Notas de Topolog´ıa Clara M. Neira U. - UN Virtual

X tal que para cada i ∈ I, las inyecciones canónicas son continuas.Esta topología es conocida con el nombre de topologíasuma sobre X.Supongamos que X tiene la topología suma. Una condición necesariay suficiente para que una función f : X −→ Y sea continuaes que la función compuesta f ◦ j i sea continua para cadai ∈ I. En efecto, dado B subconjunto subconjunto abierto deY , f −1 (B) es abierto en X, si y solamente si, f −1 (B) ∩ X i =ji −1 (f −1 (B)) = (f ◦ j i ) −1 (B) es abierto en X i , para cada i ∈ I,es decir, f ◦ j i es continua para cada i ∈ I.En particular, si (Y i ) i∈I es otra familia de espacios topológicosdisjuntos dos a dos cuya unión es Y , y si para cada i ∈ I,la aplicación f i : X i −→ Y i es continua, entonces la aplicaciónf : X −→ Y tal que f(x) = f i (x) si x ∈ X i es también continua.En efecto, para cada i ∈ I, f◦j i = k i ◦f i , donde k i es la aplicacióncanónica de Y i en Y . Se obtiene así la continuidad de las f ◦ j i ypor ende la de f. Si los f i son homeomorfismos se concluye quef es un homeomorfismo de X sobre Y .El siguiente resultado muestra una característica muy importantede los espacios dotados de una topología final, que yahicimos notar en el ejemplo anterior.4.4.3 Teorema. Supongamos que Y tiene la topología final inducidapor la familia de funciones {f α : X α −→ Y } α∈Λ . Unafunción f : Y −→ Z es continua si y sólo si f ◦ f α es continuapara cada α ∈ Λ.Demostración. Es inmediato que si f es continua, entonces f ◦f αes continua para cada α ∈ Λ.82