Notas de TopologÂ´Ä±a Clara M. Neira U. - UN Virtual

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Ejercicios 4.51. Demuestre que si f : X −→ Y es una función continua ysobreyectiva que es además abierta o cerrada, entonces fes una aplicación cociente.2. Sean X y Y espacios topológicos y consideremos el espacioproducto X × Y . ¿Son las proyecciones canónicas, π 1 : X ×Y −→ X y π 2 : X × Y −→ Y , aplicaciones cociente?3. Suponga que f : X −→ Y una función continua. Si X tienela topología inicial inducida por f, ¿se puede asegurar quef es una aplicación cociente? Justifique su respuesta conuna demostración o un contraejemplo.4. Dé un ejemplo de una aplicación cociente que no sea niabierta ni cerrada.5. Definimos la relación ∼ en el plano por (x 0 , y 0 ) ∼ (x 1 , y 1 )si y sólo si y 0 = y 1 .a) Muestre que ∼ es una relación de equivalencia.b) Determine la clase de equivalencia de un punto (x, y)del plano.c) Pruebe que el espacio cociente R/∼ es homeomorfo aR.6. Dé un ejemplo de una función continua y sobreyectiva queno sea una aplicación cociente.Regresar163
Ejercicios 5.11. Demuestre que cualquier conjunto X con la topología decomplementos finitos (resp. contables) es un espacio T 0 .2. Demuestre que cualquier conjunto X totalmente ordenado,con la topología de las colas a la derecha es un espacio T 0 .3. Pruebe que el espacio de Sierpinski de tres puntos, C ={0, 1, 2} con la topología {∅, {0}, C}, no es un espacioT 0 .4. Sea X un espacio topológico cualquiera y sea ∼ la relacióndefinida sobre X por x ∼ y si y sólo si {x} = {y}. Demuestrelos siguientes hechos:a) ∼ es una relación de equivalencia sobre X.b) El espacio cociente X/∼ es un espacio T 0 .5. Demuestre que los siguientes espacios son T 1 .a) Cualquier conjunto con la topología de los complementosfinitos (resp. contables).b) Todo espacio discreto.c) El plano de Moore.d) El plano ranurado.e) Los números reales con la topología para la cual cadanúmero real x distinto de 0 tiene como sistema fundamentalde vecindades los intervalos abiertos centradosen x, mientras que las vecindades fundamentales de0 son los conjuntos de la forma (−∞, −n) ∪ (−ɛ, ɛ) ∪(n, ∞), donde n ∈ N y ɛ > 0.164
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Notas de TopologíaClara M. Neira U
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elementos del conjunto A pertenecen
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Además se satisfacen las siguiente
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0.3. Uniones e intersecciones arbit
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1. Para cada x ∈ X existe y ∈ Y
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0.6. Productos arbitrariosHasta aho
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1. (Reflexividad) x ∼ x para todo
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|X| = ℵ 0 . Si X es equipotente c
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eal M > 0 tal que |f(x)| < M para t
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Nótese que en un espacio seudomét
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De la misma forma si se escoge b
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Una de las propiedades más bonitas
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Consideremos un espacio métrico X.
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Capítulo 2Espacios TopológicosLa
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La colección de todos los conjunto
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3. Sea X un conjunto cualquiera. La
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Esto implica que la topologíausual
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2. Si U, V ∈ V(x) entonces U ∩
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3. Si A es una familia de conjuntos
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un conjunto X con las propiedades
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3.Para cada punto z del planodefini
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La unión arbitraria de conjuntos c
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Si X es un espacio topológico y A
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1. A ⊂ A para cada A ⊂ X.2. A =
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3. Si X es un conjunto infinito y p
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2.7. Interior, exterior y frontera
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2.7.5 Ejemplos.1. En R con la topol
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2. En R con topología usual, la fr
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subespacio de X. Esto es, considera
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4. Si a ∈ A y si B(a) es un siste
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3.1.1 Definición. Sean X y Y espac
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3.1.5 Ejemplo. Consideremos el inte
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3.1.7 Teorema. Si f : X −→ Y y
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X. Ahora bien, f −1 (K) = ⋃ i=1
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de los espacios tienen su contrapar
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La inclusión de un subespacio en u
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La colección B de todas las inters
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4.2.1 Definición. Sean X y Y dos e
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4.3.1∏Definición. Definimos la t
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En cualquier caso, α −1 (πA −
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4.4. Estructuras finales - Topolog
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De manera recíproca, Si O es un su
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clase de equivalencia de un punto (
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2. Si ϕ([x]) = ϕ([y]), entonces f
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5.1.2 Ejemplos.1. El espacio de Sie
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5.1.3 Definición. Un espacio topol
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como el radio de las vecindades esc
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K = {(x 1 , x 2 ) : f(x 1 ) = f(x 2
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1. Sea X un conjunto dotado con la
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Ejercicios5.4. Espacios completamen
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menos que cada conjunto unitario en
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tal que B(b, δ b ) ∩ A = ∅. El
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5.5.7 Ejemplos.1. El Plano de Moore
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1. El conjunto U 1 es un conjunto a
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5.6.3 Definición. Sean A ⊂ X y f
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cada i = 1, ..., N, escogemos una v
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Page 154 and 155: 7. Utilice el ejercicio anterior pa
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Page 168 and 169: 5. Demuestre que el espacio topoló
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Page 174 and 175: Ejercicios 5.71. Pruebe que el Plan
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