Notas de Topolog´ıa Clara M. Neira U. - UN Virtual

5.5.3 Ejemplo.Vimos que R con la topología de colas a derecha es un espacionormal. Por otro lado, si x 0 ∈ R, entonces todo conjunto abiertoque contenga al conjunto cerrado (−∞, x 0 − 1] contiene tambiéna x 0 . Esto muestra que el espacio no es regular.El siguiente lema debido a F. B. Jones permite determinar queciertos espacios carecen de la propiedad de normalidad.5.5.4 Lema. (Jones) Si X contiene un subconjunto denso D yun subespacio cerrado y relativamente discreto S tal que |S| >2 |D| , entonces X no es normal.5.5.5 Observación.1. Un subespacio S de X es relativamente discreto si la topologíaque hereda de X es la topología discreta.2. Si A es un conjunto, denotamos con |A| el cardinal de A.5.5.6 Ejemplo.El Plano de Moore, Γ, no es un espacio normal. Sean D ={(x, y) ∈ Γ : x, y ∈ Q} y S el eje x. Se tiene que D es densoen Γ, S es cerrado y relativamente discreto, |S| = c y D es unconjunto contable. Entonces |S| > 2 |D| .Los espacios normales no poseen, en general, las propiedades quemencionamos para espacios con otras propiedades de separación,como lo muestran los siguientes ejemplos.104