Notas de TopologÂ´Ä±a Clara M. Neira U. - UN Virtual

More documents

Recommendations

Info

Una de las propiedades más bonitas y relevantes de las bolas enun espacio métrico se enuncia en el siguiente resultado:1.3.2 Proposición. Si (X, d) es un espacio métrico, si a y bson elementos de X, si ɛ y δ son números reales positivos y six ∈ B(a, ɛ) ∩ B(b, δ) entonces existe γ > 0 tal que B(x, γ) ⊂B(a, ɛ) ∩ B(b, δ).Para probar esta proposición basta considerar γ = mín{ɛ −d(a, x), δ − d(x, b)} y utilizar la desigualdad triangular.En los espacios métricos tenemos la posibilidad de hablar de“cercanía”. Decir que un punto está tan cerca de otro comoqueramos, significa que los puntos están a una distancia menorque un número positivo que hemos fijado con anterioridad. Enotras palabras, si para nosotros “estar suficientemente cerca”de un punto a significa estar a una distancia menor que uncierto número ɛ > 0, entonces los “vecinos” de a o los puntos“suficientemente cercanos a a” son precisamente los elementosdel conjunto B(a, ɛ). Estas consideraciones sugieren la siguientedefinición:23
1.3.3 Definición. Sean X un espacio métrico y x ∈ X. Unsubconjunto V de X es una vecindad de x si existe ɛ > 0 talque B(x, ɛ) ⊂ V . Denotamos por V(x) al conjunto de todas lasvecindades del punto x.1.3.4 Ejemplos.1. En los números reales el intervalo [1, +∞) es una vecindadde 3 (en realidad es una vecindad de cualquier real mayorque 1); pero no es una vecindad de 1.2. El conjunto {x ∈ R : |x| > 2} es una vecindad de 3 en R.3. La bola cerrada B[x, 1] es una vecindad de x = (0, 0) en R 2 .4. El conjunto A = {(x, y) : y < x} es una vecindad de cadauno de los puntos de A.5. El conjunto {f : R −→ R : |f(x)| < 2 para cada x ∈ R}es una vecindad de la función arctan x en el espacio defunciones acotadas definido en el numeral 5. de 1.1.2..Los items 2 y 4 de los ejemplos anteriores muestran conjuntosmuy especiales en los que se basará todo nuestro estudio entopología. Tienen en común la característica de ser vecindadesde cada uno de sus puntos. De estos conjuntos diremos que sonconjuntos abiertos.1.3.5 Definición. Un subconjunto A de un espacio métrico Xes un conjunto abierto en X si A es vecindad de cada uno desus puntos.24
Page 1 and 2: Notas de TopologíaClara M. Neira U
Page 3 and 4: elementos del conjunto A pertenecen
Page 5 and 6: Además se satisfacen las siguiente
Page 7 and 8: 0.3. Uniones e intersecciones arbit
Page 9 and 10: 1. Para cada x ∈ X existe y ∈ Y
Page 11 and 12: 0.6. Productos arbitrariosHasta aho
Page 13 and 14: 1. (Reflexividad) x ∼ x para todo
Page 15 and 16: |X| = ℵ 0 . Si X es equipotente c
Page 18 and 19: eal M > 0 tal que |f(x)| < M para t
Page 20 and 21: Nótese que en un espacio seudomét
Page 22 and 23: De la misma forma si se escoge b
Page 26 and 27: Consideremos un espacio métrico X.
Page 28 and 29: Capítulo 2Espacios TopológicosLa
Page 30 and 31: La colección de todos los conjunto
Page 32 and 33: 3. Sea X un conjunto cualquiera. La
Page 34 and 35: Esto implica que la topologíausual
Page 36 and 37: 2. Si U, V ∈ V(x) entonces U ∩
Page 38 and 39: 3. Si A es una familia de conjuntos
Page 40 and 41: un conjunto X con las propiedades
Page 42 and 43: 3.Para cada punto z del planodefini
Page 44 and 45: La unión arbitraria de conjuntos c
Page 46 and 47: Si X es un espacio topológico y A
Page 48 and 49: 1. A ⊂ A para cada A ⊂ X.2. A =
Page 50 and 51: 3. Si X es un conjunto infinito y p
Page 52 and 53: 2.7. Interior, exterior y frontera
Page 54 and 55: 2.7.5 Ejemplos.1. En R con la topol
Page 56 and 57: 2. En R con topología usual, la fr
Page 58 and 59: subespacio de X. Esto es, considera
Page 60 and 61: 4. Si a ∈ A y si B(a) es un siste
Page 62 and 63: 3.1.1 Definición. Sean X y Y espac
Page 64 and 65: 3.1.5 Ejemplo. Consideremos el inte
Page 66 and 67: 3.1.7 Teorema. Si f : X −→ Y y
Page 68 and 69: X. Ahora bien, f −1 (K) = ⋃ i=1
Page 70 and 71: de los espacios tienen su contrapar
Page 72 and 73: La inclusión de un subespacio en u
Page 74 and 75:
La colección B de todas las inters
Page 76 and 77:
4.2.1 Definición. Sean X y Y dos e
Page 78 and 79:
4.3.1∏Definición. Definimos la t
Page 80 and 81:
En cualquier caso, α −1 (πA −
Page 82 and 83:
4.4. Estructuras finales - Topolog
Page 84 and 85:
De manera recíproca, Si O es un su
Page 86 and 87:
clase de equivalencia de un punto (
Page 88 and 89:
2. Si ϕ([x]) = ϕ([y]), entonces f
Page 90 and 91:
5.1.2 Ejemplos.1. El espacio de Sie
Page 92 and 93:
5.1.3 Definición. Un espacio topol
Page 94 and 95:
como el radio de las vecindades esc
Page 96 and 97:
K = {(x 1 , x 2 ) : f(x 1 ) = f(x 2
Page 98 and 99:
1. Sea X un conjunto dotado con la
Page 100 and 101:
Ejercicios5.4. Espacios completamen
Page 102 and 103:
menos que cada conjunto unitario en
Page 104 and 105:
tal que B(b, δ b ) ∩ A = ∅. El
Page 106 and 107:
5.5.7 Ejemplos.1. El Plano de Moore
Page 108 and 109:
1. El conjunto U 1 es un conjunto a
Page 110 and 111:
5.6.3 Definición. Sean A ⊂ X y f
Page 112 and 113:
cada i = 1, ..., N, escogemos una v
Page 114 and 115:
En los espacios 1-enumerables, las
Page 116 and 117:
3. Cualquier subespacio de un espac
Page 118 and 119:
c) {(x : x ∈ A y x ∈ B) o x ∈
Page 120 and 121:
d) Si⋃x ∈ A para cada elemento
Page 122 and 123:
Ejercicios 0.51. Dé un ejemplo de
Page 124 and 125:
e) Dé un contraejemplo que muestre
Page 126 and 127:
)c)∏i∈I (X i ∪ Y i ) = ∏ i
Page 128 and 129:
h) (x 1 , y 1 ) ∼ (x 2 , y 2 ) si
Page 130 and 131:
Ejercicios 0.81. Demuestre que Q es
Page 132 and 133:
g) En el conjunto C(I) de todas las
Page 134 and 135:
Ejercicios 1.21. Demuestre que si X
Page 136 and 137:
Ejercicios 1.31. Sea X un espacio m
Page 138 and 139:
Ejercicios 2.11. Pruebe que la cole
Page 140 and 141:
Ejercicios 2.21. Describa todas las
Page 142 and 143:
7. Sea Γ = {(x, y) ∈ R 2 : y ≥
Page 144 and 145:
a) Sean τ la topología usual sobr
Page 146 and 147:
9. Sea X cualquier conjunto. Diremo
Page 148 and 149:
Ejercicios 2.61. Explique clarament
Page 150 and 151:
Ejercicios 2.71. Demuestre la Propo
Page 152 and 153:
Ejercicios 2.81. Demuestre que cual
Page 154 and 155:
7. Utilice el ejercicio anterior pa
Page 156 and 157:
Ejercicios 3.21. Sean X y Y espacio
Page 158 and 159:
Ejercicios 4.11. Demuestre que si Y
Page 160 and 161:
Ejercicios 4.21. Sean X y Y dos esp
Page 162 and 163:
Ejercicios 4.31. Sea (X i ) i∈I u
Page 164 and 165:
Ejercicios 4.51. Demuestre que si f
Page 166 and 167:
6. Pruebe que el espacio de Sierpin
Page 168 and 169:
5. Demuestre que el espacio topoló
Page 170 and 171:
Ejercicios 5.41. Demuestre que todo
Page 172 and 173:
Ejercicios 5.51. Demuestre que un e
Page 174 and 175:
Ejercicios 5.71. Pruebe que el Plan
show all

Notas de TopologÂ´Ä±a Clara M. Neira U. - UN Virtual

Create successful ePaper yourself

Delete template?

Save as template?