Notas de Topolog´ıa Clara M. Neira U. - UN Virtual

yB 0 = f −1 ([ 13 , 1 ]).Por el lema de Urysohn existe una función continua f 1 : X −→[−1/3, 1/3] tal que f 1 (A 0 ) = − 1 3 y f 1(B 0 ) = 1 , luego para cada3x ∈ L, |f(x) − f 1 (x)| ≤ 2 3 .[Definimos la función continua g 1 : L −→ − 2 3 , 2 ]por g 1 :=3f − f 1 .Ahora ([ consideremos los conjuntos cerrados y disyuntos A 1 =g1−1 − 2 ])([ 23 , −2 y B 1 = g1−199 3]), 2 . Nuevamente el Lemade [ Urysohn garantiza que existe una función continua f 2 : X −→− 2 9 , 2 ], tal que f 2 (A 1 ) = − 2 99 y f 2(B 1 ) = 2 9 y además |g 1(x) −f 2 (x)| ≤) 2.( 23) 2, para x ∈ L; esto es, |f(x) − (f 1 (x) + f 2 (x))| ≤( 23Continuando con este proceso, se obtiene una sucesión f 1 , f 2 , ...de funciones continuas en L de tal manera que∣∣ n∑ ∣∣∣∣ ( ) n 2 ∣ f − f i ≤ .3i=1Definimos F (x) = ∑ ∞i=1 f i(x).Es inmediato que F (x) = f(x) para cada x ∈ L. Veamos queF es una función continua. Sean x ∈ X y ɛ > 0. EscogemosN > 0 tal que ∑ ∞n=N+1( 23) n< ɛ 2 . Como f i es continua para110