Notas de Topolog´ıa Clara M. Neira U. - UN Virtual

La colección B de todas las intersecciones finitas de elementosde S es una base para una topología sobre X y claramente siconsideramos la topología generada por B sobre X, entonces f αes una función continua para cada α ∈ Λ.4.1.1 Definición. La topología generada por la base B es latopología inicial sobre X inducida por la familia {f α } α∈Λ .El siguiente resultado caracteriza las funciones continuas quetienen como codominio un espacio con una topología inicial.4.1.2 Teorema. Si X tiene la topología inicial inducida por unafamilia de funciones {f α } α∈Λ , donde f α : X −→ X α , entoncesuna función f : Y −→ X es continua si y sólo si f α ◦ f escontinua para cada α ∈ Λ.Demostración. Es inmediato que si f es continua, entonces f α ◦fes continua para cada α ∈ Λ.Supongamos la continuidad de f α ◦ f para cada α ∈ Λ. Puestoque X tiene la topología inicial inducida por la familia {f α } α∈Λ ,un conjunto abierto sub-básico de X tiene la forma fα−1 (O) paraalgún α ∈ Λ y algún subconjunto abierto O de X α . Se tiene quef −1 (fα−1 (O)) = (f α ◦ f) −1 (O) es abierto en Y , porque f α ◦ f escontinua.4.1.3 Observación. Sea τ una topología sobre X tal que cadaf α es continua y denotemos por X ′ el espacio (X, τ). Puestoque f α ◦id X : X ′ −→ X α es continua para cada α ∈ Λ, se tiene73