Notas de Topolog´ıa Clara M. Neira U. - UN Virtual

Ejercicios 2.5{ }−11. Consideremos A =n : n ∈ N como subconjunto deR. Pruebe que el número 0 es adherente a A si sobre Rconsideramos la topología usual, pero 0 NO si sobre R consideramosla topología discreta o la topología generada porlos intervalos de la forma [a, b) con a < b.2. Pruebe que en el Plano de Moore, cada punto de la forma(a, 0) es adherente al conjunto {(x, y) : y > 0}.3. Pruebe que si R 2 tiene la topología de los complementosfinitos, el punto (0, 0) es adherente al conjunto A = {(x, y) :y > x 2 +1} y que este punto NO es adherente a A si estamosconsiderando la topología usual sobre R 2 .4. Pruebe que en R con la topología usual la adherencia delintervalo (a, b) es el intervalo [a, b].5. Pruebe que la adherencia del conjunto de los números irracionalesen R es R.6. ¿Es Q un conjunto denso en R con la topología de los complementosfinitos?7. ¿Es Q un conjunto denso en R con la topología de las colasa la derecha?8. Suponga que τ 1 y τ 2 son dos topologías sobre un mismo conjuntoX y que τ 1 es más fina que τ 2 . Compare la adherenciade un subconjunto A de X en (X, τ 1 ) con su adherencia en(X, τ 2 ).144