Notas de Topolog´ıa Clara M. Neira U. - UN Virtual

En cualquier caso, α −1 (πA −1 (O)) es un conjunto aberto enel espacio de Sierpinski, luego α es continua.2. Sea A un subconjunto abierto de X. Se tiene = {̂x : x ∈ A}= π −1A ({0}),entonces α es una función abierta. En particular, es abiertasobre su imagen.3. Sean x y y elementos distintos de X. Por hipótesis, existeuna vecindad abierta V de uno de los puntos, digamos de x,que no contiene al otro. Es decir y /∈ V. Entonces ŷ(V ) = 1y ̂x(V ) = 0. Se concluye que ̂x ≠ ŷ y que α es uno a uno.En el ejemplo anterior resultó indispensable que el espacio topológicoX tuviera una propiedad especial para que fuera posiblesumergirlo, por medio de la aplicación α, en un producto deespacios de Sierpinski. Esta es una operación que no se puederealizar con todo espacio topológico.El siguiente ejemplo muestra cómo, sorprendentemente, todo espaciotopológico es un subespacio de un producto de espacios detres puntos.4.3.3 Ejemplo. Consideremos el conjunto C = {0, 1, 2} conla topología {∅, {0}, C}. Llamaremos al espacio topológico Cel espacio de Sierpinski de tres puntos.Sea (X, τ) un espacio topológico cualquiera y consideremos elespacio producto ∏ A∈P(X) C A, donde C A = C para cada A ∈P(X).79