Notas de Topolog´ıa Clara M. Neira U. - UN Virtual

0.6. Productos arbitrariosHasta ahora nos hemos referido únicamente al producto cartesianode dos conjuntos. En realidad estudiar este producto nospermite de manera inmediata definir el producto cartesiano deuna colección finita de conjuntos. En efecto, si X 1 , X 2 , ..., X nes una colección de conjuntos entonces el producto cartesianoX 1 × X 2 × ... × X n , que también denotaremos por ∏ i=1,...,n X i,se define como el conjunto de n-tuplas{(x 1 , x 2 , ..., x n ) : x i ∈ X i para cada i = 1, ..., n}.El ejemplo más inmediato y seguramente conocido por todos esel conjunto R n = {(x 1 , x 2 , ..., x n ) : x i ∈ R}. En este caso todoslos factores del producto son iguales al conjunto de los númerosreales.Un análisis un poco más detallado nos muestra que en realidadcada elemento x = (x 1 , x 2 , ..., x n ) del producto cartesianoX 1 × X 2 × ... × X n es una función del conjunto {1, 2, ..., n}en el conjunto ⋃ i=1,...,n X i, definida por x(i) = x i para cadai = 1, ..., n.Este hecho, que podría parecer una complicación innecesaria,permite generalizar la noción de producto cartesiano a familiasarbitrarias de conjuntos como lo muestra la siguiente definición.0.6.1 Definición. Sea {X j } j∈J una familia de conjuntos. Elproducto cartesiano de esta familia se denota por ∏ j∈J X j y esel conjunto de todas las funciones x : J −→ ⋃ j∈J X j tales quex(j) ∈ X j para cada j ∈ J.10