Notas de TopologÂ´Ä±a Clara M. Neira U. - UN Virtual

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3. Cualquier subespacio de un espacio 2-enumerable es 2-enumerable.4. El producto de cualquier colección enumerable de espacios2-enumerables es 2-enumerable.Terminamos esta sección estudiando los espacios separables.Antes de abordar la definición, recordemos que un subconjuntoA de un espacio topológico X es denso en X si A = X.5.7.7 Definición. Un espacio topológico X es separable si contieneun subconjunto denso enumerable.Los números reales con la topología usual son un ejemplo deun espacio separable, pero no todo espacio métrico tiene estapropiedad.De la definición se obtiene que todo espacio X que sea 2-enumerablees separable. En efecto, si (B n ) n∈N es una base para latopología de X y si b n ∈ B n para cada n ∈ N, entonces elconjunto {b n : n ∈ N} es denso en X; porque si x ∈ X y V esuna vecindad de x, existe n ∈ N tal que x ∈ B n y B n ⊂ V .Entonces b n ∈ V .Ejercicios115
Ejercicios 0.1-21. Demuestre con todo detalle cada una de las siguientes afirmaciones:a) A ∪ A = A y A ∩ A = A para cada conjunto A.b) A ∪ ∅ = A y A ∩ ∅ = ∅ para cada conjunto A.c) A ∪ B = B ∪ A y A ∩ B = B ∩ A para todo conjuntoA y todo conjunto B.d) A ∪ B = A si y sólo si B ⊂ A.e) A ∩ B = A si y sólo si A ⊂ B.f )A ∪ (B ∪ C) = (A ∪ B) ∪ C para A, B y C conjuntosarbitrarios.g) A ∩ (B ∩ C) = (A ∩ B) ∩ C para A, B y C conjuntosarbitrarios.h) A∪(B∩C) = (A∪B)∩(A∪C) para A, B y C conjuntosarbitrarios.i) A∩(B∪C) = (A∩B)∪(A∩C) para A, B y C conjuntosarbitrarios.j ) Si A y B son subconjuntos de X entonces (A ∪ B) c =A c ∩ B c .k) Si A y B son subconjuntos de X entonces (A ∩ B) c =A c ∪ B c .2. Escriba los siguientes conjuntos en términos de uniones eintersecciones de los conjuntos A, B y C.a) {x : x ∈ A y (x ∈ B o x ∈ C)}.b) {x : x ∈ A o (x ∈ B y x ∈ C)}.116
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Notas de TopologíaClara M. Neira U
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elementos del conjunto A pertenecen
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Además se satisfacen las siguiente
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0.3. Uniones e intersecciones arbit
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1. Para cada x ∈ X existe y ∈ Y
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0.6. Productos arbitrariosHasta aho
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1. (Reflexividad) x ∼ x para todo
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|X| = ℵ 0 . Si X es equipotente c
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eal M > 0 tal que |f(x)| < M para t
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Nótese que en un espacio seudomét
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De la misma forma si se escoge b
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Una de las propiedades más bonitas
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Consideremos un espacio métrico X.
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Capítulo 2Espacios TopológicosLa
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La colección de todos los conjunto
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3. Sea X un conjunto cualquiera. La
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Esto implica que la topologíausual
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2. Si U, V ∈ V(x) entonces U ∩
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3. Si A es una familia de conjuntos
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un conjunto X con las propiedades
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3.Para cada punto z del planodefini
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La unión arbitraria de conjuntos c
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Si X es un espacio topológico y A
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1. A ⊂ A para cada A ⊂ X.2. A =
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3. Si X es un conjunto infinito y p
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2.7. Interior, exterior y frontera
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2.7.5 Ejemplos.1. En R con la topol
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2. En R con topología usual, la fr
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subespacio de X. Esto es, considera
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4. Si a ∈ A y si B(a) es un siste
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3.1.1 Definición. Sean X y Y espac
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3.1.5 Ejemplo. Consideremos el inte
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Page 126 and 127: )c)∏i∈I (X i ∪ Y i ) = ∏ i
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Page 138 and 139: Ejercicios 2.11. Pruebe que la cole
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Page 146 and 147: 9. Sea X cualquier conjunto. Diremo
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6. Pruebe que el espacio de Sierpin
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5. Demuestre que el espacio topoló
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Ejercicios 5.41. Demuestre que todo
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Ejercicios 5.51. Demuestre que un e
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Ejercicios 5.71. Pruebe que el Plan
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