Notas de TopologÂ´Ä±a Clara M. Neira U. - UN Virtual

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Si A y B son conjuntos entoncesla diferencia AB es elconjunto formado por los elementosque pertenecen a A yno pertenecen a B. Es decirA B = {x ∈ A : x /∈ B}.Si estamos trabajando con subconjuntos de un conjunto fijo Xy A ⊂ X nos referiremos a X A como el complemento de Aen X y lo denotaremos también con A c o con ∁A.Las siguientes propiedades se conocen con el nombre de Leyesde De Morgan y resultan de gran utilidad en el trabajo conconjuntos.1. Si A y B son subconjuntos de X entonces (A ∪ B) c =A c ∩ B c .2. Si A y B son subconjuntos de X entonces (A ∩ B) c =A c ∪ B c .Ejercicios5
0.3. Uniones e intersecciones arbitrariasAsí como es posible conseguir un nuevo conjunto uniendo o intersectandodos conjuntos dados, es posible formar nuevos conjuntosconstruyendo la unión o la intersección de una colecciónarbitraria de conjuntos o dicho de otra manera, de una familiaarbitraria de conjuntos.Dada una colección A de conjuntos definimos la unión de lacolección como el conjunto⋃A = {x : x ∈ A para algún A ∈ A}A∈Ay la intersección de la colección como el conjunto⋂A = {x : x ∈ A para cada A ∈ A}.A∈ASi la colección A es vacía ningún elemento x satisface la condiciónnecesaria para poder afirmar que pertenece a ⋃ A∈AA. Entonces⋃ A∈A A = ∅. Pero la expresión ⋂ A∈AA sólo tiene sentidosi estamos pensando en un conjunto X que sea todo nuestro“universo”. De ser así, cada elemento x ∈ X pertenece a ⋂ A∈A Aporque de lo contrario existiría A ∈ A = ∅ tal que x ∈ A, locual es absurdo. Entonces ⋂ A∈A A = X.Si A es una colección de subconjuntos de un conjunto X entonceslas Leyes de De Morgan tienen la siguiente presentación:1.2.(⋃A∈A A) c=⋂A∈A Ac .(⋂A∈A A) c=⋃A∈A Ac .Ejercicios6
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Page 48 and 49: 1. A ⊂ A para cada A ⊂ X.2. A =
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Page 54 and 55: 2.7.5 Ejemplos.1. En R con la topol
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2. En R con topología usual, la fr
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subespacio de X. Esto es, considera
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4. Si a ∈ A y si B(a) es un siste
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3.1.1 Definición. Sean X y Y espac
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3.1.5 Ejemplo. Consideremos el inte
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3.1.7 Teorema. Si f : X −→ Y y
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X. Ahora bien, f −1 (K) = ⋃ i=1
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La inclusión de un subespacio en u
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La colección B de todas las inters
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4.2.1 Definición. Sean X y Y dos e
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4.3.1∏Definición. Definimos la t
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En cualquier caso, α −1 (πA −
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4.4. Estructuras finales - Topolog
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De manera recíproca, Si O es un su
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clase de equivalencia de un punto (
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2. Si ϕ([x]) = ϕ([y]), entonces f
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5.1.2 Ejemplos.1. El espacio de Sie
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5.1.3 Definición. Un espacio topol
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como el radio de las vecindades esc
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K = {(x 1 , x 2 ) : f(x 1 ) = f(x 2
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1. Sea X un conjunto dotado con la
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Ejercicios5.4. Espacios completamen
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menos que cada conjunto unitario en
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tal que B(b, δ b ) ∩ A = ∅. El
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5.5.7 Ejemplos.1. El Plano de Moore
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1. El conjunto U 1 es un conjunto a
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5.6.3 Definición. Sean A ⊂ X y f
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cada i = 1, ..., N, escogemos una v
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En los espacios 1-enumerables, las
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3. Cualquier subespacio de un espac
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c) {(x : x ∈ A y x ∈ B) o x ∈
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d) Si⋃x ∈ A para cada elemento
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Ejercicios 0.51. Dé un ejemplo de
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e) Dé un contraejemplo que muestre
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)c)∏i∈I (X i ∪ Y i ) = ∏ i
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h) (x 1 , y 1 ) ∼ (x 2 , y 2 ) si
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Ejercicios 0.81. Demuestre que Q es
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g) En el conjunto C(I) de todas las
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Ejercicios 1.21. Demuestre que si X
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Ejercicios 1.31. Sea X un espacio m
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Ejercicios 2.11. Pruebe que la cole
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Ejercicios 2.21. Describa todas las
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7. Sea Γ = {(x, y) ∈ R 2 : y ≥
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a) Sean τ la topología usual sobr
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9. Sea X cualquier conjunto. Diremo
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Ejercicios 2.61. Explique clarament
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Ejercicios 2.71. Demuestre la Propo
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Ejercicios 2.81. Demuestre que cual
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7. Utilice el ejercicio anterior pa
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Ejercicios 3.21. Sean X y Y espacio
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Ejercicios 4.11. Demuestre que si Y
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Ejercicios 4.21. Sean X y Y dos esp
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Ejercicios 4.31. Sea (X i ) i∈I u
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Ejercicios 4.51. Demuestre que si f
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6. Pruebe que el espacio de Sierpin
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5. Demuestre que el espacio topoló
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Ejercicios 5.41. Demuestre que todo
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Ejercicios 5.51. Demuestre que un e
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Ejercicios 5.71. Pruebe que el Plan
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