Notas de TopologÂ´Ä±a Clara M. Neira U. - UN Virtual

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Capítulo 0Teoría de ConjuntosEn esta sección se presentan muy brevemente conceptos básicosde la Teoría de Conjuntos así como la notación que se utilizará enadelante. Suponemos al lector familiarizado con estas definicionesy resultados por lo cual no incluiremos demostraciones.0.1. Definiciones básicasAsumimos que el significado de la palabra “conjunto”es intuitivamenteclaro y, como es costumbre, utilizaremos preferiblementeletras mayúsculas A, B, ... para denotar los conjuntosy letras minúsculas a, b, ... para denotar los elementos de unconjunto.Si a y b son elementos distintos, escribiremos a ≠ b y con A ≠ Bestamos indicando que A y B son conjuntos distintos.Si un elemento a pertenece al conjunto A utilizaremos la notacióna ∈ A y si deseamos expresar que a no es un elementodel conjunto A escribiremos a /∈ A. Para indicar que todos los1
elementos del conjunto A pertenecen también al conjunto B, estoes que que A es un subconjunto de B o que el conjunto Aestá contenido en B, escribiremos A ⊂ B y si deseamos especificarque, aunque A es un subconjunto de B, existen elementosde B que no pertenecen a A, escribiremos A B. En este casodiremos que A es un subconjunto propio de B. Como es natural,si A ⊂ B y B ⊂ A entonces A y B tienen los mismos elementosy escribiremos A = B.Para describir un conjunto podemos listar de manera explícitasus elementos como cuando escribimos A = {2, 3, 5, 7}, o indicaruna propiedad que los caracterice, como cuando utilizamosla notaciónA = {x : x es un número primo menor que 10}o equivalentementeA = {x|x es un número primo menor que 10}.Denotamos con el símbolo ∅ al conjunto vacío y afirmamos que∅ ⊂ X para todo conjunto X.Si X es un conjunto cualquiera, la colección de todos los subconjuntosde X es un conjunto que denotamos con el símboloP(X) y llamamos el conjunto “partes de X”.2
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Page 32 and 33: 3. Sea X un conjunto cualquiera. La
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Page 36 and 37: 2. Si U, V ∈ V(x) entonces U ∩
Page 38 and 39: 3. Si A es una familia de conjuntos
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Page 46 and 47: Si X es un espacio topológico y A
Page 48 and 49: 1. A ⊂ A para cada A ⊂ X.2. A =
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2.7. Interior, exterior y frontera
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2.7.5 Ejemplos.1. En R con la topol
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2. En R con topología usual, la fr
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subespacio de X. Esto es, considera
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4. Si a ∈ A y si B(a) es un siste
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3.1.1 Definición. Sean X y Y espac
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3.1.5 Ejemplo. Consideremos el inte
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3.1.7 Teorema. Si f : X −→ Y y
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X. Ahora bien, f −1 (K) = ⋃ i=1
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de los espacios tienen su contrapar
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La inclusión de un subespacio en u
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La colección B de todas las inters
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4.2.1 Definición. Sean X y Y dos e
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4.3.1∏Definición. Definimos la t
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En cualquier caso, α −1 (πA −
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4.4. Estructuras finales - Topolog
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De manera recíproca, Si O es un su
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clase de equivalencia de un punto (
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2. Si ϕ([x]) = ϕ([y]), entonces f
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5.1.2 Ejemplos.1. El espacio de Sie
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5.1.3 Definición. Un espacio topol
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como el radio de las vecindades esc
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K = {(x 1 , x 2 ) : f(x 1 ) = f(x 2
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1. Sea X un conjunto dotado con la
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Ejercicios5.4. Espacios completamen
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menos que cada conjunto unitario en
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tal que B(b, δ b ) ∩ A = ∅. El
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5.5.7 Ejemplos.1. El Plano de Moore
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1. El conjunto U 1 es un conjunto a
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5.6.3 Definición. Sean A ⊂ X y f
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cada i = 1, ..., N, escogemos una v
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En los espacios 1-enumerables, las
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3. Cualquier subespacio de un espac
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c) {(x : x ∈ A y x ∈ B) o x ∈
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d) Si⋃x ∈ A para cada elemento
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Ejercicios 0.51. Dé un ejemplo de
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e) Dé un contraejemplo que muestre
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)c)∏i∈I (X i ∪ Y i ) = ∏ i
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h) (x 1 , y 1 ) ∼ (x 2 , y 2 ) si
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Ejercicios 0.81. Demuestre que Q es
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g) En el conjunto C(I) de todas las
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Ejercicios 1.21. Demuestre que si X
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Ejercicios 1.31. Sea X un espacio m
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Ejercicios 2.11. Pruebe que la cole
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Ejercicios 2.21. Describa todas las
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7. Sea Γ = {(x, y) ∈ R 2 : y ≥
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a) Sean τ la topología usual sobr
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9. Sea X cualquier conjunto. Diremo
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Ejercicios 2.61. Explique clarament
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Ejercicios 2.71. Demuestre la Propo
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Ejercicios 2.81. Demuestre que cual
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7. Utilice el ejercicio anterior pa
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Ejercicios 3.21. Sean X y Y espacio
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Ejercicios 4.11. Demuestre que si Y
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Ejercicios 4.21. Sean X y Y dos esp
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Ejercicios 4.31. Sea (X i ) i∈I u
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Ejercicios 4.51. Demuestre que si f
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6. Pruebe que el espacio de Sierpin
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5. Demuestre que el espacio topoló
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Ejercicios 5.41. Demuestre que todo
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Ejercicios 5.51. Demuestre que un e
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Ejercicios 5.71. Pruebe que el Plan
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