Notas de TopologÂ´Ä±a Clara M. Neira U. - UN Virtual

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0.4. Producto cartesianoAntes de dar la definición precisa del producto cartesiano dedos conjuntos nos referiremos brevemente al concepto de parejaordenada. Rigurosamente hablando la pareja ordenada (a, b) esel conjunto {{a}, {a, b}}. La primera coordenada de la parejaes el elemento que aparece en los dos conjuntos que la defineny la segunda coordenada es el elemento que aparece sólo en unode los conjuntos. Si a = b entonces la pareja (a, b) se reduce alconjunto {{a}} y en este caso la primera coordenada es igual ala segunda.Sean X y Y dos conjuntos. El producto cartesiano X × Y es elconjunto de parejas ordenadas que tienen como primera coordenadaun elemento de X y como segunda coordenada un elementode Y . Esto es:X × Y = {(x, y) : x ∈ X y y ∈ Y }.De la definición se tiene que si X y Y son conjuntos entoncesX × ∅ = ∅ × Y = ∅ y que, en general, X × Y ≠ Y × X.Ejercicios0.5. FuncionesSean X y Y conjuntos. Una función (o aplicación) f de X en Yque denotamos por f : X −→ Y es un subconjunto de X × Ytal que:7
1. Para cada x ∈ X existe y ∈ Y tal que (x, y) ∈ f.2. Si (x, y) ∈ f y (x, z) ∈ f entonces y = z.La relación (x, y) ∈ f se suele simbolizar por y = f(x) y f(x)se acostumbra llamar la imagen de x por la función f. Tambiénutilizaremos la notación x ↦−→ f(x) para indicar que (x, f(x)) ∈f. Informalmente hablando, una función de un conjunto X enun conjunto Y se puede describir dando una regla que permitacalcular f(x) para cada x ∈ X, como cuando se estudia cálculoy se describe una función de R 2 en R por medio de la expresiónf(x, y) =1x 2 + y 2 + 1 .Si f : X −→ Y es una función entonces el conjunto X se llamael dominio de f, el conjunto Y es el codominio de f y el subconjuntode Y cuyos elementos son las imágenes de los elementosde X, esto es el conjunto {f(x) : x ∈ X}, es el rango de f.Denotamos por Dom f el dominio de f, por Cod f el codominiode f y por Ran f el rango de la función f.Si f : X −→ Y es una función y A ⊂ X, existe una función condominio A, que llamamos la restricción de f al conjunto A ydenotamos f ↾ A , definida por f ↾ A (a) = f(a) para cada a ∈ A.De manera análoga, si f(X) ⊂ B ⊂ Y , entonces podemos considerarla co-restricción de f a B que es una función que actúade la misma forma que f sobre los elementos de X, pero tienecomo codominio el conjunto B. No utilizaremos una notaciónespecial para la co-restricción de una función.Una función f definida de un conjunto X en un conjunto Ydetermina de manera natural dos aplicaciones. La primera, quese acostumbra denotar por el mismo símbolo f, con dominioP(X) y codominio P(Y ) se denomina imagen directa y aplica al8
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X. Ahora bien, f −1 (K) = ⋃ i=1
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En cualquier caso, α −1 (πA −
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como el radio de las vecindades esc
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K = {(x 1 , x 2 ) : f(x 1 ) = f(x 2
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1. Sea X un conjunto dotado con la
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Ejercicios5.4. Espacios completamen
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tal que B(b, δ b ) ∩ A = ∅. El
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1. El conjunto U 1 es un conjunto a
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5.6.3 Definición. Sean A ⊂ X y f
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cada i = 1, ..., N, escogemos una v
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3. Cualquier subespacio de un espac
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d) Si⋃x ∈ A para cada elemento
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Ejercicios 0.51. Dé un ejemplo de
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e) Dé un contraejemplo que muestre
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)c)∏i∈I (X i ∪ Y i ) = ∏ i
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h) (x 1 , y 1 ) ∼ (x 2 , y 2 ) si
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Ejercicios 0.81. Demuestre que Q es
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g) En el conjunto C(I) de todas las
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Ejercicios 1.31. Sea X un espacio m
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Ejercicios 2.11. Pruebe que la cole
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7. Sea Γ = {(x, y) ∈ R 2 : y ≥
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6. Pruebe que el espacio de Sierpin
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5. Demuestre que el espacio topoló
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Ejercicios 5.51. Demuestre que un e
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Ejercicios 5.71. Pruebe que el Plan
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