Notas de Topolog´ıa Clara M. Neira U. - UN Virtual

de los espacios tienen su contraparte en el otro y la función fes el puente para pasar de uno de los espacios al otro. Diremosque el intervalo (− π 2 , π ) y el espacio R son homeomorfos y que2la función f es un homeomorfismo.En general tenemos la siguiente definición.3.2.1 Definición. Sean X y Y espacios topológicos. Una funciónf : X −→ Y es un homeomorfismo si f es continua, unoa uno y sobreyectiva y f −1 también es continua.Si existe un homeomorfismo f : X −→ Y decimos que losespacios X y Y son homeomorfos.Es inmediato que una función continua f : X −→ Y es unhomeomorfismo si y sólo si existe una función continua g : Y −→X tal que g ◦ f =id X y f ◦ g =id Y , donde id X y id Y son lasfunciones identidad de X y Y , respectivamente.Nótese que la condición de que f −1 sea continua es equivalentea afirmar que f es una función abierta, esto es, que aplica conjuntosabiertos en conjuntos abiertos, o a afirmar que f es unafunción cerrada, es decir, que aplica conjuntos cerrados en conjuntoscerrados.En resumen, una función f : X −→ Y es un homeomorfismo sies uno a uno, sobre, continua y abierta (o cerrada).Con esta observación en mente resulta ser un fácil ejercicio demostrarel siguiente resultado.3.2.2 Proposición. Si X y Y son espacios topológicos y f :X −→ Y es una función uno a uno y sobreyectiva, entonces lassiguientes afirmaciones son equivalentes:69