Notas de TopologÂ´Ä±a Clara M. Neira U. - UN Virtual

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Consideremos un espacio métrico X. De la definición se infierende manera natural los siguientes hechos:1. El conjunto vacío ∅ y el conjunto X son conjuntos abiertos.2. Si A y B son conjuntos abiertos en X entonces A ∩ B es unconjunto abierto en X.3. La unión de cualquier familia de conjuntos abiertos en Xes un conjunto abierto en X.Nótese que en un espacio métrico X las bolas abiertas son conjuntosabiertos y que cada conjunto abierto se puede expresarcomo una unión de bolas abiertas. Decimos entonces que lasbolas abiertas “generan” los conjuntos abiertos. Más adelanteexpresaremos este hecho diciendo que las bolas abiertas “generanla topología del espacio X” o que “son una base para latopología de X”.La siguiente definición establece un criterio que nos permitesaber cuándo, desde el punto de vista puramente topológico,vale la pena distinguir entre dos métricas aparentemente distintas.1.3.6 Definición. Dos métricas sobre un conjunto X sonequivalentes si generan los mismos conjuntos abiertos.1.3.7 Ejemplos.1. Hemos visto que si X es un conjunto contable entonces lossubconjuntos unitarios de X son bolas abiertas, tanto si25
consideramos la métrica discreta sobre X, como si consideramosla métrica de Sierpinski. Estas dos métricas generanentonces los mismos conjuntos abiertos en X. En otraspalabras, estas métricas son equivalentes.2. Los numerales 2, 3 y 4 de 1.1.2. establecen métricas equivalentessobre R 2 .3. Si (X, d) es un espacio métrico, la función d 1 : X × X −→R definida por d 1 (x, y) = mín{d(x, y), 1} es una métricaacotada sobre X equivalente a la métrica d.Estudiaremos otros conceptos topológicos en espacios métricosa lo largo de los siguientes capítulos.Ejercicios26
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4.3.1∏Definición. Definimos la t
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En cualquier caso, α −1 (πA −
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De manera recíproca, Si O es un su
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2. Si ϕ([x]) = ϕ([y]), entonces f
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5.1.2 Ejemplos.1. El espacio de Sie
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5.1.3 Definición. Un espacio topol
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como el radio de las vecindades esc
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K = {(x 1 , x 2 ) : f(x 1 ) = f(x 2
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1. Sea X un conjunto dotado con la
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Ejercicios5.4. Espacios completamen
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tal que B(b, δ b ) ∩ A = ∅. El
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1. El conjunto U 1 es un conjunto a
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5.6.3 Definición. Sean A ⊂ X y f
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cada i = 1, ..., N, escogemos una v
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En los espacios 1-enumerables, las
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3. Cualquier subespacio de un espac
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c) {(x : x ∈ A y x ∈ B) o x ∈
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d) Si⋃x ∈ A para cada elemento
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Ejercicios 0.51. Dé un ejemplo de
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e) Dé un contraejemplo que muestre
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)c)∏i∈I (X i ∪ Y i ) = ∏ i
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h) (x 1 , y 1 ) ∼ (x 2 , y 2 ) si
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Ejercicios 0.81. Demuestre que Q es
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g) En el conjunto C(I) de todas las
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Ejercicios 1.21. Demuestre que si X
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Ejercicios 1.31. Sea X un espacio m
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Ejercicios 2.11. Pruebe que la cole
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Ejercicios 2.21. Describa todas las
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7. Sea Γ = {(x, y) ∈ R 2 : y ≥
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a) Sean τ la topología usual sobr
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9. Sea X cualquier conjunto. Diremo
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Ejercicios 3.21. Sean X y Y espacio
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Ejercicios 4.11. Demuestre que si Y
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Ejercicios 4.21. Sean X y Y dos esp
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6. Pruebe que el espacio de Sierpin
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5. Demuestre que el espacio topoló
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Ejercicios 5.41. Demuestre que todo
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Ejercicios 5.51. Demuestre que un e
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Ejercicios 5.71. Pruebe que el Plan
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