntoV = ⋃ z∈K V z es abierto, contiene a K y U ∩ V = ∅. Entonces(R, τ) es regular.Nótese que el hecho de que sea posible separar con conjuntosabiertos, puntos de conjuntos cerrados, no implica que se puedanseparar dos puntos distintos del espacio, utilizando conjuntosabiertos disyuntos. Es decir, un espacio regular no siempre es unespacio de Hausdorff, como lo muestran los siguientes ejemplos.5.3.3 Ejemplos.96

1. Sea X un conjunto dotado con la topología grosera. EntoncesX es un espacio regular, puesto que no existen unconjunto cerrado K en X y un punto de X fuera de K queno se puedan separar con conjuntos abiertos disyuntos. Porotro lado, a menos que X no tenga más de un punto, X noes un espacio de Hausdorff.2. Consideremos R con la topología τ = {∅, Q, R Q, R}.Entonces (R, τ) es un espacio regular que no es un espaciode Hausdorff.Para que un espacio regular X sea un espacio de Hausdorff esnecesario y suficiente que los subconjuntos unitarios del espaciosean conjuntos cerrados. En otras palabras, un espacio regulares un espacio de Hausdorff si y sólo si es T 1 . Los espacios que sonsimultáneamente regulares y T 1 reciben un tratamiento especial.5.3.4 Definición. Un espacio topológico es T 3 si es regular yT 1 .Ahora tenemos que todo espacio T 3 es también un espacio T 2 .Sin embargo, existen espacios de Hausdorff que no son espaciosregulares y por lo tanto, que no son T 3 .5.3.5 Ejemplo. Sea τ la topología usual sobre el conjunto de losnúmeros reales y τ∗ = τ ∪ {Q ∪ U : U ∈ τ}. Se tiene que τ∗ esuna topología sobre R y que (R, τ∗) es un espacio de Hausdorffque no es regular.La siguiente proposición nos provee de dos caracterizaciones delos espacios regulares.97

5.3.6 Proposición. Sea X un espacio topológico. Las siguientesafirmaciones son equivalentes.1. X es un espacio regular.2. Si U es un subconjunto abierto de X y x ∈ U, entoncesexiste un subconjunto abierto V de X tal que x ∈ V yV ⊂ U.3. Cada punto de X posee un sistema fundamental de vecindadescerradas.Demostración.1. =⇒ 2. Si X es regular, si U ⊂ X es abierto y si x ∈ U, entoncesexisten subconjuntos abiertos V y W de X, de tal maneraque V ∩ W = ∅, x ∈ V y X U ⊂ W . Sea y ∈ V . Se tieneque y /∈ W ; de lo contrario W sería una vecindad de y sinpuntos en común con V . Entonces y /∈ X U, luego y ∈ U.Se concluye que V ⊂ U.2. =⇒ 3. Si x ∈ X y O es una vecindad abierta de x, existe unsubconjunto abierto V de X tal que x ∈ V y V ⊂ O. Elconjunto V es una vecindad cerrada de x contenida en O.3. =⇒ 1. Si K es cerrado en X y x /∈ K, entonces existe una vecindadcerrada M de x tal que M ⊂ X K. Sean U una vecindadabierta de x contenida en M y V = X M. Se tiene quex ∈ U, K ⊂ V y U ∩ V = ∅. Esto prueba que X es unespacio regular.98

Ejercicios5.4. Espacios completamente regulares y Espaciosde TychonoffHasta ahora hemos estudiado la posibilidad de que dos puntosdistintos de un espacio topológico, o un conjunto cerrado y unpunto fuera del conjunto, se puedan separar utilizando conjuntosabiertos disyuntos. En esta sección veremos que hay espaciostopológicos en los que un conjunto cerrado y un punto fueradel conjunto se pueden separar utilizando una función continuadefinida del espacio en un intervalo cerrado en R.5.4.1 Ejemplo. Sea (X, m) un espacio métrico, K un subconjuntocerrado de X y x ∈ X K. Hemos definido la distanciam(y, K) de un punto y ∈ X al conjunto K como el ínfimode las distancias de y a los puntos de K, en otras palabrasm(y, K) = inf{m(y, k) : k ∈ K}.Consideremos la métrica d definida en X pord(y, z) = mín{m(y, z), m(x, K)}.La función d es una métrica sobre X equivalente a m (nóteseque m(x, K) > 0); y en la Proposición 1.2.3 se demostró lacontinuidad de la función y ↦−→ d(y, K) : X −→ R, luego lacorrestricción f de esta función al intervalo [0, m(x, K)] tambiénes continua. Además, f(k) = 0 para todo k ∈ K y f(x) =m(x, K) > 0.En este sentido, la función continua f nos permitió separar elpunto x del conjunto cerrado K.99

La siguiente definición caracteriza los espacios topológicos quetienen esta propiedad de separación.5.4.2 Definición. Un espacio topológico X es completamenteregular si para cada conjunto K cerrado en X y cada x ∈ X K, existe una función continua f definida de X en el intervalo[0, 1] de R, tal que f(K) = 0 y f(x) = 1.Es de anotar que el intervalo [0, 1] se puede reemplazar porcualquier intervalo cerrado [a, b] de R. En este caso se pediránlas condiciones f(K) = a y f(x) = b.De manera inmediata aparece el siguiente resultado.5.4.3 Proposición. Si X es un espacio completamente regular,entonces X es regular.Demostración. Sean K cerrado en X y x ∈ X K. Existeuna función continua f : X −→ ([ [0, 1] tal que f(K) = 0 yf(x) = 1. Los conjuntos f −1 0, 1 )) (( ]) 1y f −122 , 1 son([abiertos en X, son disyuntos y además K ⊂ f −1 0, 1 ))y2x ∈ f −1 (( 12 , 1 ]).La recíproca de esta proposición no es cierta. Existen espaciosregulares que no son completamente regulares. Además, al igualque sucede con los espacios regulares, los espacios completamenteregulares no necesariamente son espacios de Hausdorff, a100

menos que cada conjunto unitario en el espacio sea un conjuntocerrado. Esto es, a menos que además, el espacio sea T 1 .5.4.4 Definición. Un espacio topológico X es un espacio deTychonoff o T 32 si es completamente regular y T 1.5.4.5 Ejemplos.1. Todo espacio métrico es un espacio de Tychonoff.2. Sea τ la topología sobre R en la cual las vecindades básicasde cada número real x ≠ 0 son los intervalos abiertos usualescentrados en x mientras que las vecindades básicas de 0son los conjuntos de la forma (−ɛ, ɛ) ∪ (−∞, −n) ∪ (n, ∞),donde ɛ > 0 y n es un entero positivo. El espacio (R, τ) esun espacio de Tychonoff.3. El plano de Moore es un espacio de Tychonoff.Algunas de las más notables propiedades de los espacios completamenteregulares y de los espacios de Tychonoff se resumenen la siguiente proposición.5.4.6 Proposición.1. Cada subespacio de un espacio completamente regular (resp.de un espacio de Tychonoff) es completamente regular. (resp.de Tychonoff).101

2. Un producto no vacío de espacios topológicos es completamenteregular (resp. de Tychonoff) si y sólo si cada factores un espacio completamente regular (resp. un espacio deTychonoff).Ejercicios5.5. Espacios normalesEn las secciones anteriores estudiamos espacios topológicos enlos que se pueden separar puntos distintos o puntos de conjuntoscerrados, utilizando conjuntos abiertos o funciones continuas.En los espacios topológicos que estudiaremos ahora, es posibleseparar dos conjuntos cerrados disyuntos.5.5.1 Definición. Un espacio topológico X es un espacio normalsi dados F y K subconjuntos de X cerrados y disyuntos,existen subconjuntos abiertos U y V de X tales que F ⊂ U,K ⊂ V y U ∩ V = ∅. Un espacio es T 4 si es normal y T 1 .Veamos algunos ejemplos.5.5.2 Ejemplos.1. Todo espacio seudométrico es normal. En efecto, si (X, d)es un espacio seudométrico y A y B son subconjuntos cerradosy disyuntos de X, entonces para cada a ∈ A existe ɛ a >0 tal que B(a, ɛ a ) ∩ B = ∅ y para cada b ∈ B existe δ b > 0102

tal que B(b, δ b ) ∩ A = ∅. El conjunto U = ⋃ a∈A B(a, ɛ a3 ) esabierto y contiene a A y el conjunto V = ⋃ b∈B B(b, δ b3 ) esabierto y contiene a B. Ahora bien, si z ∈ U ∩ V entoncesexisten a ∈ A y b ∈ B de tal manera que d(a, z) < ɛ a3 yd(z, b) < δ b3 . Supongamos que ɛ a ≥ δ b (en caso contrario, elrazonamiento es análogo). Se tiene que d(a, b) ≤ ɛ a3 + δ b3 x. El espacio (R, τ) es normal.5. Cualquier producto de intervalos cerrados y acotados en Rse llama un cubo. En un capítulo posterior veremos quetodo cubo es un espacio normal.Si un espacio normal no es T 1 , es posible que no se puedan separarpuntos de conjuntos cerrados. En otras palabras, un espacionormal puede no ser un espacio regular.103

5.5.3 Ejemplo.Vimos que R con la topología de colas a derecha es un espacionormal. Por otro lado, si x 0 ∈ R, entonces todo conjunto abiertoque contenga al conjunto cerrado (−∞, x 0 − 1] contiene tambiéna x 0 . Esto muestra que el espacio no es regular.El siguiente lema debido a F. B. Jones permite determinar queciertos espacios carecen de la propiedad de normalidad.5.5.4 Lema. (Jones) Si X contiene un subconjunto denso D yun subespacio cerrado y relativamente discreto S tal que |S| >2 |D| , entonces X no es normal.5.5.5 Observación.1. Un subespacio S de X es relativamente discreto si la topologíaque hereda de X es la topología discreta.2. Si A es un conjunto, denotamos con |A| el cardinal de A.5.5.6 Ejemplo.El Plano de Moore, Γ, no es un espacio normal. Sean D ={(x, y) ∈ Γ : x, y ∈ Q} y S el eje x. Se tiene que D es densoen Γ, S es cerrado y relativamente discreto, |S| = c y D es unconjunto contable. Entonces |S| > 2 |D| .Los espacios normales no poseen, en general, las propiedades quemencionamos para espacios con otras propiedades de separación,como lo muestran los siguientes ejemplos.104

5.5.7 Ejemplos.1. El Plano de Moore es un espacio que no es normal. Sin embargo,el plano de Moore, por ser un espacio de Tychonoff,es un subespacio de un cubo (ver ejercicio 8. de la sección5.4), que sí es un espacio normal. Entonces, NO todo subespaciode un espacio normal es normal.2. Sea X el conjunto R de números reales con la topología τpara la cual las vecindades básicas de x son los intervalos dela forma [x, y) con y > x. Hemos dicho que X es un espacionormal. Sin embargo, X × X no es normal. Es decir, elproducto de espacios normales NO siempre es un espacionormal.Ejercicios5.6. El Lema de Urysohn y el Teorema deExtensión de TietzeEntre los espacios regulares y los espacios completamente regulareshay una diferencia. En los espacios regulares un conjuntocerrado y un punto fuera del conjunto, se pueden separar utilizandoconjuntos abiertos disyuntos, mientras que en los espacioscompletamente regulares, esta separación se puede hacerpor medio de una función continua definida del espacio en elintervalo cerrado [0, 1]. En esta sección veremos la relación entrela normalidad del espacio X y la existencia de funcionesf : X −→ [0, 1] continuas que separen conjuntos no vacíos,cerrados y disyuntos.105

En los espacios métricos tenemos el siguiente resultado:5.6.1 Proposición. Sea (X, d) un espacio métrico y sean Ay B dos subconjuntos de X no vacíos, cerrados y disyuntos.Existe una función continua f : X −→ [0, 1] tal que f(A) = 0,f(B) = 1.Demostración. La función f : X −→ [0, 1] definida por f(x) =d(x, A)es continua y además para cada x ∈ A se tiened(x, A) + d(x, B)d(x, A)que f(x) =d(x, A) + d(x, B) = 0y para cada x ∈ B,0 + d(x, B)d(x, A) d(x, A)se tiene que f(x) ==d(x, A) + d(x, B) d(x, A) + 0 = 1.Nuestros estudios previos, junto con el resultado anterior muestranque en los espacios métricos los conjuntos no vacíos, cerradosy disyuntos se pueden separar utilizando tanto conjuntosabiertos disyuntos, como funciones continuas. El siguiente lemacaracteriza los espacios que gozan de la misma propiedad.5.6.2 Lema. Lema de Urysohn. Un espacio topológico (X, τ)es normal si y sólo si para cada A y B de subconjuntos de Xno vacíos, cerrados y disyuntos, existe una función continua f :X −→ [0, 1] tal que f(A) = 0 y f(B) = 1.Demostración. Supongamos inicialmente que X es normal y queA y B son subconjuntos de X no vacíos, cerrados y disyuntos.Para cada número racional en [0, 1] de la forma p 2 n, donde p yn son números naturales y 0 < p < 2 n , construimos el conjuntoU p2 n de la siguiente manera: 106

1. El conjunto U 1 es un conjunto abierto en X tal que A ⊂ U 1 2 2y U 1 ∩ B = ∅. Tal conjunto existe por la normalidad de X.22. Puesto que A y X U 12disyuntos y además U 12son conjuntos no vacíos, cerrados yy B son también no vacíos, cerradostales quey disyuntos, existen conjuntos abiertos U 14 y U 3 4A ⊂ U 14 , U 1 4 ⊂ U 1 2 , U 1 2 ⊂ U 3 4 , y U 3 4 ∩ B = ∅.3. Ahora supongamos que se han definido conjuntos U k2 n , k =1, ..., 2 n − 1 de tal manera queA ⊂ U 1 , ..., U ⊂ U , ..., U k−12n 2 n k2 n 2n −1 ∩ B = ∅.2 nLa normalidad de X garantiza que se puede continuar con elproceso y encontrar conjuntos U , para k = 1, ..., k2n+1 −12con las mismas propiedades. De manera n+1 inductiva, se tieneque para cada número racional r de la forma r = k 2n, paraalgún n > 0 y k = 1, ..., 2 n − 1 (un número racional deesta forma se llama racional diádico), se puede construirun conjunto abierto U r de tal manera que:a) A ⊂ U r y U r ∩ B = ∅ para cada racional diádico r,b) U r ⊂ U s siempre que r < s.4. Definimos la función f : X −→ [0, 1] de la siguiente manera:⎧⎪⎨ 1 si x /∈ U r para cada racionalf(x) =diádico r,⎪⎩inf{r : x ∈ U r } en caso contrario.5. Veamos que f es una función continua. Sea x ∈ X.107

a) Si f(x) = 1, entonces x /∈ U r para cada racional diádicor. Sea ɛ > 0 y r un racional diádico tal que 1−ɛ < r < 1(tal r existe porque el conjunto de números racionalesdiádicos es denso en [0, 1]). Si y ∈ X U r , entoncesse tiene 1 − ɛ < r ≤ f(y) ≤ 1. Esto demuestra lacontinuidad de f en x.b) Si f(x) = 0, si ɛ > 0 y si r es un racional diádico talque 0 < r < ɛ, entonces x ∈ U r y para cada y ∈ U r setiene que 0 ≤ f(y) ≤ r < ɛ. Entonces f es continua enx.c) Si 0 < f(x) < 1 y si ɛ > 0, existen racionales diádicosr < s, tales que f(x) − ɛ < r < f(x) < s < f(x) + ɛ yx ∈ U s U r . Si y ∈ U s U r , entonces f(x) − ɛ < r

5.6.3 Definición. Sean A ⊂ X y f : A −→ Y una función. Lafunción F : X −→ Y es una extensión de f si y sólo si paracada a ∈ A, f(a) = F (a).No siempre es posible encontrar extensiones de funciones continuas.Por ejemplo la función f : (0, 1] −→ R definida porf(x) = sin( 1 x) es una función continua que no se puede extenderal intervalo [0, 1].El siguiente teorema caracteriza los espacios en los que siemprees posible extender a todo el espacio, funciones continuasdefinidas en un subespacio cerrado.5.6.4 Teorema. Extensión de Tietze. Un espacio topológico Xes un espacio normal si y sólo si para cada subespacio cerradoL de X y cada función continua f : L −→ [a, b], existe unaextensión continua F : X −→ [a, b] de f.Aquí, nuevamente en el lugar del intervalo cerrado [a, b] se puedeutilizar cualquier intervalo cerrado. En la prueba del Teoremautilizaremos el intervalo [−1, 1].Demostración. Supongamos que X es normal, que L es un subespaciocerrado de X y que f : L −→ [−1, 1] es una funcióncontinua.Consideremos los conjuntos cerrados y disyuntos([A 0 = f −1 −1, − 1 ])3109

yB 0 = f −1 ([ 13 , 1 ]).Por el lema de Urysohn existe una función continua f 1 : X −→[−1/3, 1/3] tal que f 1 (A 0 ) = − 1 3 y f 1(B 0 ) = 1 , luego para cada3x ∈ L, |f(x) − f 1 (x)| ≤ 2 3 .[Definimos la función continua g 1 : L −→ − 2 3 , 2 ]por g 1 :=3f − f 1 .Ahora ([ consideremos los conjuntos cerrados y disyuntos A 1 =g1−1 − 2 ])([ 23 , −2 y B 1 = g1−199 3]), 2 . Nuevamente el Lemade [ Urysohn garantiza que existe una función continua f 2 : X −→− 2 9 , 2 ], tal que f 2 (A 1 ) = − 2 99 y f 2(B 1 ) = 2 9 y además |g 1(x) −f 2 (x)| ≤) 2.( 23) 2, para x ∈ L; esto es, |f(x) − (f 1 (x) + f 2 (x))| ≤( 23Continuando con este proceso, se obtiene una sucesión f 1 , f 2 , ...de funciones continuas en L de tal manera que∣∣ n∑ ∣∣∣∣ ( ) n 2 ∣ f − f i ≤ .3i=1Definimos F (x) = ∑ ∞i=1 f i(x).Es inmediato que F (x) = f(x) para cada x ∈ L. Veamos queF es una función continua. Sean x ∈ X y ɛ > 0. EscogemosN > 0 tal que ∑ ∞n=N+1( 23) n< ɛ 2 . Como f i es continua para110

cada i = 1, ..., N, escogemos una vecindad abierta U i de x, paracada i = 1, ..., N, tal que si y ∈ U i , entonces |f i (x)−f i (y)|

esultados propios de los espacios métricos. Comenzaremos conel Primer Axioma de Enumerabilidad.5.7.1 Definición. Un espacio topológico X es 1-enumerable sicada punto x ∈ X tiene un sistema fundamental de vecindadesenumerable.5.7.2 Ejemplos.1. Todo espacio métrico (X, d) es 1-enumerable. En efecto,para cada x ∈ X la colección de bolas abiertas de la formaB(x, r), donde r es un número racional positivo, es unsistema fundamental de x enumerable.2. El Plano de Moore es un espacio 1-enumerable.3. El conjunto de los números reales con la topología generadapor los intervalos de la forma (a, b] es un espacio 1-enumerable.4. Cualquier subespacio de un espacio 1-enumerable es 1-enumerable.5. El producto de cualquier colección enumerable de espacios1-enumerables es 1-enumerable.5.7.3 Observación. Nótese que si X es 1-enumerable, si x ∈X, si (B n ) n∈N es un sistema fundamental de vecindades de xenumerable, y si consideramos V 1 = B 1 , V 2 = V 1 ∩ B 1 , V 3 =V 2 ∩ B 2 y de manera inductiva tomamos V n+1 = V n ∩ B n paracada n ∈ N, entonces (V n ) n∈N es un sistema fundamental devecindades de x enumerable que satisface que V n+1 ⊂ V n paracada n ∈ N.112

En los espacios 1-enumerables, las sucesiones permiten caracterizarla adherencia de un conjunto, así como las funciones continuasque tienen como dominio uno de estos espacios.5.7.4 Proposición. Sea X un espacio 1-enumerable.1. Si A ⊂ X entonces x ∈ A si y sólo si existe una sucesiónde elementos de A que converge a x.2. Una función f : X −→ Y es continua si y sólo si paracada sucesión (x n ) n∈N en X que converge a un punto x lasucesión (f(x n )) n∈N converge a f(x) en Y .Demostración.1. Supongamos que x ∈ A y sea (V n ) n∈N un sistema fundamentalde vecindades de x enumerable que satisface queV n+1 ⊂ V n para cada n ∈ N. Se tiene que para cada n ∈ Nexiste a n ∈ A ∩ V n . La sucesión (a n ) n∈N tiene todos sustérminos en A y converge a x.Recíprocamente, si (a n ) n∈N es una sucesión en A que convergea x, entonces dada V una vecindad cualquiera de x,existe N > 0 tal que si n > N, a n ∈ V . Entonces A∩V ≠ ∅y x ∈ A.2. Supongamos que f : X −→ Y es una función continua,que (x n ) n∈N es una sucesión en X que converge a un puntox ∈ X y sea V una vecindad de f(x). La continuidad def garantiza que f −1 (V ) es una vecindad de x, luego existeN > 0 tal que para cada n > N, x n ∈ f −1 (V ). Esto es, paracada n > N, f(x n ) ∈ V . Entonces, la sucesión (f(x n )) n∈Nconverge a f(x).113

De manera recíproca, supongamos que f : X −→ Y esuna función tal que para cada sucesión (x n ) n∈N en X queconverge a un punto x, la sucesión (f(x n )) n∈N converge af(x) en Y y sea x ∈ X. Sea (V n ) n∈N un sistema fundamentalde vecindades de x enumerable que satisface que V n+1 ⊂ V npara cada n ∈ N. Si f no es continua en x, existe unavecindad W de f(x) tal que para cada n ∈ N, f(a n ) /∈ Wpara algún a n ∈ V n . La sucesión (a n ) n∈N converge a x, pero(a n ) n∈N no converge a f(x). Esto contradice la hipótesis,luego f es continua en x para todo x ∈ X.Estudiaremos ahora el Segundo Axioma de Enumerabilidad.5.7.5 Definición. Un espacio topológico X es 2-enumerable siexiste una base enumerable para la topología de X.Es inmediato que todo espacio 2-enumerable es 1-enumerable.Pero no todo espacio 1-contable es 2-contable, aún en el caso delos espacios métricos.Veamos algunos ejemplos.5.7.6 Ejemplos.1. El Plano de Moore no es un espacio 2-enumerable.2. El conjunto de los números reales con la topología usual esun espacio 2-enumerable.114

3. Cualquier subespacio de un espacio 2-enumerable es 2-enumerable.4. El producto de cualquier colección enumerable de espacios2-enumerables es 2-enumerable.Terminamos esta sección estudiando los espacios separables.Antes de abordar la definición, recordemos que un subconjuntoA de un espacio topológico X es denso en X si A = X.5.7.7 Definición. Un espacio topológico X es separable si contieneun subconjunto denso enumerable.Los números reales con la topología usual son un ejemplo deun espacio separable, pero no todo espacio métrico tiene estapropiedad.De la definición se obtiene que todo espacio X que sea 2-enumerablees separable. En efecto, si (B n ) n∈N es una base para latopología de X y si b n ∈ B n para cada n ∈ N, entonces elconjunto {b n : n ∈ N} es denso en X; porque si x ∈ X y V esuna vecindad de x, existe n ∈ N tal que x ∈ B n y B n ⊂ V .Entonces b n ∈ V .Ejercicios115

Ejercicios 0.1-21. Demuestre con todo detalle cada una de las siguientes afirmaciones:a) A ∪ A = A y A ∩ A = A para cada conjunto A.b) A ∪ ∅ = A y A ∩ ∅ = ∅ para cada conjunto A.c) A ∪ B = B ∪ A y A ∩ B = B ∩ A para todo conjuntoA y todo conjunto B.d) A ∪ B = A si y sólo si B ⊂ A.e) A ∩ B = A si y sólo si A ⊂ B.f )A ∪ (B ∪ C) = (A ∪ B) ∪ C para A, B y C conjuntosarbitrarios.g) A ∩ (B ∩ C) = (A ∩ B) ∩ C para A, B y C conjuntosarbitrarios.h) A∪(B∩C) = (A∪B)∩(A∪C) para A, B y C conjuntosarbitrarios.i) A∩(B∪C) = (A∩B)∪(A∩C) para A, B y C conjuntosarbitrarios.j ) Si A y B son subconjuntos de X entonces (A ∪ B) c =A c ∩ B c .k) Si A y B son subconjuntos de X entonces (A ∩ B) c =A c ∪ B c .2. Escriba los siguientes conjuntos en términos de uniones eintersecciones de los conjuntos A, B y C.a) {x : x ∈ A y (x ∈ B o x ∈ C)}.b) {x : x ∈ A o (x ∈ B y x ∈ C)}.116

c) {(x : x ∈ A y x ∈ B) o x ∈ C}.d) {(x : x ∈ A o x ∈ B) y x ∈ C}.3. En los siguientes literales dé una demostración de las afirmacionesque considere verdaderas o ejemplos que muestrenque determinadas afirmaciones son falsas. En caso de queuna igualdad no se satisfaga verifique si por lo menos unade las contenencias es cierta.a) A (A B) = B.b) A (B A) = A B.c) A ∩ (B C) = (A ∩ B) (A ∩ C).d) A ∪ (B C) = (A ∪ B) (A ∪ C).Regresar117

Ejercicios 0.31. Demuestre las leyes de De Morgan:a)(⋃A∈A A) c ⋂ =A∈A Ac .b)(⋂A∈A A) c ⋃ =A∈A Ac .2. Justifique cuidadosamente cada una de las siguientes afirmaciones:a) Si A es una familia vacía de conjuntos entonces ⋃ A∈A A =∅.b) Si A es una familia vacía de subconjuntos de X entonces⋂ A∈A A = X.3. Para cada n ∈ N sea A n = {x ∈ R : −1n < x < 1 }. Calcule⋂nn∈N A n.4. Para cada n ∈ N sea A n = [ 1 n , 2 − 1 n ]. Calcule ⋃ n∈N A n.5. En los siguientes literales de una demostración de las afirmacionesque considere verdaderas o ejemplos que muestrenque determinadas afirmaciones son falsas.a) Si x ∈ ⋃ A∈Aentonces x ∈ A para al menos un elementoA ∈ A.b) Si x ∈ A para al menos un elemento A ∈ A entoncesx ∈ ⋃ A∈A .c) Si x ∈ ⋃ A∈Aentonces x ∈ A para cada elemento A ∈A.118

d) Si⋃x ∈ A para cada elemento A ∈ A entonces x ∈A∈A .e) Si x ∈ ⋂ A∈Aentonces x ∈ A para al menos un elementoA ∈ A.f )Si x ∈ A para al menos un elemento A ∈ A entoncesx ∈ ⋂ A∈A .g) Si x ∈ ⋂ A∈Aentonces x ∈ A para cada elemento A ∈A.h) Si x ∈ A para cada elemento A ∈ A entonces x ∈⋂A∈A .Regresar119

Ejercicios 0.41. Muestre con un ejemplo que si A y B son conjuntos arbitrariosentonces no es siempre cierto que A × B = B × A.¿Bajo qué condiciones es cierta esta igualdad?2. Determine cuáles de los siguientes subconjuntos de R sepueden expresar como el producto cartesiano de dos subconjuntosde R.a) {(x, y) : y es un entero }.b) {(x, y) : x es un natural par y y ∈ Q}.c) {(x, y) : y < x}.d) {(x, y) : x es un múltiplo entero de π}.e) {(x, y) : x 2 − y 2 < 1}.3. Determine cuáles de las siguientes afirmaciones son verdaderasy cuáles son falsas. En cada caso dé una demostracióno un contraejemplo indicando además si por lo menos escierta una contenencia.a) A × (A B) = (A × A) (A × B).b) A × (B A) = (A × B) (A × A).c) A × (B C) = (A × B) (A × C).d) A × (B ∪ C) = (A × B) ∪ (A × C).e) A × (B ∩ C) = (A × B) ∩ (A × C).f )(A ∪ B) × (C ∪ D) = (A × C) ∪ (B × D).g) (A ∩ B) × (C ∩ D) = (A × C) ∩ (B × D).h) (A B) × (C D) = (A × C) (B × D).Regresar120

Ejercicios 0.51. Dé un ejemplo de una función de R en R uno a uno perono sobreyectiva.2. Dé un ejemplo de una función de R en R sobreyectiva perono uno a uno.3. dé un ejemplo de una función biyectiva de N en Q.4. Sea f : X −→ Y una función. Si A y B son subconjuntosde X y A ⊂ B entonces f(A) ⊂ f(B).5. Sea f : X −→ Y una función. Si C y D son subconjuntosde Y y C ⊂ D entonces f −1 (C) ⊂ f −1 (D).6. Sea f : X −→ Y una función. Si A y B son subconjuntosde X pruebe que f(A ∪ B) = f(A) ∪ f(B). Si A es unafamilia cualquiera de subconjuntos de X ¿se puede afirmarque f( ⋃ A∈A A) = ⋃ A∈Af(A)? Justifique completamente surespuesta.7. Sea f : X −→ Y una función. Si A y B son subconjuntos deX muestre con un contraejemplo que no siempre se satisfacela igualdad f(A ∩ B) = f(A) ∩ f(B).8. Sea f : X −→ Y una función. Si C y D son subconjuntosde Y pruebe que f −1 (C ∪ D) = f −1 (C) ∪ f −1 (D) yque f −1 (C ∩ D) = f −1 (C) ∩ f −1 (D). Más aún, pruebeque si C es una familia cualquiera de subconjuntos de Yentonces f −1 ( ⋃ C∈C C) = ⋃ C∈C f −1 (C) y f −1 ( ⋂ C∈C C) =⋂C∈C f −1 (C).121

9. Determine cuáles de las siguientes afirmaciones son verdaderas,en cuáles se satisface sólo una inclusión y en cuáleslas dos inclusiones resultan ser falsas. En cada caso justifiquecompletamente su respuesta con una demostración ocon un contraejemplo.a) Sea f : X −→ Y una función. Si A y B son subconjuntosde X entonces f(A B) = f(A) f(B).b) Sea f : X −→ Y una función. Si A y B son subconjuntosde X entonces f((A B) ∪ (B A)) =(f(A) f(B)) ∪ (f(B) f(A)).c) Sea f : X −→ Y una función. Si C y D son subconjuntosde Y entonces f −1 (C D) = f −1 (C) f −1 (D).10. Consideremos f 1 : X 1 −→ Y 1 y f 2 : X 2 −→ Y 2 dos funcionesy definamos la función g : X 1 × X 2 −→ Y 1 × Y 2 porg(x 1 , x 2 ) = (f 1 (x 1 ), f 2 (x 2 )). Pruebe o refute cada una de lassiguientes afirmaciones:a) g es uno a uno si y sólo si f 1 y f 2 lo son.b) g es sobreyectiva si y sólo si f 1 y f 2 lo son.11. Sean f : X −→ Y una función, A ⊂ X y B ⊂ Y .a) Demuestre que A ⊂ f −1 (f(A)).b) Dé un contraejemplo que muestre que no siempre setiene que f −1 (f(A)) ⊂ A.c) ¿Bajo qué condiciones es cierta la igualdad f −1 (f(A)) =A?d) Demuestre que f(f −1 (B)) ⊂ B.122

e) Dé un contraejemplo que muestre que no siempre setiene que B ⊂ f(f −1 (B)).f )¿Bajo qué condiciones es cierta la igualdad B = f(f −1 (B))?12. Consideremos f : X −→ Y y g : Y −→ Z dos funciones.Demuestre las siguientes afirmaciones:a) Si M ⊂ Z,entonces (g ◦ f) −1 (M) = f −1 (g −1 (M)).b) Si f y g son uno a uno, también lo es g ◦ f.c) Si f y g son sobreyectivas, también lo es g ◦ f.d) Si g ◦ f es uno a uno, entonces f es uno a uno pero gpodría no serlo.e) Si g ◦ f es sobreyectiva, entonces g es sobreyectiva perof podría no serlo.Regresar123

Ejercicios 0.61. Sea (X i ) i∈I una familia de conjuntos. Muestre que si X i = ∅para algún i ∈ I entonces ∏ i∈I X i = ∅.2. Muestre que si n > 1 y X 1 , ..., X n son conjuntos, entoncesexiste una función biyectiva definida del conjunto X 1 ×...×X n en el conjunto (X 1 × ... × X n−1 ) × X n .3. Muestre que si (X i ) i∈I una familia de conjuntos y si J yK son subconjuntos de I no vacíos y disyuntos, tales queI = J ∪ K, entonces existe una función biyectiva definidadel producto ∏ i∈I X i en el conjunto ( ∏ j∈J X j)×( ∏ k∈K X k)en el conjunto.4. Con frecuencia se denota al conjunto R N con el símbolo R ω .Determine cuáles de los siguientes subconjuntos de R ω sepueden expresar como producto cartesiano de subconjuntosde R.a) {x : x n ∈ Z para todo n}.b) {x : x n ≥ n para todo n}.c) {x : x n = x n+1 para todo n primo}.d) {x : x n ∈ Z para todo n ≥ 1000}.5. Sean (X i ) i∈I y (Y i ) i∈I dos familias de conjuntos. Determinecuáles de las siguientes afirmaciones son verdaderas y cuálesson falsas. En cada caso dé una demostración o un contraejemploindicando además si por lo menos es cierta unacontenencia.∏a)i∈I (X i Y i ) = ∏ i∈I X i ∏ i∈I Y i.124

)c)∏i∈I (X i ∪ Y i ) = ∏ i∈I X i ∪ ∏ i∈I Y i.∏i∈I (X i ∩ Y i ) = ∏ i∈I X i ∩ ∏ i∈I Y i.Regresar125

Ejercicios 0.71. Determine cuáles de las siguientes relaciones definidas sobreR son relaciones de equivalencia. Para cada relación deequivalencia que encuentre determine las clase de equivalenciade cada x ∈ R.a) x ∼ y sii x − y ∈ Z.b) x ∼ y sii x − y ∈ Q.c) x ∼ y sii x − y ∈ R.d) x ∼ y sii xy ∈ Z.e) x ∼ y sii xy ∈ Q.f ) x ∼ y sii x ≤ y.g) x ∼ y sii |x| = |y|.h) x ∼ y sii x = 2y.2. Determine cuáles de las siguientes relaciones definidas sobreR 2 son relaciones de equivalencia. Para cada relaciónde equivalencia que encuentre determine las clase de equivalenciade cada (x, y) ∈ R 2 .a) (x 1 , y 1 ) ∼ (x 2 , y 2 ) sii x 1 − y 2 ∈ Z.b) (x 1 , y 1 ) ∼ (x 2 , y 2 ) sii x 2 − y 1 ∈ Q.c) (x 1 , y 1 ) ∼ (x 2 , y 2 ) sii x 1 − y 2 ∈ R.d) (x 1 , y 1 ) ∼ (x 2 , y 2 ) sii x 1 y 2 ∈ Z.e) (x 1 , y 1 ) ∼ (x 2 , y 2 ) sii x 1 y 2 ∈ Q.f ) (x 1 , y 1 ) ∼ (x 2 , y 2 ) sii y 1 ≤ x 2 .g) (x 1 , y 1 ) ∼ (x 2 , y 2 ) sii √ x 2 1 + y2 1 = √ x 2 2 + y2 2 .126

h) (x 1 , y 1 ) ∼ (x 2 , y 2 ) sii x 1 = x 2 .3. Consideremos f : X −→ Y una función y definamos larelación ∼ sobre X por a ∼ b sii f(a) = f(b).a) Demuestre que ∼ es una relación de equivalencia.b) Demuestre que si f es sobreyectiva y si X/∼ es el conjuntode clases de equvalencia, entonces existe una correspondenciabiyectiva entre X/∼ y el conjunto Y .c) Si X = Y = R describa un método geométrico que permitavisualizar la clase de equivalencia de un númeroreal.4. Demuestre que dada una colección de relaciones de equivalenciasobre un conjunto X, la intersección de la coleccióntambién es una relación de equivalencia sobre X.5. ¿Es la unión de relaciones de equivalencia sobre un conjuntoX una relación de equivalencia sobre X?6. Determine cuáles de las siguientes relaciones definidas sobreR 2 son relaciones de orden.a) (x 1 , y 1 ) ≤ (x 2 , y 2 ) sii ((x 1 , y 1 ) = (x 2 , y 2 )) o (x 1 −y 2 ∈ N).b) (x 1 , y 1 ) ≤ (x 2 , y 2 ) sii ((x 1 , y 1 ) = (x 2 , y 2 )) o (x 2 ≤ y 2 ).c) (x 1 , y 1 ) ≤ (x 2 , y 2 ) sii ((x 1 , y 1 ) = (x 2 , y 2 )) o (x 1 −y 2 ∈ Z).d) (x 1 , y 1 ) ≤ (x 2 , y 2 ) sii ((x 1 , y 1 ) = (x 2 , y 2 )) o (x 1 y 2 ∈ Z).e) (x 1 , y 1 ) ≤ (x 2 , y 2 ) sii ((x 1 , y 1 ) = (x 2 , y 2 )) o (x 1 y 1 ∈ Q).f )(x 1 , y 1 ) ≤ (x 2 , y 2 ) sii ((x 1 , y 1 ) = (x 2 , y 2 )) o (x 1 < x 2 o(x 1 = x 2 y y 1 < y 2 )).127

g) (x 1 , y 1 ) ≤ (x 2 , y 2 ) sii ((x 1 , y 1 ) = (x 2 , y 2 )) o ( √ x 2 1 + y2 1

Ejercicios 0.81. Demuestre que Q es un conjunto contable.2. Demuestre que una unión contable de conjuntos contableses contable. ¿Qué ocurre con la unión no contable de conjuntoscontables?3. Demuestre que un producto finito de conjuntos contables escontable. ¿Qué ocurre con el producto infinito de conjuntoscontables?4. Muestre que el Axioma de Elección es equivalente a la siguienteafirmación: Para cualquier familia (A i ) i∈I de conjuntosno vacíos, con I ≠ ∅, el producto cartesiano ∏ i∈I A ies no vacío.Regresar129

Ejercicios 1.11. Demuestre que las siguientes funciones son métricas sobrelos conjuntos dados.a) Si X es un conjunto cualquiera, sea ρ : X × X −→ Rla función definida por{0 si x = yρ(x, y) =1 si x ≠ y.b) En R la función definida por ρ(x, y) = |x − y|.c) En R n la función definida por∑ρ((x 1 , ..., x n ), (y 1 , ..., y n )) = √ n (x i − y i ) 2 .d) En el plano, la función definida pori=1ρ 1 ((x 1 , y 1 ), (x 2 , y 2 )) = |x 1 − x 2 | + |y 1 − y 2 |es un espacio métrico. La función ρ 1 se suele llamar lamétrica del taxista.e) En el plano, la función definida por definida porρ 2 ((x 1 , y 1 ), (x 2 , y 2 )) = máx{|x 1 − x 2 |, |y 1 − y 2 |}es un espacio métrico.f ) En el conjunto X de todas las funciones acotadas f :R −→ R, la función ρ : X × X −→ R definida porρ(f, g) = sup{|f(x) − g(x)| : x ∈ R}.130

g) En el conjunto C(I) de todas las funciones continuasdefinidas del intervalo I = [0, 1] en R, la función ρ :C(I) × C(I) −→ R definida por ρ(f, g) = ∫ 10 |f(x) −g(x)|dx.h) En cualquier conjunto contable X = {x 1 , x 2 , ...}, lafunción d : X × X −→ R definida por⎧⎨1 + 1 si i ≠ jd(x i , x j ) = i + j⎩0 si i = j.2. Demuestre que las funciones definidas a continuación sonseudométricas sobre los conjuntos dados.a) En un conjunto X, la función ρ : X ×X −→ R definidapor ρ(x, y) = 0.b) Sea x 0 ∈ [0, 1]. En C(I), la función η : C(I)×C(I) −→R definida por η(f, g) = |f(x 0 − g(x 0 )|.3. Sean (X, d) y (Y, m) dos espacios métricos. ¿Es la funciónρ : (X × Y ) × (X × Y ) −→ X × Y , definida porρ((x 1 , x 1 ), (x 2 , y 2 )) = máx{d(x 1 , x 2 ), m(y 1 , y 2 )}, una métricasobre X × Y ?4. Sea ρ una seudométrica definida sobre un conjunto X. Definimosla relación ∼ sobre X por x ∼ y sii ρ(x, y) = 0.a) Pruebe que ∼ es una relación de equivalencia sobre X.b) Sea X/∼ el conjunto de todas las clases deequivalenciadeterminadas por ∼. Demuestre que la función d :X/∼ × X/∼ −→ R definida por d([x], [y]) = ρ(x, y) esuna métrica sobre X/∼.131

Regresar132

Ejercicios 1.21. Demuestre que si X tiene la métrica discreta y Y es un espaciométrico cualquiera, entonces cualquier función definidade X en Y es continua. ¿Qué ocurre si Y es un espacioseudométrico?2. Demuestre que si X es un espacio métrico cualquiera y Ytiene la seudométrica definida por d(w, z) = 0 para todo w ytodo z en Y , entonces cualquier función definida de X en Yes continua. ¿Qué ocurre si X es un espacio seudométrico?3. De un ejemplo de dos métricas d 1 y d 2 , definidas sobre unmismo conjunto X, de tal manera que la función idénticade (X, d 1 ) en (X, d 2 ) no resulte continua.4. Suponga que d 1 y d 2 son dos métricas definidas sobre unmismo conjunto X. Si toda función definida de (X, d 1 ) en(X, d 2 ) es continua, ¿qué puede afirmar con seguridad ded 1 y d 2 ? Demuestre su conjetura.5. Dos espacios métricos (X, d) y (Y, m) son isométricos siexiste una función biyectiva f : X −→ Y tal qued(x 1 , x 2 ) = m(f(x 1 ), f(x 2 ))para cada x 1 y cada x 2 en X. La función f se llama unaisometría.a) Pruebe que si f : X −→ Y es una isometría, entoncesf y f −1 son funciones continuas.b) Pruebe que el intervalo [0, 1] es isométrico a cualquierotro intervalo cerrado de R de la misma longitud.133

c) Pruebe que si R y R 2 tienen cada uno su métrica usual,endtonces no son isométricos.d) Pruebe que si X y Y tienen cada uno la métrica discretaentonces X y Y son isométricos si y sólo si tienen lamisma cardinalidad.e) Defina una métrica en el intervalo abierto (0, 1), de talmanera que el espacio métrico resultante sea isométricoa R con la mérica usual.Regresar134

Ejercicios 1.31. Sea X un espacio métrico. Demuestre los siguientes hechos:a) El conjunto vacío ∅ y el conjunto X son conjuntos abiertos.b) Si A y B son conjuntos abiertos en X entonces A ∩ Bes un conjunto abierto en X.c) La unión de cualquier familia de conjuntos abiertos enX es un conjunto abierto en X.d) Todo intervalo abierto de R es un conjunto abierto.2. Sea X un espacio métrico. Decimos que un subconjunto Fde X es cerrado en X si su complemento es abierto. Pruebelas siguientes afirmaciones:a) Los subconjuntos de X que tienen exactamente un puntoson cerrados.b) Si A y B son conjuntos cerrados en X entonces A ∪ Bes un conjunto cerrado en X.c) La intersección de cualquier familia de conjuntos cerradosen X es un conjunto cerrado en X.d) Si X tiene la métrica discreta entonces todo subconjuntode X es abierto y cerrado.e) Todo intervalo cerrado de R es un conjunto cerrado.3. Sean X y Y espacios métricos y sea f : X −→ Y una función.Demuestreque las siguientes afirmaciones son equivalentes:a) f es continua.135

) Si A es un subconjunto abierto de Y entonces f −1 (A)es un subconjunto abierto de X.c) Si K es un subconjunto cerrado de Y entonces f −1 (K)es un subconjunto cerrado de X.4. Mueste que los numerales 2, 3 y 4 de 1.1.2. establecen métricasequivalentes sobre R 2 .5. Sea (X, d) es un espacio métrico. Muestre que la funciónd 1 : X × X −→ R definida por d 1 (x, y) = mín{d(x, y), 1}es una métrica acotada sobre X equivalente a la métrica d.Regresar136

Ejercicios 2.11. Pruebe que la colección de todos los intervalos de la forma[a, b) con a y b números reales y a < b es una base para unatopología sobre R.2. Pruebe que la colección de todos los rectángulos abiertos(es decir, sin sus bordes) es una base para una topologíasobre el plano.3. Para ceda entero positivo n, sea S n = {n, n+1, ...}. Muestreque la colección de todos los subconjuntos de N que contienena algún S n es una base para una topología sobreN.4. Sean X un conjunto y S una colección de subconjuntos deX. Sea B la colección de todas las intersecciones finitas deelementos de S.a) Demuestre que la unión de la colección B es X. (Sugerencia:Considere la intersección de una familia vacíade elementos de S.)b) Pruebe que si A y B pertenecen a B y si x ∈ A ∩ B,entonces existe C ∈ B tal que x ∈ C y C ⊂ A ∩ B.Se ha demostrado que B es una base para una topologíasobre X. La colección S es una sub-base para la topología,que genera la base B. Los elementos de S se dicen ser subbásicos.5. Considere la colección S de conjuntos de la forma (−∞, a)junto con los conjuntos de la forma (b, ∞). Esta colecciónes una sub-base para una topología sobre R.137

a) Describa la base B generada por S.b) Describa los conjuntos abiertos generados por B.6. Considere la colección S de todas las lineas rectas en elplano.a) Describa la base B generada por S.b) Describa los conjuntos abiertos generados por B.7. Sea X un conjunto y B una base para una topología sobreX. Demuestre cada una de las siguientes afirmaciones:a) El conjunto vacío ∅ y el conjunto X son conjuntos abiertos.b) Si A y B son conjuntos abiertos en X entonces A ∩ Bes un conjunto abierto en X.c) La unión de cualquier familia de conjuntos abiertos enX es un conjunto abierto en X.Regresar138

Ejercicios 2.21. Describa todas las topologías que existen sobre un conjuntode dos elementos y determine para cada par de ellas si unaes mas fina o menos fina que la otra.2. Determine cuáles de las siguientes afirmaciones son verdaderasy cuáles son falsas. En cada caso, justifique su respuestacon una demostración o un contraejemplo.a) La intersección de dos topologías sobre un conjunto Xes una topología sobre X.b) La intersección de cualquier familia de topologías sobreun conjunto X es una topología sobre X.c) La unión de dos topologías sobre un conjunto X es unatopología sobre X.d) La unión de cualquier familia de topologías sobre unconjunto X es una topología sobre X.3. Demuestre que si B es una base para una topología sobreX, entonces la topología generada por B es igual a la intersecciónde todas las topologías sobre X que contienen aB.4. Demuestre que si S es una sub-base para una topologíasobre X, entonces la topología generada por S es igual a laintersección de todas las topologías sobre X que contienena S.5. Dé un ejemplo que muestre que la topología radial del planono es menos fina que la topología usual.Regresar139

Ejercicios 2.31. Suponga que X es un conjunto dotado con la topologíadiscreta. Determine todas las vecindades de cada punto x ∈X.2. Sea X un conjunto dotado con la topología grosera y seax ∈ X. Determine todas las vecindades de x.3. Considere el conjunto de los números naturales con la topologíade las colas a la derecha. Determine todas las vecindadesde cada número natural.4. Considere el conjunto de los números naturales con la topologíade llos complementos finitos. Determine todas las vecindadesde cada número natural.5. Suponga que τ 1 y τ 2 son dos topologías sobre el mismoconjunto X y que τ 1 es más fina que τ 2 . Compare las coleccionesde vecindades de un mismo punto en los dos espaciostopológicos.6. Sea X un espacio topológico y suponga quepara cada x ∈ Xla colección B(x) es un sistema fundamental de vecindadesde x. Pruebe los siguientes hechos:a) Si V ∈ B(x), entonces x ∈ V .b) Si V 1 , V 2 ∈ B(x), entonces existe V 3 ∈ B(x) tal queV 3 ⊂ V 1 ∩ V 2 .c) Si V ∈ B(x), existe U ∈ B(x) tal que si y ∈ U entoncesW ⊂ V para algún W ∈ B(y).d) Un subconjunto A de X es abierto si y sólo si contieneuna vecindad básica de cada uno de sus puntos.140

7. Sea Γ = {(x, y) ∈ R 2 : y ≥ 0}. Para cada z = (x, y) ∈ Γconsidere la colección B(z) definida de la siguiente manera:Si y > 0 B(z) es la colección de todas las bolas abiertasusuales centradas en z con radio menor o igual que y y siy ′ = 0, V(z ′ ) es la colección de todos los conjuntos de laforma {z ′ } ∪ A donde A es una bola abierta contenida en Γtangente al eje real en z ′ . Demuestre que estas coleccionessatisfacen las hipótesis de la Proposición 2.3.6.8. Para cada punto z del plano definimos B(z) como la colecciónde todos los conjuntos de la forma {z} ∪ A donde Aes una bola abierta usual, centrada en z, de la cual seha removido un número finito de segmentos de linea quepasan por z. Demuestre que estas colecciones satisfacen lashipótesis de la Proposición 2.3.6.9. Para cada número real x distinto de 0 definimos B(x) comola colección de todos los intervalos abiertos centrados en xmientras que los elementos de B(0) serán los conjuntos dela forma (−∞, −n) ∪ (−ɛ, ɛ) ∪ (n, ∞) donde n ∈ N y ɛ > 0.Demuestre que estas colecciones satisfacen las hipótesis dela Proposición 2.3.6.10. Consideremos el conjunto R I de todas las funciones definidasdel intervalo I = [0, 1] en R. Para cada f ∈ R I definimosB(f) como la colección de todos los conjuntos de la formaU(f, F, δ) = {g ∈ R I : |g(x) − f(x)| < δ, para cada x ∈ F }donde F es un subconjunto finito de I y δ > 0. Demuestreque estas colecciones satisfacen las hipótesis de la Proposición2.3.6.Regresar141

Ejercicios 2.41. Determine cuáles de los siguientes subconjuntos de R soncerrados justificando completamente su respuesta.a) [−1, 1).b) [1, ∞).{ } 1c)n : n ∈ N .{ } 1d)n : n ∈ N ∪ {0}.e) Z.f ) Q.g) R Z.h) R Q.2. Pruebe que en cualquier espacio métrico (X, d), cada bolacerrada B[x, ɛ] = {y ∈ X : d(x, y) ≤ ɛ} es un conjuntocerrado.3. Sean τ 1 y τ 2 dos topologías definidas sobre un mismo conjuntoX. Si τ 1 es más fina que τ 2 , ¿qué relación hay entre lacolección de conjuntos cerrados de (X, τ 1 ) y la colección deconjuntos cerrados de (X, τ 2 )? Como es natural, justifiquecuidadosamente su respuesta.4. Sean X y Y espacios topológicos. Una función f : X −→ Yes cerrada si aplica conjuntos cerrados en conjuntos cerrados.Esto es, si para cada K cerrado en X se tiene que f(K)es cerrado en Y .142

a) Sean τ la topología usual sobre R y ρ la topología decomplementos finitos sobre Z. Dé un ejemplo de unafunción cerrada definida de (R, τ) en (Z, ρ).b) Muestre con un ejemplo que no toda función cerradadefinida de un espacio métrico en otro es continua.c) Muestre con un ejemplo que no toda función continuadefinida de un espacio métrico en otro es cerrada.5. Sean X un espacio topológico y K una familia de subconjuntosde X que satisface las siguientes condiciones:a) ∅ y X pertenecen a K.b) Si F, K ∈ K entonces F ∪ K ∈ K.c) Si C ⊂ K, entonces ⋂ F ∈C F ∈ K.Demuestre que la colección τ de todos los complementosde elementos de K es una topología sobre X y que K es lacolección de conjuntos cerrados del espacio (X, τ).6. Sea X un espacio topológico. Una familia K de subconjuntoscerrados de X es una base para los conjuntos ceradosen X si cualquier conjunto cerrado es intersección de elementosde K.a) Demuestre que K es una base para los conjuntos ceradosen X si y sólo si la colección B = {K c : K ∈ K},de todos los complementos de elementos de K es unabase para la topología de X.b) ¿Es la colección de todos los intervalos cerrados en Runa base para los conjuntos cerados en R usual ?Regresar143

Ejercicios 2.5{ }−11. Consideremos A =n : n ∈ N como subconjunto deR. Pruebe que el número 0 es adherente a A si sobre Rconsideramos la topología usual, pero 0 NO si sobre R consideramosla topología discreta o la topología generada porlos intervalos de la forma [a, b) con a < b.2. Pruebe que en el Plano de Moore, cada punto de la forma(a, 0) es adherente al conjunto {(x, y) : y > 0}.3. Pruebe que si R 2 tiene la topología de los complementosfinitos, el punto (0, 0) es adherente al conjunto A = {(x, y) :y > x 2 +1} y que este punto NO es adherente a A si estamosconsiderando la topología usual sobre R 2 .4. Pruebe que en R con la topología usual la adherencia delintervalo (a, b) es el intervalo [a, b].5. Pruebe que la adherencia del conjunto de los números irracionalesen R es R.6. ¿Es Q un conjunto denso en R con la topología de los complementosfinitos?7. ¿Es Q un conjunto denso en R con la topología de las colasa la derecha?8. Suponga que τ 1 y τ 2 son dos topologías sobre un mismo conjuntoX y que τ 1 es más fina que τ 2 . Compare la adherenciade un subconjunto A de X en (X, τ 1 ) con su adherencia en(X, τ 2 ).144

9. Sea X cualquier conjunto. Diremos que para cada A ⊂ X,A = A. Pruebe que la función A ↦−→ A es una operaciónde adherencia.10. Sea X un conjunto cualquiera y definamos A = X para todoA ⊂ X, A ≠ ∅ y ∅ = ∅. Pruebe que la función A ↦−→ A esuna operación de adherencia.11. Si X es un conjunto infinito y para cada A ⊂ X definimos{A si A es finitoA =X si A es infinito,pruebe que la función A ↦−→ A es una operación de adherencia.12. Si para cada A ⊂ R definimos⎧(−∞, sup A] si A es no vacío y está acotado⎪⎨A = Rsuperiormentesuperiormente⎪⎩∅ si A = ∅,si A es no vacío y no está acotadopruebe que la función A ↦−→ A es una operación de adherencia.13. Sean X un conjunto y B un subconjunto fijo de X. Paracada A ⊂ X definimos{A ∪ B si A ≠ ∅A =∅ si A = ∅.Pruebe que la función A ↦−→ A es una operación de adherencia.145

Regresar146

Ejercicios 2.61. Explique claramente cuál es la diferencia entre punto deacumulación y punto adherente.2. Determine los puntos de acumulación de cada uno de lossiguientes subconjuntos de R.a) Z.b) Q.c) R Q.d) (−1, 1].e) [1, ∞).f ){− 1 }n : n ∈ N .{ } 1g)n : n ∈ N ∪ {0}.3. Demuestre o dé un contraejemplo que refute la siguienteafirmación: “Si X es un espacio topológico y A ⊂ X es unconjunto unitario cerrado en X, entonces A ′ = ∅.”4. Dé un ejemplo de un espacio topológico X en el cual A = A ′para todo subconjunto A de X con más de un punto.5. Sea X es un espacio topológico. Demuestre o dé contraejemplosque refuten cada una de las siguientes afirmaciones:a) (A ′ ) ′ = A ′ para cada A ⊂ X.b) (A ∪ B) ′ = A ′ ∪ B ′ para cada A y cada B subconjuntosde X.147

c) (A ∩ B) ′ = A ′ ∩ B ′ para cada A y cada B subconjuntosde X.d) (A c ) ′ = (A ′ ) c para cada A ⊂ X.e) A ′ es cerrado en X para cada A ⊂ X.Regresar148

Ejercicios 2.71. Demuestre la Proposición 2.7.3.2. Demuestre la Proposición 2.7.4.3. Sea X es un espacio topológico. Demuestre o dé contraejemplosque refuten cada una de las siguientes afirmaciones:a) (A ◦ ) ◦ = A ◦ para cada A ⊂ X.b) (A∩B) ◦ = A ◦ ∩B ◦ para cada A y cada B subconjuntosde X.c) (A c ) ◦ = (A ◦ ) c para cada A ⊂ X.d) A ◦ es abierto en X para cada A ⊂ X.e) Fr (Fr A) =Fr A para cada A ⊂ X.f )Fr (A ∪ B) =Fr A∪Fr B para cada A y cada B subconjuntosde X.g) Fr (A ∩ B) = Fr A∩ Fr B para cada A y cada B subconjuntosde X.h) Fr (A c ) = ( Fr A) c para cada A ⊂ X.i) (Fr A) ◦ = ∅ para cada A ⊂ X.4. Determine el interior, el exterior y la frontera de cada unode los siguientes subconjuntos en R.a) Z.b) Q.c) R Q.d) (−1, 1].149

e) [1, ∞).f ){− 1 }n : n ∈ N .{ } 1g)n : n ∈ N ∪ {0}.5. Realice nuevamente el ejercicio anterior pero considerandola topología de los complementos finitos sobre R.6. Suponga que τ 1 y τ 2 son dos topologías sobre un mismoconjunto X y que τ 1 es más fina que τ 2 . Compare el interiory la frontera de un subconjunto A de X en (X, τ 1 ) con suinterior y su frontera en (X, τ 2 ).Regresar150

Ejercicios 2.81. Demuestre que cualquier subespacio de un espacio discretoes discreto y cualquier subespacio de un espacio trivial estrivial.2. Sea A un subespacio de X. Demuestre cada una de lassiguientes afirmaciones:a) Un subconjunto F de A es cerado en A si y sólo siexiste K cerrado en X tal que F = K ∩ A.b) Si E ⊂ A y denotamos por Adh A E la adherencia de Een A y por Adh X E la adherencia de E en X, entoncesAdh A E =Adh X E ∩ A.c) Si a ∈ A, entonces V es una vecindad de a en A si y sólosi existe una vecindad U de a en X tal que V = U ∩ A.d) Si a ∈ A y si B(a) es un sistema fundamental de vecindadesde a en X, entonces {U ∩ A : U ∈ B(a)} es unsistema fundamental de vecindades de a en A.e) Si E ⊂ A y denotamos por Int A E el interior de Een A y por Int X E el interior de E en X, entoncesInt A E ⊃Int X E ∩ A.f )RegresarSi E ⊂ A y denotamos por Fr A E la frontera de Een A y por Fr X E la frontera de E en X, entoncesFr A E ⊂Fr X E ∩ A.151

Ejercicios 3.11. Demuestre que toda función definida de un espacio discretoX en cualquier espacio Y es continua y además que si cadafunción con dominio X es continua, entonces X tiene latopología discreta.2. Demuestre que toda función definida de un X en un espacioY con topología grosera es continua y que si cada funcióncon codominio Y es continua, entonces Y tiene la topologíagrosera.3. Sea A un subconjunto de un conjunto X. La función característicade A, δ A : X −→ R, se define por{1 si x ∈ Aδ A (x) =0 si x /∈ A.Demuestre que si X es un espacio topológico y A ⊂ X,entonces la función característica de A es continua si y sólosi A es abierto y cerrado en X.4. Demuestre que si f y g son funciones continuas definidas deun espacio X en R, entonces el conjunto {x ∈ X : f(x) =g(x)} es cerrado en X.5. Utilice el ejercicio anterior para justificar la siguiente afirmación:“Si dos funciones continuas definidas de un espacioX en R coinciden en un subconjunto denso de X, coincidenen todo X.6. Demuestre que si f : R −→ R es una función continua ysi f(a) < f(b) entonces para cada y ∈ [f(a), f(b)] existe xentre a y b tal que f(x) = y.152

7. Utilice el ejercicio anterior para probar que toda funcióncontinua definida de R en R aplica intervalos en intervalos.8. Dé un ejemplo de una función definida de R en R queaplique intervalos en intervalos y no sea una función continua.9. Sea f : X −→ Y una función continua. Determine cuálesde las siguientes afirmaciones son verdaderas y cu”ales sonfalsas, justificando en cada caso su respuesta con una demostracióno un contraejemplo.a) Si A ⊂ X y x ∈ A, entonces f(x) ∈ f(A).b) Si A ⊂ X y x ∈ A ◦ , entonces f(x) ∈ f(A) ◦ .c) Si A ⊂ X y x ∈ A ′ , entonces f(x) ∈ (f(A)) ′ .10. Sean X un espacio topológico y (x n ) n∈N una sucesión en X(formalmente, una sucesión en X es una función de N enX). Decimos que (x n ) n∈N converge a un punto x ∈ X si ysólo si para toda vecindad V de x existe N ∈ N tal quex n ∈ V para cada n ≥ N.a) Demuestre que la sucesión(1 − 1 )nn∈Nconverge a 1 enR con la topología usual; pero que no converge si sobreR consideramos la topología generada por los intervalosde la forma (a, b].b) Demuestre que si X y Y son espacios métricos, entoncesuna función f : X −→ Y es continua si y sólo si paracada sucesión (x n ) n∈N que converge a un punto x ∈ X,la sucesión (f(x n )) n∈N converge a f(x) en Y .153

c) Sean X y Y espacios topológicos. Pruebe que si f :X −→ Y es continua, entonces para cada sucesión(x n ) n∈N que converge a un punto x ∈ X, la sucesión(f(x n )) n∈N converge a f(x) en Y .Regresar154

Ejercicios 3.21. Sean X y Y espacios topológicos y f : X −→ Y una funciónuno a uno y sobreyectiva. Demuestre que las siguientesafirmaciones son equivalentes:a) f es un homeomorfismo.b) Si A ⊂ X, entonces f(A) es abierto en Y si y sólo si Aes abierto en X.c) Si K ⊂ X, entonces f(K) es cerrado en Y si y sólo siK es cerrado en X.d) Si M ⊂ X, entonces f(M) = f(M).2. Pruebe que la relación ∼ definida en los espacios topológicospor X ∼ Y si y sólo si X y Y son homeomorfos esuna relación de equivalencia.3. Muestre que cada intervalo abierto (a, b) en R, con a > bes homeomorfo al intervalo (0, 1).4. Muestre que cada intervalo cerrado [a, b] en R, con a > b eshomeomorfo al intervalo [0, 1].5. Defina un homeomorfismo de N con la topología discretaen Z también con la topología discreta.6. Sean τ 1 y τ 2 dos topologías definidas sobre el mismo conjuntoX. Pruebe que la función idéntica Id X : (X, τ 1 ) −→(X, τ 2 ) es un homeomorfismo si y sólo si τ 1 = τ 2 .7. Pruebe que la propiedad de que cada función continua devalor real sobre un conjunto X tome un valor máximo esuna propiedad topológica.155

8. Utilice el ejercicio anterior para probar que [0, 1] y R no sonhomeomorfos.9. Muestre que la función f : R + −→ R definida por f(x) =−x es una inmersión.Regresar156

Ejercicios 4.11. Demuestre que si Y tiene la topología grosera entonces latopología inicial sobre un conjunto X inducida por una funciónf : X −→ Y es la topología grosera.2. Suponga que Y tiene la topología discreta.a) Pruebe que la topología inicial sobre un conjunto Xinducida por una función uno a uno f : X −→ Y es latopología discreta.b) ¿Qué ocurre si f no es uno a uno?3. Considere la topología de los complementos contables definidasobre el conjunto de los números reales. ¿Cuál es latopología inicial sobre Q inducida por la inclusión de Qen R?4. Resuelva el ejercicio anterior pero considerando R Q enlugar de Q.5. Considere la topología de las colas a la derecha definidasobre el conjunto de los números enteros. ¿Cuál es latopología inicial sobre R inducida por la función parte entera,x ↦−→ [x] : R −→ Z?6. Considere la topología usual sobre el conjunto de los númerosreales. ¿Cuál es la topología inicial sobre R 2 inducida porla función que aplica a cada punto del plano en su distanciausual al origen?7. Sean (Y, d) un espacio métrico y f : X −→ Y una función.Definimos la función m : X × X −→ R por m(x 1 , x 2 ) =d(f(x 1 ), f(x 2 )).157

a) Demuestre que m es una métrica sobre X si y sólo si fes uno a uno; y que en caso de no serlo, m resulta seruna seudométrica sobre X.b) Compare la topología generada por m sobre X con latopología inicial inducida por f.Regresar158

Ejercicios 4.21. Sean X y Y dos espacios topológicos y π 1 : X × Y −→ Xy y π 2 : X × Y −→ Y las proyecciones canónicas.a) Pruebe que π 1 y π 2 son funciones abiertas.b) Muestre con un ejemplo que π 1 y π 2 pueden no serfunciones ceradas.2. Sea X un espacio con un número finito de puntos y sea Ycualquier espacio topológico. Demuestre que la proyecciónπ 2 : X × Y −→ Y es una aplicación cerrada.3. Sea X un espacio con la topología grosera y sea Y cualquierespacio topológico. Demuestre que la proyección π 2 : X ×Y −→ Y es una aplicación cerrada.4. Sean (X 1 , m 1 ), (X 2 , m 2 ), ..., (X 1 , m 1 ) espacios topológicos,X = X 1 ×X 2 ×...×X n , W un espacio topológico cualquieray para cada i = 1, ..., n sea f i : W −→ X i una funcióncontinua. Pruebe que la función f : W −→ X definida porf(w) = (f 1 (w), ..., f n (w)) es continua.5. Sean (X 1 , m 1 ), (X 2 , m 2 ), ..., (X 1 , m 1 ) espacios métricos ysea X = X 1 × X 2 × ... × X n .a) Demuestre que la función m : X × X −→ R definidapor∑m(x, y) = √ n m i (x i , y i ) 2 ,i=1donde x = (x 1 , x 2 , ..., x n ) y y = (y 1 , y 2 , ..., y n ), es unamétrica sobre X.159

) Demuestre que la topología producto sobre X es la mismatopología inducida por la métrica m.Regresar160

Ejercicios 4.31. Sea (X i ) i∈I una familia de espacios topológicos y sea X =∏i∈I X i. Demuestre que la proyección π i : X −→ X i es unaaplicación abierta para cada i ∈ I.2. Sean (X i )i ∈ I una familia de espacios topológicos, X =∏i∈N X i, W un espacio topológico arbitrario y para cadai ∈ I sea f i : W −→ X i una función continua. Demuestreque la función f : W −→ X definida por f(w) = (f i (w)) i∈Ies continua.3. Sean (X i ) i∈I una familia de espacios topológicos,X = ∏ i∈I X i, π i : X −→ X i la proyección canónica paracada i ∈ I y consideremos Y un subespacio de X. Para cadai ∈ I, denotemos por p i la restricción de p i al conjuntoY . Demuestre que la topología de subespacio sobre Y es latopología inicial inducida por la familia de funciones (p i ) i∈I .4. Sean (X i , m i ) i∈N una familia enumerable de espacios métricosy sea X = ∏ i∈N X i.a) Para cada i ∈ I, sea m i ∗ la métrica sobre X i definidapor m i ∗ (a, b) = mín{1, m i (a, b)). Demuestre que lafunción m : X × X −→ R definida porm(x, y) =∞∑i=1m i ∗ (x i , y i ),2donde x = (x i ) y y = (y i ), es una métrica sobre X.b) Demuestre que la topología producto sobre X es la mismatopología inducida por la métrica m.Regresar161

Ejercicios 4.41. Demuestre que si X tiene la topología grosera entonces latopología final sobre un conjunto Y inducida por una funciónf : X −→ Y no es necesariamente la topología grosera.2. Suponga que X tiene la topología discreta. Pruebe que latopología final sobre un conjunto Y inducida por una funciónf : X −→ Y es la topología discreta.3. Considere la topología de los complementos finitos definidasobre el conjunto de los números racionales. ¿Cuál es latopología final sobre R inducida por la inclusión de Q enR?4. Resuelva el ejercicio anterior pero considerando R Q enlugar de Q y la topología de los complementos contablessobre R Q.5. Considere la topología de las colas a la derecha definidasobre el conjunto de los números reales. ¿Cuál es latopología final sobre Z inducida por la función parte entera,x ↦−→ [x] : R −→ Z?6. Considere la topología usual sobre R 2 . ¿Cuál es la topologíafinal sobre R inducida por la función que aplica a cadapunto del plano en su distancia usual al origen?Regresar162

Ejercicios 4.51. Demuestre que si f : X −→ Y es una función continua ysobreyectiva que es además abierta o cerrada, entonces fes una aplicación cociente.2. Sean X y Y espacios topológicos y consideremos el espacioproducto X × Y . ¿Son las proyecciones canónicas, π 1 : X ×Y −→ X y π 2 : X × Y −→ Y , aplicaciones cociente?3. Suponga que f : X −→ Y una función continua. Si X tienela topología inicial inducida por f, ¿se puede asegurar quef es una aplicación cociente? Justifique su respuesta conuna demostración o un contraejemplo.4. Dé un ejemplo de una aplicación cociente que no sea niabierta ni cerrada.5. Definimos la relación ∼ en el plano por (x 0 , y 0 ) ∼ (x 1 , y 1 )si y sólo si y 0 = y 1 .a) Muestre que ∼ es una relación de equivalencia.b) Determine la clase de equivalencia de un punto (x, y)del plano.c) Pruebe que el espacio cociente R/∼ es homeomorfo aR.6. Dé un ejemplo de una función continua y sobreyectiva queno sea una aplicación cociente.Regresar163

Ejercicios 5.11. Demuestre que cualquier conjunto X con la topología decomplementos finitos (resp. contables) es un espacio T 0 .2. Demuestre que cualquier conjunto X totalmente ordenado,con la topología de las colas a la derecha es un espacio T 0 .3. Pruebe que el espacio de Sierpinski de tres puntos, C ={0, 1, 2} con la topología {∅, {0}, C}, no es un espacioT 0 .4. Sea X un espacio topológico cualquiera y sea ∼ la relacióndefinida sobre X por x ∼ y si y sólo si {x} = {y}. Demuestrelos siguientes hechos:a) ∼ es una relación de equivalencia sobre X.b) El espacio cociente X/∼ es un espacio T 0 .5. Demuestre que los siguientes espacios son T 1 .a) Cualquier conjunto con la topología de los complementosfinitos (resp. contables).b) Todo espacio discreto.c) El plano de Moore.d) El plano ranurado.e) Los números reales con la topología para la cual cadanúmero real x distinto de 0 tiene como sistema fundamentalde vecindades los intervalos abiertos centradosen x, mientras que las vecindades fundamentales de0 son los conjuntos de la forma (−∞, −n) ∪ (−ɛ, ɛ) ∪(n, ∞), donde n ∈ N y ɛ > 0.164

6. Pruebe que el espacio de Sierpinski no es un espacio T 1 .7. Sea X un conjunto ordenado y considere la topología de lascolas a derecha definida sobre X. Demuestre que X no esun espacio T 1 .8. Demuestre que todo subespacio de un espacio T 1 es un espacioT 1 .9. Demuestre que un producto arbitrario de espacios T 1 novacíos es un espacio T 1 si y sólo si cada uno de los factoreslo es.Regresar165

Ejercicios 5.21. Determine cuáles de los siguientes espacios son de Hausdorff.En cada caso justifique plenamente su respuesta.a) El plano de Moore.b) El plano ranurado.c) Los números reales con la topología para la cual cadanúmero real x distinto de 0 tiene como sistema fundamentalde vecindades los intervalos abiertos centradosen x, mientras que las vecindades fundamentales de0 son los conjuntos de la forma (−∞, −n) ∪ (−ɛ, ɛ) ∪(n, ∞), donde n ∈ N y ɛ > 0.2. Demuestre que todo subespacio de un espacio de Hausdorffes un espacio de Hausdorff.3. Demuestre que un producto arbitrario de espacios de Hausdorffno vacíos es un espacio de Hausdorff si y sólo si cadauno de los factores lo es.4. Recuerde que una sucesión (x n ) n∈N en un espacio topológicoX converge a un punto x ∈ X si y sólo si para cada vecindadV de x existe N ∈ N de tal manera que x n ∈ V para cadan ≥ N.a) Demuestre que si X es un espacio de Hausdorff entoncescada sucesión en X converge a lo más a un punto deX.b) Considere X = R con la topología de los complementosfinitos. Demuestre que existen sucesiones en X queconvergen a más de un punto simultáneamente.166

5. Demuestre que el espacio topológico X es un espacio deHausdorff si y sólo si la diagonal ∆ = {(x, x) : x ∈ X} escerrada en X × X. (Una demostración elegante se obtieneconsiderando la función idéntica de X en X y utilizandolos resultados de las proposiciones 5.2.3 y 5.2.4.)6. Demuestre que si f es una función continua y abierta de Xsobre Y , entonces Y es un espacio de Hausdorff si y sólo si{(x 1 , x 2 ) : f(x 1 ) = f(x 2 )} es cerrado en X × X.7. Demuestre que si f y g son funciones continuas definidasde X en Y y si Y es un espacio de Hausdorff, entonces elconjunto {x : f(x) = g(x)} es cerrado en X.8. Demuestre que si f y g son funciones continuas definidasde X en Y , si Y es un espacio de Hausdorff, y si f y gcoinciden en un subconjunto denso de X, entonces f = g.Regresar167

Ejercicios 5.31. Consideremos R con la topología τ = {∅, Q, R Q, R}.Pruebe que (R, τ) es un espacio regular que no es un espaciode Hausdorff.2. Pruebe que un espacio regular es un espacio de Hausdorffsi y sólo si es T 1 .3. Determine si el plano de Moore es o no un espacio regular.4. Sea τ la topología usual sobre el conjunto de los númerosreales y τ∗ = τ ∪ {Q ∪ U : U ∈ τ}.a) Pruebe que τ∗ es una topología sobre R.b) Demuestre que (R, τ∗) es un espacio de Hausdorff.c) Demuestre que (R, τ∗) no es regular. (Sugerencia: observeque Q es abierto en (R, τ∗) y que ningún puntode Q se puede separar de R Q con conjuntos abiertosdisyuntos.)5. Demuestre que todo subespacio de un espacio regular (resp.T 3 ) es un espacio regular (resp. T 3 ).6. Demuestre que un producto arbitrario de espacios regulares(resp. T 3 ) no vacíos es un espacio regular (resp. T 3 ), si ysólo si cada uno de los factores lo es.Regresar168

Ejercicios 5.41. Demuestre que todo espacio seudométrico es completamenteregular.2. Demuestre que todo espacio métrico es un espacio de Tychonoff.3. Sea τ la topología sobre R en la cual las vecindades básicasde cada número real x ≠ 0 son los intervalos abiertosusuales centrados en x mientras que las vecindades básicasde 0 son los conjuntos de la forma (−ɛ, ɛ) ∪ (−∞, −n) ∪(n, ∞), donde ɛ > 0 y n es un entero positivo. Muestre queel espacio (R, τ) es un espacio de Tychonoff.4. Demuestre que el plano de Moore es un espacio de Tychonoff.5. Demuestre que cada subespacio de un espacio completamenteregular (resp. de un espacio de Tychonoff) es completamenteregular. (resp. de Tychonoff).6. Demuestre que un producto no vacío de espacios topológicoses completamente regular (resp. de Tychonoff) si y sólosi cada factor es un espacio completamente regular (resp.un espacio de Tychonoff).7. Pruebe que un espacio topoloógico X es completamenteregular si y sólo si tiene la topología inicial inducida por sufamilia C ∗ (X) de funciones continuas y acotadas definidasde X en R.8. Cualquier producto de intervalos cerrados y acotados en Rrecibe el nombre de cubo. Pruebe que un espacio topológico169

X es un espacio de Tychonoff si y sólo si es homeomorfo a unsubespacio de algún cubo. (Sugerencia: Si X es un espaciode Tychonoff, utilice el ejercicio anterior. Observe que cadafunción f ∈ C ∗ (X) tiene como rango un subconjunto deun intervalo cerrado y acotado I f y considere la funciónevaluación e : X −→ ∏ I f definida por [e(x)] f = f(x)).Regresar170

Ejercicios 5.51. Demuestre que un espacio topológico X es normal si y sólosi para cada K subconjunto cerrado de X y cada subconjuntoabierto U de X tal que K ⊂ U, existe un conjuntoabierto V en X tal que K ⊂ V y V ⊂ U.2. Sea (X, ≤) un conjunto ordenado. Recuerde que los conjuntosde la forma {x ∈ X : x < a} junto con los conjuntosde la forma {x ∈ X : a > x} forman una subbase para unatopología sobre X con la cual X es un espacio ordenado.Demuestre que todo espacio ordenado es T 4 .3. Consideremos sobre X = R la topología τ para la cual lasvecindades básicas de x son los intervalos de la forma [x, y)con y > x. Pruebe que el espacio (X, τ) es normal. ¿Es ésteun espacio T 4 ?4. Pruebe que si X es el espacio del ejercicio anterior, entoncesX ×X no es normal. (Sugerencia: Utilice el Lema de Jones.)5. Demuestre que todo subespacio cerrado de un espacio normal(resp. de un espacio T 4 ) es normal (resp. T 4 ).6. Suponga que X y Y son espacios topológicos y que X × Yes un espacio normal. ¿Son X y Y espacios normales? Justifiquesu respuesta con una demostración o con un contraejemplo.Regresar171

Ejercicios 5.61. Suponga que A es conjunto cerrado de un espacio topológicoX. Muestre que cualquier función f : A −→ R se puedeextender a todo X.2. Suponga que A es conjunto cerrado de un espacio métricoX. Muestre que cualquier función f : A −→ R n se puedeextender a todo X. ¿Qué sucede si X no es un espaciométrico?3. Encuentre una función continua definida de R 2 {(0, 0)}en [−1, 1] que no se pueda extender a todo el plano R 2 .Regresar172

Ejercicios 5.71. Pruebe que el Plano de Moore es un espacio 1-enumerablepero que no es 2-enumerable. ¿Es este espacio separable?2. Pruebe que el conjunto de los números reales con la topologíagenerada por los intervalos de la forma (a, b] es un espacio1-enumerable. ¿Es este espacio 2-enumerable? ¿Es separable?3. Dé un ejemplo de un espacio métrico 1-enumerable que nosea 2-enumerable.4. Dé un ejemplo de un espacio métrico que no sea separable.5. Pruebe que cualquier subespacio de un espacio 1-enumerable(resp. 2-enumerable) es 1-enumerable (resp. 2-enumerable).6. Pruebe que el producto de cualquier colección enumerablede espacios 1-enumerables (resp. 2-enumerable) es 1-enumerable(resp. 2-enumerable). ¿Qué ocurre si la colección noes enumerable?7. ¿Es cada subespacio de un espacio separable también separable?8. ¿Es el producto de una colección de espacios separablestambién separable?9. Muestre que si X es 2-enumerable, entonces cualquier colecciónde subconjuntos abiertos y disyuntos de x es enumerable.173

10. Sea X un espacio 2-enumerable. Pruebe que si A ⊂ X esno enumerable, entonces la topología de subespacio de Ano es la topología discreta.11. Muestre que si X es un espacio métrico separable, entoncesX es 2-enumerable.Regresar174