Notas de TopologÂ´Ä±a Clara M. Neira U. - UN Virtual

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un conjunto X con las propiedades “adecuadas” para ser sistemasfundamentales de vecindades de los puntos de X, permitengenerar una topología sobre X como lo muestra el siguienteresultado.2.3.6 Proposición. Sea X un conjunto. Si para cada x ∈ X seha asignado una colección B(x) de subconjuntos de X tal que:1. x ∈ V para cada V ∈ B(x),2. si U, V ∈ B(x) entonces existe W ∈ B(x) tal que W ⊂U ∩ V ,3. si U ∈ B(x) entonces existe V ∈ B(x) tal que para caday ∈ V , existe W ∈ B(y) con W ⊂ U,entonces existe una topología sobre X tal que para cada x ∈ Xla colección B(x) es un sistema fundamental de vecindades de x.Demostración. Para cada x ∈ X la colección V(x) = {U ⊂X : V ⊂ U para algún V ∈ B(x)} satisface las hipótesis de laproposición 2.3.3, luego existe una topología sobre X tal quepara cada x ∈ X se tiene que V(x) es la colección de todaslas vecindades de x. Resulta inmediato que B(x) es un sistemafundamental de vecindades de x para cada x ∈ X.2.3.7 Ejemplos.1. Los conjuntos de la forma [x, y) con x < y forman un sistemafundamental de vecindades de x para una topologíasobre R. En efecto, si x < y entonces x ∈ [x, y), si x < yy x < z y se tiene x < w < mín{y, z} entonces [x, w) ⊂39
[x, y) ∩ [x, z) y finalmente, si x < y y z ∈ [x, y) entonces[z, y) ⊂ [x, y).2.Sea Γ = {(x, y) ∈ R 2 : y ≥ 0}. Si y > 0 las vecindadesbásicas de z = (x, y) serán las bolas abiertas usuales centradasen z con radio menor o igual que y y si y ′ = 0, lasvecindades básicas de z ′ = (x ′ , y ′ ) son los conjuntos de laforma {z ′ } ∪ A donde A es una bola abierta contenida en Γtangente al eje real en z ′ .El espacio topológico que se obtiene recibe el nombre dePlano de Moore.40
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K = {(x 1 , x 2 ) : f(x 1 ) = f(x 2
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tal que B(b, δ b ) ∩ A = ∅. El
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1. El conjunto U 1 es un conjunto a
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cada i = 1, ..., N, escogemos una v
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En los espacios 1-enumerables, las
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3. Cualquier subespacio de un espac
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Ejercicios 0.51. Dé un ejemplo de
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e) Dé un contraejemplo que muestre
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)c)∏i∈I (X i ∪ Y i ) = ∏ i
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h) (x 1 , y 1 ) ∼ (x 2 , y 2 ) si
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Ejercicios 0.81. Demuestre que Q es
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g) En el conjunto C(I) de todas las
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Ejercicios 2.11. Pruebe que la cole
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Ejercicios 2.21. Describa todas las
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7. Sea Γ = {(x, y) ∈ R 2 : y ≥
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Ejercicios 2.71. Demuestre la Propo
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Ejercicios 4.11. Demuestre que si Y
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Ejercicios 4.21. Sean X y Y dos esp
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Ejercicios 4.31. Sea (X i ) i∈I u
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6. Pruebe que el espacio de Sierpin
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5. Demuestre que el espacio topoló
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Ejercicios 5.41. Demuestre que todo
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Ejercicios 5.51. Demuestre que un e
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Ejercicios 5.71. Pruebe que el Plan
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