Notas de Topolog´ıa Clara M. Neira U. - UN Virtual

4.4. Estructuras finales - Topología finalSean Y un conjunto, {(X α , τ α )} α∈Λ una familia de espacios topológicosy para cada α ∈ Λ sea f α : X α −→ Y una función. Siconsideramos la topología grosera sobre el conjunto Y cada unade las funciones f α resulta ser continua.Ahora deseamos encontrar la topología más fina que se puededefinir sobre el conjunto Y , de tal manera que f α sea continuapara cada α ∈ Λ.Definamos tentativamente la colección τ como la colección detodos los subconjuntos A de Y tales que fα−1 A es abierto en X αpara cada α ∈ Λ. Esto esτ = {A ⊂ Y : fα−1 A ∈ τ α para cada α ∈ Λ}.Es un ejercicio sencillo demostrar que τ es una topología sobreY y que f α es continua para cada α ∈ Λ.4.4.1 Definición. Llamaremos a τ la topología final sobre Yinducida por la familia {f α } α∈Λ .4.4.2 Ejemplo. Sean (X i ) i∈I una familia de espacios topológicosdisjuntos dos a dos, X = ⋃ i∈I X i y j i X i −→ X la inyeccióncanónica de X i en X. La colección A constituida por los conjuntosA ⊂ X tales que para cada i ∈ I, A ∩ X i es un conjuntoabierto en X i , es una topología sobre X. Teniendo en cuentaque ji−1 (A) = A ∩ X i , A resulta ser la topología más fina sobre81