Notas de TopologÂ´Ä±a Clara M. Neira U. - UN Virtual

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Ejercicios 2.11. Pruebe que la colección de todos los intervalos de la forma[a, b) con a y b números reales y a de todos los rectángulos abiertos(es decir, sin sus bordes) es una base para una topologíasobre el plano.3. Para ceda entero positivo n, sea S n = {n, n+1, ...}. Muestreque la colección de todos los subconjuntos de N que contienena algún S n es una base para una topología sobreN.4. Sean X un conjunto y S una colección de subconjuntos deX. Sea B la colección de todas las intersecciones finitas deelementos de S.a) Demuestre que la unión de la colección B es X. (Sugerencia:Considere la intersección de una familia vacíade elementos de S.)b) Pruebe que si A y B pertenecen a B y si x ∈ A ∩ B,entonces existe C ∈ B tal que x ∈ C y C ⊂ A ∩ B.Se ha demostrado que B es una base para una topologíasobre X. La colección S es una sub-base para la topología,que genera la base B. Los elementos de S se dicen ser subbásicos.5. Considere la colección S de conjuntos de la forma (−∞, a)junto con los conjuntos de la forma (b, ∞). Esta colecciónes una sub-base para una topología sobre R.137
a) Describa la base B generada por S.b) Describa los conjuntos abiertos generados por B.6. Considere la colección S de todas las lineas rectas en elplano.a) Describa la base B generada por S.b) Describa los conjuntos abiertos generados por B.7. Sea X un conjunto y B una base para una topología sobreX. Demuestre cada una de las siguientes afirmaciones:a) El conjunto vacío ∅ y el conjunto X son conjuntos abiertos.b) Si A y B son conjuntos abiertos en X entonces A ∩ Bes un conjunto abierto en X.c) La unión de cualquier familia de conjuntos abiertos enX es un conjunto abierto en X.Regresar138
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Notas de TopologíaClara M. Neira U
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elementos del conjunto A pertenecen
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Además se satisfacen las siguiente
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0.3. Uniones e intersecciones arbit
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1. Para cada x ∈ X existe y ∈ Y
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0.6. Productos arbitrariosHasta aho
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1. (Reflexividad) x ∼ x para todo
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|X| = ℵ 0 . Si X es equipotente c
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eal M > 0 tal que |f(x)| < M para t
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Nótese que en un espacio seudomét
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De la misma forma si se escoge b
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Una de las propiedades más bonitas
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Consideremos un espacio métrico X.
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Capítulo 2Espacios TopológicosLa
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La colección de todos los conjunto
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3. Sea X un conjunto cualquiera. La
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Esto implica que la topologíausual
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2. Si U, V ∈ V(x) entonces U ∩
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3. Si A es una familia de conjuntos
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un conjunto X con las propiedades
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3.Para cada punto z del planodefini
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La unión arbitraria de conjuntos c
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Si X es un espacio topológico y A
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1. A ⊂ A para cada A ⊂ X.2. A =
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3. Si X es un conjunto infinito y p
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2.7. Interior, exterior y frontera
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2.7.5 Ejemplos.1. En R con la topol
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2. En R con topología usual, la fr
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subespacio de X. Esto es, considera
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4. Si a ∈ A y si B(a) es un siste
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3.1.1 Definición. Sean X y Y espac
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3.1.5 Ejemplo. Consideremos el inte
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3.1.7 Teorema. Si f : X −→ Y y
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X. Ahora bien, f −1 (K) = ⋃ i=1
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de los espacios tienen su contrapar
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La inclusión de un subespacio en u
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La colección B de todas las inters
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4.2.1 Definición. Sean X y Y dos e
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4.3.1∏Definición. Definimos la t
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En cualquier caso, α −1 (πA −
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4.4. Estructuras finales - Topolog
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De manera recíproca, Si O es un su
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clase de equivalencia de un punto (
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Page 166 and 167: 6. Pruebe que el espacio de Sierpin
Page 168 and 169: 5. Demuestre que el espacio topoló
Page 170 and 171: Ejercicios 5.41. Demuestre que todo
Page 172 and 173: Ejercicios 5.51. Demuestre que un e
Page 174 and 175: Ejercicios 5.71. Pruebe que el Plan
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