Notas de TopologÂ´Ä±a Clara M. Neira U. - UN Virtual

More documents

Recommendations

Info

7. Utilice el ejercicio anterior para probar que toda funcióncontinua definida de R en R aplica intervalos en intervalos.8. Dé un ejemplo de una función definida de R en R queaplique intervalos en intervalos y no sea una función continua.9. Sea f : X −→ Y una función continua. Determine cuálesde las siguientes afirmaciones son verdaderas y cu”ales sonfalsas, justificando en cada caso su respuesta con una demostracióno un contraejemplo.a) Si A ⊂ X y x ∈ A, entonces f(x) ∈ f(A).b) Si A ⊂ X y x ∈ A ◦ , entonces f(x) ∈ f(A) ◦ .c) Si A ⊂ X y x ∈ A ′ , entonces f(x) ∈ (f(A)) ′ .10. Sean X un espacio topológico y (x n ) n∈N una sucesión en X(formalmente, una sucesión en X es una función de N enX). Decimos que (x n ) n∈N converge a un punto x ∈ X si ysólo si para toda vecindad V de x existe N ∈ N tal quex n ∈ V para cada n ≥ N.a) Demuestre que la sucesión(1 − 1 )nn∈Nconverge a 1 enR con la topología usual; pero que no converge si sobreR consideramos la topología generada por los intervalosde la forma (a, b].b) Demuestre que si X y Y son espacios métricos, entoncesuna función f : X −→ Y es continua si y sólo si paracada sucesión (x n ) n∈N que converge a un punto x ∈ X,la sucesión (f(x n )) n∈N converge a f(x) en Y .153
c) Sean X y Y espacios topológicos. Pruebe que si f :X −→ Y es continua, entonces para cada sucesión(x n ) n∈N que converge a un punto x ∈ X, la sucesión(f(x n )) n∈N converge a f(x) en Y .Regresar154
Page 1 and 2:
Notas de TopologíaClara M. Neira U
Page 3 and 4:
elementos del conjunto A pertenecen
Page 5 and 6:
Además se satisfacen las siguiente
Page 7 and 8:
0.3. Uniones e intersecciones arbit
Page 9 and 10:
1. Para cada x ∈ X existe y ∈ Y
Page 11 and 12:
0.6. Productos arbitrariosHasta aho
Page 13 and 14:
1. (Reflexividad) x ∼ x para todo
Page 15 and 16:
|X| = ℵ 0 . Si X es equipotente c
Page 18 and 19:
eal M > 0 tal que |f(x)| < M para t
Page 20 and 21:
Nótese que en un espacio seudomét
Page 22 and 23:
De la misma forma si se escoge b
Page 24 and 25:
Una de las propiedades más bonitas
Page 26 and 27:
Consideremos un espacio métrico X.
Page 28 and 29:
Capítulo 2Espacios TopológicosLa
Page 30 and 31:
La colección de todos los conjunto
Page 32 and 33:
3. Sea X un conjunto cualquiera. La
Page 34 and 35:
Esto implica que la topologíausual
Page 36 and 37:
2. Si U, V ∈ V(x) entonces U ∩
Page 38 and 39:
3. Si A es una familia de conjuntos
Page 40 and 41:
un conjunto X con las propiedades
Page 42 and 43:
3.Para cada punto z del planodefini
Page 44 and 45:
La unión arbitraria de conjuntos c
Page 46 and 47:
Si X es un espacio topológico y A
Page 48 and 49:
1. A ⊂ A para cada A ⊂ X.2. A =
Page 50 and 51:
3. Si X es un conjunto infinito y p
Page 52 and 53:
2.7. Interior, exterior y frontera
Page 54 and 55:
2.7.5 Ejemplos.1. En R con la topol
Page 56 and 57:
2. En R con topología usual, la fr
Page 58 and 59:
subespacio de X. Esto es, considera
Page 60 and 61:
4. Si a ∈ A y si B(a) es un siste
Page 62 and 63:
3.1.1 Definición. Sean X y Y espac
Page 64 and 65:
3.1.5 Ejemplo. Consideremos el inte
Page 66 and 67:
3.1.7 Teorema. Si f : X −→ Y y
Page 68 and 69:
X. Ahora bien, f −1 (K) = ⋃ i=1
Page 70 and 71:
de los espacios tienen su contrapar
Page 72 and 73:
La inclusión de un subespacio en u
Page 74 and 75:
La colección B de todas las inters
Page 76 and 77:
4.2.1 Definición. Sean X y Y dos e
Page 78 and 79:
4.3.1∏Definición. Definimos la t
Page 80 and 81:
En cualquier caso, α −1 (πA −
Page 82 and 83:
4.4. Estructuras finales - Topolog
Page 84 and 85:
De manera recíproca, Si O es un su
Page 86 and 87:
clase de equivalencia de un punto (
Page 88 and 89:
2. Si ϕ([x]) = ϕ([y]), entonces f
Page 90 and 91:
5.1.2 Ejemplos.1. El espacio de Sie
Page 92 and 93:
5.1.3 Definición. Un espacio topol
Page 94 and 95:
como el radio de las vecindades esc
Page 96 and 97:
K = {(x 1 , x 2 ) : f(x 1 ) = f(x 2
Page 98 and 99:
1. Sea X un conjunto dotado con la
Page 100 and 101:
Ejercicios5.4. Espacios completamen
Page 102 and 103:
menos que cada conjunto unitario en
Page 104 and 105: tal que B(b, δ b ) ∩ A = ∅. El
Page 106 and 107: 5.5.7 Ejemplos.1. El Plano de Moore
Page 108 and 109: 1. El conjunto U 1 es un conjunto a
Page 110 and 111: 5.6.3 Definición. Sean A ⊂ X y f
Page 112 and 113: cada i = 1, ..., N, escogemos una v
Page 114 and 115: En los espacios 1-enumerables, las
Page 116 and 117: 3. Cualquier subespacio de un espac
Page 118 and 119: c) {(x : x ∈ A y x ∈ B) o x ∈
Page 120 and 121: d) Si⋃x ∈ A para cada elemento
Page 122 and 123: Ejercicios 0.51. Dé un ejemplo de
Page 124 and 125: e) Dé un contraejemplo que muestre
Page 126 and 127: )c)∏i∈I (X i ∪ Y i ) = ∏ i
Page 128 and 129: h) (x 1 , y 1 ) ∼ (x 2 , y 2 ) si
Page 130 and 131: Ejercicios 0.81. Demuestre que Q es
Page 132 and 133: g) En el conjunto C(I) de todas las
Page 134 and 135: Ejercicios 1.21. Demuestre que si X
Page 136 and 137: Ejercicios 1.31. Sea X un espacio m
Page 138 and 139: Ejercicios 2.11. Pruebe que la cole
Page 140 and 141: Ejercicios 2.21. Describa todas las
Page 142 and 143: 7. Sea Γ = {(x, y) ∈ R 2 : y ≥
Page 144 and 145: a) Sean τ la topología usual sobr
Page 146 and 147: 9. Sea X cualquier conjunto. Diremo
Page 148 and 149: Ejercicios 2.61. Explique clarament
Page 150 and 151: Ejercicios 2.71. Demuestre la Propo
Page 152 and 153: Ejercicios 2.81. Demuestre que cual
Page 156 and 157: Ejercicios 3.21. Sean X y Y espacio
Page 158 and 159: Ejercicios 4.11. Demuestre que si Y
Page 160 and 161: Ejercicios 4.21. Sean X y Y dos esp
Page 162 and 163: Ejercicios 4.31. Sea (X i ) i∈I u
Page 164 and 165: Ejercicios 4.51. Demuestre que si f
Page 166 and 167: 6. Pruebe que el espacio de Sierpin
Page 168 and 169: 5. Demuestre que el espacio topoló
Page 170 and 171: Ejercicios 5.41. Demuestre que todo
Page 172 and 173: Ejercicios 5.51. Demuestre que un e
Page 174 and 175: Ejercicios 5.71. Pruebe que el Plan
show all

Notas de TopologÂ´Ä±a Clara M. Neira U. - UN Virtual

Create successful ePaper yourself

Delete template?

Save as template?