Notas de TopologÂ´Ä±a Clara M. Neira U. - UN Virtual

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Ejercicios 5.51. Demuestre que un espacio topológico X es normal si y sólosi para cada K subconjunto cerrado de X y cada subconjuntoabierto U de X tal que K ⊂ U, existe un conjuntoabierto V en X tal que K ⊂ V y V ⊂ U.2. Sea (X, ≤) un conjunto ordenado. Recuerde que los conjuntosde la forma {x ∈ X : x < a} junto con los conjuntosde la forma {x ∈ X : a > x} forman una subbase para unatopología sobre X con la cual X es un espacio ordenado.Demuestre que todo espacio ordenado es T 4 .3. Consideremos sobre X = R la topología τ para la cual lasvecindades básicas de x son los intervalos de la forma [x, y)con y > x. Pruebe que el espacio (X, τ) es normal. ¿Es ésteun espacio T 4 ?4. Pruebe que si X es el espacio del ejercicio anterior, entoncesX ×X no es normal. (Sugerencia: Utilice el Lema de Jones.)5. Demuestre que todo subespacio cerrado de un espacio normal(resp. de un espacio T 4 ) es normal (resp. T 4 ).6. Suponga que X y Y son espacios topológicos y que X × Yes un espacio normal. ¿Son X y Y espacios normales? Justifiquesu respuesta con una demostración o con un contraejemplo.Regresar171
Ejercicios 5.61. Suponga que A es conjunto cerrado de un espacio topológicoX. Muestre que cualquier función f : A −→ R se puedeextender a todo X.2. Suponga que A es conjunto cerrado de un espacio métricoX. Muestre que cualquier función f : A −→ R n se puedeextender a todo X. ¿Qué sucede si X no es un espaciométrico?3. Encuentre una función continua definida de R 2 {(0, 0)}en [−1, 1] que no se pueda extender a todo el plano R 2 .Regresar172
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Notas de TopologíaClara M. Neira U
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elementos del conjunto A pertenecen
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Además se satisfacen las siguiente
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0.3. Uniones e intersecciones arbit
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1. Para cada x ∈ X existe y ∈ Y
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0.6. Productos arbitrariosHasta aho
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1. (Reflexividad) x ∼ x para todo
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|X| = ℵ 0 . Si X es equipotente c
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eal M > 0 tal que |f(x)| < M para t
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Nótese que en un espacio seudomét
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De la misma forma si se escoge b
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Una de las propiedades más bonitas
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Consideremos un espacio métrico X.
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Capítulo 2Espacios TopológicosLa
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La colección de todos los conjunto
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3. Sea X un conjunto cualquiera. La
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Esto implica que la topologíausual
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2. Si U, V ∈ V(x) entonces U ∩
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3. Si A es una familia de conjuntos
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un conjunto X con las propiedades
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3.Para cada punto z del planodefini
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La unión arbitraria de conjuntos c
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Si X es un espacio topológico y A
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1. A ⊂ A para cada A ⊂ X.2. A =
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3. Si X es un conjunto infinito y p
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2.7. Interior, exterior y frontera
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2.7.5 Ejemplos.1. En R con la topol
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2. En R con topología usual, la fr
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subespacio de X. Esto es, considera
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4. Si a ∈ A y si B(a) es un siste
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3.1.1 Definición. Sean X y Y espac
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3.1.5 Ejemplo. Consideremos el inte
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3.1.7 Teorema. Si f : X −→ Y y
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X. Ahora bien, f −1 (K) = ⋃ i=1
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de los espacios tienen su contrapar
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La inclusión de un subespacio en u
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La colección B de todas las inters
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4.2.1 Definición. Sean X y Y dos e
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4.3.1∏Definición. Definimos la t
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En cualquier caso, α −1 (πA −
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4.4. Estructuras finales - Topolog
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De manera recíproca, Si O es un su
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clase de equivalencia de un punto (
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2. Si ϕ([x]) = ϕ([y]), entonces f
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5.1.2 Ejemplos.1. El espacio de Sie
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5.1.3 Definición. Un espacio topol
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como el radio de las vecindades esc
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K = {(x 1 , x 2 ) : f(x 1 ) = f(x 2
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1. Sea X un conjunto dotado con la
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Ejercicios5.4. Espacios completamen
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menos que cada conjunto unitario en
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tal que B(b, δ b ) ∩ A = ∅. El
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5.5.7 Ejemplos.1. El Plano de Moore
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1. El conjunto U 1 es un conjunto a
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5.6.3 Definición. Sean A ⊂ X y f
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cada i = 1, ..., N, escogemos una v
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En los espacios 1-enumerables, las
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3. Cualquier subespacio de un espac
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c) {(x : x ∈ A y x ∈ B) o x ∈
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d) Si⋃x ∈ A para cada elemento
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Page 126 and 127: )c)∏i∈I (X i ∪ Y i ) = ∏ i
Page 128 and 129: h) (x 1 , y 1 ) ∼ (x 2 , y 2 ) si
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Page 140 and 141: Ejercicios 2.21. Describa todas las
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Page 146 and 147: 9. Sea X cualquier conjunto. Diremo
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Page 154 and 155: 7. Utilice el ejercicio anterior pa
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Page 162 and 163: Ejercicios 4.31. Sea (X i ) i∈I u
Page 164 and 165: Ejercicios 4.51. Demuestre que si f
Page 166 and 167: 6. Pruebe que el espacio de Sierpin
Page 168 and 169: 5. Demuestre que el espacio topoló
Page 170 and 171: Ejercicios 5.41. Demuestre que todo
Page 174 and 175: Ejercicios 5.71. Pruebe que el Plan
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