Notas de TopologÂ´Ä±a Clara M. Neira U. - UN Virtual

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)c)∏i∈I (X i ∪ Y i ) = ∏ i∈I X i ∪ ∏ i∈I Y i.∏i∈I (X i ∩ Y i ) = ∏ i∈I X i ∩ ∏ i∈I Y i.Regresar125
Ejercicios 0.71. Determine cuáles de las siguientes relaciones definidas sobreR son relaciones de equivalencia. Para cada relación deequivalencia que encuentre determine las clase de equivalenciade cada x ∈ R.a) x ∼ y sii x − y ∈ Z.b) x ∼ y sii x − y ∈ Q.c) x ∼ y sii x − y ∈ R.d) x ∼ y sii xy ∈ Z.e) x ∼ y sii xy ∈ Q.f ) x ∼ y sii x ≤ y.g) x ∼ y sii |x| = |y|.h) x ∼ y sii x = 2y.2. Determine cuáles de las siguientes relaciones definidas sobreR 2 son relaciones de equivalencia. Para cada relaciónde equivalencia que encuentre determine las clase de equivalenciade cada (x, y) ∈ R 2 .a) (x 1 , y 1 ) ∼ (x 2 , y 2 ) sii x 1 − y 2 ∈ Z.b) (x 1 , y 1 ) ∼ (x 2 , y 2 ) sii x 2 − y 1 ∈ Q.c) (x 1 , y 1 ) ∼ (x 2 , y 2 ) sii x 1 − y 2 ∈ R.d) (x 1 , y 1 ) ∼ (x 2 , y 2 ) sii x 1 y 2 ∈ Z.e) (x 1 , y 1 ) ∼ (x 2 , y 2 ) sii x 1 y 2 ∈ Q.f ) (x 1 , y 1 ) ∼ (x 2 , y 2 ) sii y 1 ≤ x 2 .g) (x 1 , y 1 ) ∼ (x 2 , y 2 ) sii √ x 2 1 + y2 1 = √ x 2 2 + y2 2 .126
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Notas de TopologíaClara M. Neira U
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elementos del conjunto A pertenecen
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Además se satisfacen las siguiente
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0.3. Uniones e intersecciones arbit
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1. Para cada x ∈ X existe y ∈ Y
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0.6. Productos arbitrariosHasta aho
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1. (Reflexividad) x ∼ x para todo
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|X| = ℵ 0 . Si X es equipotente c
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eal M > 0 tal que |f(x)| < M para t
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Nótese que en un espacio seudomét
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De la misma forma si se escoge b
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Una de las propiedades más bonitas
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Consideremos un espacio métrico X.
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Capítulo 2Espacios TopológicosLa
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La colección de todos los conjunto
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3. Sea X un conjunto cualquiera. La
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Esto implica que la topologíausual
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2. Si U, V ∈ V(x) entonces U ∩
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3. Si A es una familia de conjuntos
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un conjunto X con las propiedades
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3.Para cada punto z del planodefini
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La unión arbitraria de conjuntos c
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Si X es un espacio topológico y A
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1. A ⊂ A para cada A ⊂ X.2. A =
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3. Si X es un conjunto infinito y p
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2.7. Interior, exterior y frontera
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2.7.5 Ejemplos.1. En R con la topol
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2. En R con topología usual, la fr
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subespacio de X. Esto es, considera
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4. Si a ∈ A y si B(a) es un siste
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3.1.1 Definición. Sean X y Y espac
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3.1.5 Ejemplo. Consideremos el inte
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3.1.7 Teorema. Si f : X −→ Y y
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X. Ahora bien, f −1 (K) = ⋃ i=1
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de los espacios tienen su contrapar
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La inclusión de un subespacio en u
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La colección B de todas las inters
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Page 146 and 147: 9. Sea X cualquier conjunto. Diremo
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Page 154 and 155: 7. Utilice el ejercicio anterior pa
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Page 166 and 167: 6. Pruebe que el espacio de Sierpin
Page 168 and 169: 5. Demuestre que el espacio topoló
Page 170 and 171: Ejercicios 5.41. Demuestre que todo
Page 172 and 173: Ejercicios 5.51. Demuestre que un e
Page 174 and 175: Ejercicios 5.71. Pruebe que el Plan
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