Notas de Topolog´ıa Clara M. Neira U. - UN Virtual

9. Determine cuáles de las siguientes afirmaciones son verdaderas,en cuáles se satisface sólo una inclusión y en cuáleslas dos inclusiones resultan ser falsas. En cada caso justifiquecompletamente su respuesta con una demostración ocon un contraejemplo.a) Sea f : X −→ Y una función. Si A y B son subconjuntosde X entonces f(A B) = f(A) f(B).b) Sea f : X −→ Y una función. Si A y B son subconjuntosde X entonces f((A B) ∪ (B A)) =(f(A) f(B)) ∪ (f(B) f(A)).c) Sea f : X −→ Y una función. Si C y D son subconjuntosde Y entonces f −1 (C D) = f −1 (C) f −1 (D).10. Consideremos f 1 : X 1 −→ Y 1 y f 2 : X 2 −→ Y 2 dos funcionesy definamos la función g : X 1 × X 2 −→ Y 1 × Y 2 porg(x 1 , x 2 ) = (f 1 (x 1 ), f 2 (x 2 )). Pruebe o refute cada una de lassiguientes afirmaciones:a) g es uno a uno si y sólo si f 1 y f 2 lo son.b) g es sobreyectiva si y sólo si f 1 y f 2 lo son.11. Sean f : X −→ Y una función, A ⊂ X y B ⊂ Y .a) Demuestre que A ⊂ f −1 (f(A)).b) Dé un contraejemplo que muestre que no siempre setiene que f −1 (f(A)) ⊂ A.c) ¿Bajo qué condiciones es cierta la igualdad f −1 (f(A)) =A?d) Demuestre que f(f −1 (B)) ⊂ B.122