Notas de TopologÂ´Ä±a Clara M. Neira U. - UN Virtual

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Capítulo 2Espacios TopológicosLa distancia definida en un espacio métrico da lugar al conceptode bola abierta, que a su vez permite hablar de las vecindadesde un punto y de los conjuntos abiertos en el espacio. En estecapítulo generalizamos estas ideas a otros conjuntos en los queno necesariamente se tiene la noción de distancia.2.1. Bases para una topología - Conjuntos abiertosHemos visto que en un espacio métrico (X, d) las bolas abiertassatisfacen las siguientes propiedades:⋃1.x∈X,ɛ>0B(x, ɛ) = X.2. Si a, b ∈ X, si ɛ, δ > 0 y si x ∈ B(a, ɛ) ∩ B(b, δ) entoncesexiste γ > 0 tal que B(x, γ) ⊂ B(a, ɛ) ∩ B(b, δ).Con estas propiedades en mente y teniendo en cuenta que lacolección de bolas abiertas en un espacio métrico da lugar aconceptos tan importantes como el concepto de vecindad y el de27
conjunto abierto que nos permiten estudiar el espacio métrico aprofundidad, formulamos la siguiente definición:2.1.1 Definición. Sea X un conjunto. Una colección B de subconjuntosde X es una base para una topología sobre X si sesatisfacen las siguientes condiciones:⋃1.B∈B B = X.2. Si B 1 , B 2 ∈ B y x ∈ B 1 ∩ B 2 entonces existe C ∈ B talque x ∈ C y C ⊂ B 1 ∩ B 2 .La primera condición nos dice que todo elemento de X debepertenecer a un elemento de B y la segunda que la intersecciónde dos elementos de la colección B se puede expresar como unaunión de elementos de la misma colección.2.1.2 Ejemplos.1. La colección de todas las bolas abiertas en un espacio métricoX es una base para una topología sobre X.2. La colección de todos los intervalos de la forma [a, b) con ay b números reales y a de en los espacios métricos, el concepto de basepara una topología da lugar al concepto de conjunto abierto.2.1.3 Definición. Sean X un conjunto y B una base para unatopología sobre X. Un subconjunto A de X es un conjuntoabierto en X si es unión de una familia de elementos de B.28
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Page 32 and 33: 3. Sea X un conjunto cualquiera. La
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Page 36 and 37: 2. Si U, V ∈ V(x) entonces U ∩
Page 38 and 39: 3. Si A es una familia de conjuntos
Page 40 and 41: un conjunto X con las propiedades
Page 42 and 43: 3.Para cada punto z del planodefini
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Page 48 and 49: 1. A ⊂ A para cada A ⊂ X.2. A =
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Page 54 and 55: 2.7.5 Ejemplos.1. En R con la topol
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4.3.1∏Definición. Definimos la t
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En cualquier caso, α −1 (πA −
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4.4. Estructuras finales - Topolog
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De manera recíproca, Si O es un su
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clase de equivalencia de un punto (
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2. Si ϕ([x]) = ϕ([y]), entonces f
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5.1.2 Ejemplos.1. El espacio de Sie
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5.1.3 Definición. Un espacio topol
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como el radio de las vecindades esc
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K = {(x 1 , x 2 ) : f(x 1 ) = f(x 2
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1. Sea X un conjunto dotado con la
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Ejercicios5.4. Espacios completamen
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menos que cada conjunto unitario en
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tal que B(b, δ b ) ∩ A = ∅. El
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5.5.7 Ejemplos.1. El Plano de Moore
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1. El conjunto U 1 es un conjunto a
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5.6.3 Definición. Sean A ⊂ X y f
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cada i = 1, ..., N, escogemos una v
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En los espacios 1-enumerables, las
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3. Cualquier subespacio de un espac
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c) {(x : x ∈ A y x ∈ B) o x ∈
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d) Si⋃x ∈ A para cada elemento
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Ejercicios 0.51. Dé un ejemplo de
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e) Dé un contraejemplo que muestre
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)c)∏i∈I (X i ∪ Y i ) = ∏ i
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h) (x 1 , y 1 ) ∼ (x 2 , y 2 ) si
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Ejercicios 0.81. Demuestre que Q es
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g) En el conjunto C(I) de todas las
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Ejercicios 1.21. Demuestre que si X
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Ejercicios 1.31. Sea X un espacio m
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Ejercicios 2.11. Pruebe que la cole
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Ejercicios 2.21. Describa todas las
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7. Sea Γ = {(x, y) ∈ R 2 : y ≥
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a) Sean τ la topología usual sobr
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9. Sea X cualquier conjunto. Diremo
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Ejercicios 2.71. Demuestre la Propo
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Ejercicios 2.81. Demuestre que cual
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7. Utilice el ejercicio anterior pa
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Ejercicios 3.21. Sean X y Y espacio
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Ejercicios 4.11. Demuestre que si Y
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Ejercicios 4.21. Sean X y Y dos esp
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Ejercicios 4.31. Sea (X i ) i∈I u
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Ejercicios 4.51. Demuestre que si f
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6. Pruebe que el espacio de Sierpin
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5. Demuestre que el espacio topoló
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Ejercicios 5.41. Demuestre que todo
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Ejercicios 5.51. Demuestre que un e
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Ejercicios 5.71. Pruebe que el Plan
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