Notas de Topolog´ıa Clara M. Neira U. - UN Virtual

1. A ⊂ A para cada A ⊂ X.2. A = A para cada A ⊂ X.3. A ∪ B = A ∪ B para cada A, B ⊂ X.4. ∅ = ∅.Existe una topología sobre X cuya operación de adherencia esprecisamente A ↦−→ A.Demostración. Como nuestro deseo es que la operación dada seala operación de adherencia en el espacio topológico que formemos,comenzaremos por dar la colección de los que esperamossean conjuntos cerrados. Sea F = {F ⊂ X : F = F }. Veamosque la colección τ = {A : A c ∈ F} es la topología sobre X queestamos buscando.1. Puesto que ∅ ∈ F, X ∈ τ. Por otro lado, X ⊂ X, luegoX = X, de donde X ∈ F, por tanto ∅ ∈ τ.2. Si A, B ∈ τ se tiene(A ∩ B) c = A c ∪ B c= A c ∪ B c= A c ∪ B c= (A ∩ B) c ,entonces (A ∩ B) c ∈ F y A ∩ B ∈ τ.3. Veamos ahora que la unión de cualquier colección de elementosde τ pertenece a τ. En primer lugar, nótese que siA ⊂ B entonces B = A ∪ B, luego B = A ∪ B = A ∪ B,de donde A ⊂ B. Así se tiene que si C ⊂ F entonces47