Notas de TopologÂ´Ä±a Clara M. Neira U. - UN Virtual

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Con frecuencia utilizamos x j para denotar a x(j) y denotamosal elemento x ∈ ∏ j∈J X j por (x j ).0.6.2 Ejemplos.1. Si J = N entonces los elementos del producto ∏ n∈N X n sepueden escribir como una sucesión (x 1 , x 2 , ...) donde x n ∈X n para cada n ∈ N.2. Si X j = X para cada j ∈ J, entonces ∏ j∈J X j es el conjuntode todas las funciones definidas de J en X. Denotamospor X J a este conjunto.3. Si X j ⊂ Y j para cada j ∈ J entonces ∏ j∈J X j ⊂ ∏ j∈J Y j.Ejercicios0.7. RelacionesUna relación sobre un conjunto X (o en un conjunto X) esun subconjunto R del producto cartesiano X × X. Si (x, y) ∈ Rescribimos x R y. Nótese que una función definida de un conjuntoX en sí mismo es una relación f en X en la que cada elementode X aparece como la primera coordenada de un elemento def exactamente una vez. En este sentido las relaciones son unageneralización de las funciones.Una relación de equivalencia sobre un conjunto X es una relación∼ en X que satisface las siguientes propiedades:11
1. (Reflexividad) x ∼ x para todo x ∈ X.2. (Simetría) Si x ∼ y, entonces y ∼ x.3. (Transitividad) Si x ∼ y y y ∼ z, entonces x ∼ z.Dada una relación de equivalencia ∼ sobre un conjunto X y unelemento x ∈ X definimos la clase de equivalencia de x como elconjunto [x] = {y ∈ X : x ∼ y}. De la definición se obtiene quex ∈ [x] para cada x ∈ X lo cual significa que ⋃ x∈X [x] = X ytambién que dadas dos clases de equivalencia [x] y [y], se tieneque [x] = [y] o [x]∩[y] = ∅. Expresamos estos dos hechos diciendoque la relación ∼ induce una partición de X.Formalmente, una partición de un conjunto X es una colecciónde subconjuntos disyuntos de X cuya unión es X.Una relación de orden parcial sobre un conjunto X es una relación≤ en X que satisface las siguientes propiedades:1. (Reflexividad) x ≤ x para todo x ∈ X.2. (Antisimetría) Si x ≤ y y y ≤ x, entonces x = y.3. (Transitividad) Si x ≤ y y y ≤ z, entonces x ≤ z.Si ≤ es una relación de orden parcial sobre un conjunto X existeuna relación < sobre X definida por x < y si x ≤ y y x ≠ y.La relación < no es reflexiva pero si transitiva. Una relacióntransitiva < sobre un conjunto X que además tenga la propiedadde que si x < y entonces x ≠ y se llama un orden estricto.Entonces cada relación de orden parcial determina un ordenestricto y, recíprocamente, un orden estricto < determina unorden parcial ≤ definido por x ≤ y si x < y o x = y.12
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Page 38 and 39: 3. Si A es una familia de conjuntos
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3.1.1 Definición. Sean X y Y espac
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3.1.7 Teorema. Si f : X −→ Y y
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X. Ahora bien, f −1 (K) = ⋃ i=1
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La inclusión de un subespacio en u
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La colección B de todas las inters
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4.2.1 Definición. Sean X y Y dos e
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En cualquier caso, α −1 (πA −
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4.4. Estructuras finales - Topolog
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2. Si ϕ([x]) = ϕ([y]), entonces f
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5.1.2 Ejemplos.1. El espacio de Sie
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5.1.3 Definición. Un espacio topol
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como el radio de las vecindades esc
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K = {(x 1 , x 2 ) : f(x 1 ) = f(x 2
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1. Sea X un conjunto dotado con la
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Ejercicios5.4. Espacios completamen
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tal que B(b, δ b ) ∩ A = ∅. El
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5.5.7 Ejemplos.1. El Plano de Moore
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1. El conjunto U 1 es un conjunto a
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5.6.3 Definición. Sean A ⊂ X y f
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cada i = 1, ..., N, escogemos una v
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En los espacios 1-enumerables, las
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3. Cualquier subespacio de un espac
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c) {(x : x ∈ A y x ∈ B) o x ∈
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d) Si⋃x ∈ A para cada elemento
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Ejercicios 0.51. Dé un ejemplo de
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e) Dé un contraejemplo que muestre
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)c)∏i∈I (X i ∪ Y i ) = ∏ i
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h) (x 1 , y 1 ) ∼ (x 2 , y 2 ) si
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Ejercicios 0.81. Demuestre que Q es
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g) En el conjunto C(I) de todas las
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Ejercicios 1.21. Demuestre que si X
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Ejercicios 1.31. Sea X un espacio m
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Ejercicios 2.11. Pruebe que la cole
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Ejercicios 2.21. Describa todas las
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7. Sea Γ = {(x, y) ∈ R 2 : y ≥
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a) Sean τ la topología usual sobr
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9. Sea X cualquier conjunto. Diremo
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Ejercicios 2.71. Demuestre la Propo
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Ejercicios 2.81. Demuestre que cual
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7. Utilice el ejercicio anterior pa
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Ejercicios 3.21. Sean X y Y espacio
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Ejercicios 4.11. Demuestre que si Y
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Ejercicios 4.21. Sean X y Y dos esp
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Ejercicios 4.31. Sea (X i ) i∈I u
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Ejercicios 4.51. Demuestre que si f
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6. Pruebe que el espacio de Sierpin
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5. Demuestre que el espacio topoló
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Ejercicios 5.41. Demuestre que todo
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Ejercicios 5.51. Demuestre que un e
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Ejercicios 5.71. Pruebe que el Plan
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