Notas de TopologÂ´Ä±a Clara M. Neira U. - UN Virtual

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cada i = 1, ..., N, escogemos una vecindad abierta U i de x, paracada i = 1, ..., N, tal que si y ∈ U i , entonces |f i (x)−f i (y)|
esultados propios de los espacios métricos. Comenzaremos conel Primer Axioma de Enumerabilidad.5.7.1 Definición. Un espacio topológico X es 1-enumerable sicada punto x ∈ X tiene un sistema fundamental de vecindadesenumerable.5.7.2 Ejemplos.1. Todo espacio métrico (X, d) es 1-enumerable. En efecto,para cada x ∈ X la colección de bolas abiertas de la formaB(x, r), donde r es un número racional positivo, es unsistema fundamental de x enumerable.2. El Plano de Moore es un espacio 1-enumerable.3. El conjunto de los números reales con la topología generadapor los intervalos de la forma (a, b] es un espacio 1-enumerable.4. Cualquier subespacio de un espacio 1-enumerable es 1-enumerable.5. El producto de cualquier colección enumerable de espacios1-enumerables es 1-enumerable.5.7.3 Observación. Nótese que si X es 1-enumerable, si x ∈X, si (B n ) n∈N es un sistema fundamental de vecindades de xenumerable, y si consideramos V 1 = B 1 , V 2 = V 1 ∩ B 1 , V 3 =V 2 ∩ B 2 y de manera inductiva tomamos V n+1 = V n ∩ B n paracada n ∈ N, entonces (V n ) n∈N es un sistema fundamental devecindades de x enumerable que satisface que V n+1 ⊂ V n paracada n ∈ N.112
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Notas de TopologíaClara M. Neira U
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elementos del conjunto A pertenecen
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Además se satisfacen las siguiente
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0.3. Uniones e intersecciones arbit
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1. Para cada x ∈ X existe y ∈ Y
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0.6. Productos arbitrariosHasta aho
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1. (Reflexividad) x ∼ x para todo
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|X| = ℵ 0 . Si X es equipotente c
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eal M > 0 tal que |f(x)| < M para t
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Nótese que en un espacio seudomét
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De la misma forma si se escoge b
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Una de las propiedades más bonitas
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Consideremos un espacio métrico X.
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Capítulo 2Espacios TopológicosLa
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La colección de todos los conjunto
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3. Sea X un conjunto cualquiera. La
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Esto implica que la topologíausual
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2. Si U, V ∈ V(x) entonces U ∩
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3. Si A es una familia de conjuntos
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un conjunto X con las propiedades
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3.Para cada punto z del planodefini
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La unión arbitraria de conjuntos c
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Si X es un espacio topológico y A
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1. A ⊂ A para cada A ⊂ X.2. A =
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3. Si X es un conjunto infinito y p
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2.7. Interior, exterior y frontera
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2.7.5 Ejemplos.1. En R con la topol
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2. En R con topología usual, la fr
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subespacio de X. Esto es, considera
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4. Si a ∈ A y si B(a) es un siste
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Ejercicios 4.31. Sea (X i ) i∈I u
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Ejercicios 4.51. Demuestre que si f
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6. Pruebe que el espacio de Sierpin
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5. Demuestre que el espacio topoló
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Ejercicios 5.41. Demuestre que todo
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Ejercicios 5.51. Demuestre que un e
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Ejercicios 5.71. Pruebe que el Plan
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