Notas de Topolog´ıa Clara M. Neira U. - UN Virtual

centrada en z está contenida en π −1 (A). Se tiene que(a−ɛ, a+ɛ) ⊂ f(A). Concluimos que f es una funciónabierta.4.5.2 Observación. Consideremos una función f : X −→ Y .La relación R f definida sobre X por x R f y si y sólo si f(x) =f(y) es una relación de equivalencia. En efecto,1. f(x) = f(x) para cada x ∈ X, luego R f es reflexiva.2. Si f(x) = f(y) entonces f(y) = f(x), de donde R f essimétrica.3. Si f(x) = f(y) y f(y) = f(z) entonces f(x) = f(z), portanto R f es transitiva.4.5.3 Definición. Sean X y Y espacios topológicos y f :X −→ Y una función sobreyectiva. Si Y tiene la topología finalinducida por f entonces f se llama una aplicación cociente.El término “aplicación cociente”queda ampliamente justificadocon el siguiente resultado.4.5.4 Proposición. Si f : X −→ Y es una aplicación cociente,entonces Y y X/R f son homeomorfos.Demostración. Consideremos la función ϕ : X/R f −→ Y definidapor ϕ([x]) = f(x).1. Si [x] = [y] entonces f(x) = f(y), luego ϕ es una funciónbien definida.86