Notas de Topolog´ıa Clara M. Neira U. - UN Virtual

1. f es continua.2. Si K es un subconjunto cerrado de Y , entonces f −1 (K) esun subconjunto cerrado de X.3. Si A ⊂ X, entonces f(A) ⊂ f(A).Demostración.1. → 2. Nótese que (f −1 (K)) c = f −1 (K c ). Así, si K es cerradoen Y , K c es abierto; y como f es continua, f −1 (K c ) es abiertoen X, o lo que es lo mismo, f −1 (K) es cerado.2. → 3. Sea A ⊂ X. Se tiene que f −1 (f(A)) es un subconjuntocerrado de X y A ⊂ f −1 (f(A)), entonces A ⊂ f −1 (f(A)) estoimplica que f(A) ⊂ f(A).3. → 1. Sea O un subconjunto abierto de Y . Nótese en primerlugar queX X f −1 (O) ⊂ f −1 (O).Por otro lado, si x ∈ X f −1 (O), entonces f(x) ∈ f(X f −1 (O)),luego f(x) ∈ f(X f −1 (O)) lo cual es imposible si x ∈ f −1 (O);la razón de esta afirmación es que x ∈ f −1 (O) implica que O esuna vecindad de f(x) que claramente no tiene puntos en comúncon f(X f −1 (O)).Hemos demostrado queEsto completa la prueba.f −1 (O) ⊂ X X f −1 (O).El siguiente resultado es supremamente importante; ya que nosólo facilita gran cantidad de cálculos, sino que, en estudios posteriores,permite presentar a los espacios topológicos con las funcionescontinuas como una categoría.64