Notas de TopologÂ´Ä±a Clara M. Neira U. - UN Virtual

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Ejercicios 1.31. Sea X un espacio métrico. Demuestre los siguientes hechos:a) El conjunto vacío ∅ y el conjunto X son conjuntos abiertos.b) Si A y B son conjuntos abiertos en X entonces A ∩ Bes un conjunto abierto en X.c) La unión de cualquier familia de conjuntos abiertos enX es un conjunto abierto en X.d) Todo intervalo abierto de R es un conjunto abierto.2. Sea X un espacio métrico. Decimos que un subconjunto Fde X es cerrado en X si su complemento es abierto. Pruebelas siguientes afirmaciones:a) Los subconjuntos de X que tienen exactamente un puntoson cerrados.b) Si A y B son conjuntos cerrados en X entonces A ∪ Bes un conjunto cerrado en X.c) La intersección de cualquier familia de conjuntos cerradosen X es un conjunto cerrado en X.d) Si X tiene la métrica discreta entonces todo subconjuntode X es abierto y cerrado.e) Todo intervalo cerrado de R es un conjunto cerrado.3. Sean X y Y espacios métricos y sea f : X −→ Y una función.Demuestreque las siguientes afirmaciones son equivalentes:a) f es continua.135
) Si A es un subconjunto abierto de Y entonces f −1 (A)es un subconjunto abierto de X.c) Si K es un subconjunto cerrado de Y entonces f −1 (K)es un subconjunto cerrado de X.4. Mueste que los numerales 2, 3 y 4 de 1.1.2. establecen métricasequivalentes sobre R 2 .5. Sea (X, d) es un espacio métrico. Muestre que la funciónd 1 : X × X −→ R definida por d 1 (x, y) = mín{d(x, y), 1}es una métrica acotada sobre X equivalente a la métrica d.Regresar136
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elementos del conjunto A pertenecen
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Además se satisfacen las siguiente
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0.3. Uniones e intersecciones arbit
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1. Para cada x ∈ X existe y ∈ Y
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0.6. Productos arbitrariosHasta aho
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1. (Reflexividad) x ∼ x para todo
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|X| = ℵ 0 . Si X es equipotente c
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eal M > 0 tal que |f(x)| < M para t
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Nótese que en un espacio seudomét
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De la misma forma si se escoge b
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Una de las propiedades más bonitas
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Consideremos un espacio métrico X.
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Capítulo 2Espacios TopológicosLa
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La colección de todos los conjunto
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3. Sea X un conjunto cualquiera. La
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Esto implica que la topologíausual
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2. Si U, V ∈ V(x) entonces U ∩
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3. Si A es una familia de conjuntos
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un conjunto X con las propiedades
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3.Para cada punto z del planodefini
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La unión arbitraria de conjuntos c
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Si X es un espacio topológico y A
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1. A ⊂ A para cada A ⊂ X.2. A =
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3. Si X es un conjunto infinito y p
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2.7. Interior, exterior y frontera
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2.7.5 Ejemplos.1. En R con la topol
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2. En R con topología usual, la fr
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subespacio de X. Esto es, considera
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4. Si a ∈ A y si B(a) es un siste
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3.1.1 Definición. Sean X y Y espac
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3.1.5 Ejemplo. Consideremos el inte
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3.1.7 Teorema. Si f : X −→ Y y
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X. Ahora bien, f −1 (K) = ⋃ i=1
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de los espacios tienen su contrapar
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La inclusión de un subespacio en u
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La colección B de todas las inters
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4.2.1 Definición. Sean X y Y dos e
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4.3.1∏Definición. Definimos la t
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En cualquier caso, α −1 (πA −
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4.4. Estructuras finales - Topolog
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De manera recíproca, Si O es un su
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Page 174 and 175: Ejercicios 5.71. Pruebe que el Plan
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