Notas de TopologÂ´Ä±a Clara M. Neira U. - UN Virtual

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tal que B(b, δ b ) ∩ A = ∅. El conjunto U = ⋃ a∈A B(a, ɛ a3 ) esabierto y contiene a A y el conjunto V = ⋃ b∈B B(b, δ b3 ) esabierto y contiene a B. Ahora bien, si z ∈ U ∩ V entoncesexisten a ∈ A y b ∈ B de tal manera que d(a, z) < ɛ a3 yd(z, b) < δ b3 . Supongamos que ɛ a ≥ δ b (en caso contrario, elrazonamiento es análogo). Se tiene que d(a, b) ≤ ɛ a3 + δ b3 x. El espacio (R, τ) es normal.5. Cualquier producto de intervalos cerrados y acotados en Rse llama un cubo. En un capítulo posterior veremos quetodo cubo es un espacio normal.Si un espacio normal no es T 1 , es posible que no se puedan separarpuntos de conjuntos cerrados. En otras palabras, un espacionormal puede no ser un espacio regular.103
5.5.3 Ejemplo.Vimos que R con la topología de colas a derecha es un espacionormal. Por otro lado, si x 0 ∈ R, entonces todo conjunto abiertoque contenga al conjunto cerrado (−∞, x 0 − 1] contiene tambiéna x 0 . Esto muestra que el espacio no es regular.El siguiente lema debido a F. B. Jones permite determinar queciertos espacios carecen de la propiedad de normalidad.5.5.4 Lema. (Jones) Si X contiene un subconjunto denso D yun subespacio cerrado y relativamente discreto S tal que |S| >2 |D| , entonces X no es normal.5.5.5 Observación.1. Un subespacio S de X es relativamente discreto si la topologíaque hereda de X es la topología discreta.2. Si A es un conjunto, denotamos con |A| el cardinal de A.5.5.6 Ejemplo.El Plano de Moore, Γ, no es un espacio normal. Sean D ={(x, y) ∈ Γ : x, y ∈ Q} y S el eje x. Se tiene que D es densoen Γ, S es cerrado y relativamente discreto, |S| = c y D es unconjunto contable. Entonces |S| > 2 |D| .Los espacios normales no poseen, en general, las propiedades quemencionamos para espacios con otras propiedades de separación,como lo muestran los siguientes ejemplos.104
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elementos del conjunto A pertenecen
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Además se satisfacen las siguiente
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0.3. Uniones e intersecciones arbit
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1. Para cada x ∈ X existe y ∈ Y
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0.6. Productos arbitrariosHasta aho
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1. (Reflexividad) x ∼ x para todo
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|X| = ℵ 0 . Si X es equipotente c
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eal M > 0 tal que |f(x)| < M para t
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Nótese que en un espacio seudomét
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De la misma forma si se escoge b
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Una de las propiedades más bonitas
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Consideremos un espacio métrico X.
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Capítulo 2Espacios TopológicosLa
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La colección de todos los conjunto
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3. Sea X un conjunto cualquiera. La
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Esto implica que la topologíausual
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2. Si U, V ∈ V(x) entonces U ∩
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3. Si A es una familia de conjuntos
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un conjunto X con las propiedades
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3.Para cada punto z del planodefini
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La unión arbitraria de conjuntos c
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Si X es un espacio topológico y A
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1. A ⊂ A para cada A ⊂ X.2. A =
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3. Si X es un conjunto infinito y p
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2.7. Interior, exterior y frontera
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6. Pruebe que el espacio de Sierpin
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Ejercicios 5.51. Demuestre que un e
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Ejercicios 5.71. Pruebe que el Plan
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