Notas de TopologÂ´Ä±a Clara M. Neira U. - UN Virtual

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Ejercicios 0.81. Demuestre que Q es un conjunto contable.2. Demuestre que una unión contable de conjuntos contableses contable. ¿Qué ocurre con la unión no contable de conjuntoscontables?3. Demuestre que un producto finito de conjuntos contables escontable. ¿Qué ocurre con el producto infinito de conjuntoscontables?4. Muestre que el Axioma de Elección es equivalente a la siguienteafirmación: Para cualquier familia (A i ) i∈I de conjuntosno vacíos, con I ≠ ∅, el producto cartesiano ∏ i∈I A ies no vacío.Regresar129
Ejercicios 1.11. Demuestre que las siguientes funciones son métricas sobrelos conjuntos dados.a) Si X es un conjunto cualquiera, sea ρ : X × X −→ Rla función definida por{0 si x = yρ(x, y) =1 si x ≠ y.b) En R la función definida por ρ(x, y) = |x − y|.c) En R n la función definida por∑ρ((x 1 , ..., x n ), (y 1 , ..., y n )) = √ n (x i − y i ) 2 .d) En el plano, la función definida pori=1ρ 1 ((x 1 , y 1 ), (x 2 , y 2 )) = |x 1 − x 2 | + |y 1 − y 2 |es un espacio métrico. La función ρ 1 se suele llamar lamétrica del taxista.e) En el plano, la función definida por definida porρ 2 ((x 1 , y 1 ), (x 2 , y 2 )) = máx{|x 1 − x 2 |, |y 1 − y 2 |}es un espacio métrico.f ) En el conjunto X de todas las funciones acotadas f :R −→ R, la función ρ : X × X −→ R definida porρ(f, g) = sup{|f(x) − g(x)| : x ∈ R}.130
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Notas de TopologíaClara M. Neira U
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elementos del conjunto A pertenecen
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Además se satisfacen las siguiente
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0.3. Uniones e intersecciones arbit
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1. Para cada x ∈ X existe y ∈ Y
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0.6. Productos arbitrariosHasta aho
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1. (Reflexividad) x ∼ x para todo
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|X| = ℵ 0 . Si X es equipotente c
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eal M > 0 tal que |f(x)| < M para t
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Nótese que en un espacio seudomét
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De la misma forma si se escoge b
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Una de las propiedades más bonitas
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Consideremos un espacio métrico X.
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Capítulo 2Espacios TopológicosLa
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La colección de todos los conjunto
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3. Sea X un conjunto cualquiera. La
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Esto implica que la topologíausual
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2. Si U, V ∈ V(x) entonces U ∩
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3. Si A es una familia de conjuntos
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un conjunto X con las propiedades
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3.Para cada punto z del planodefini
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La unión arbitraria de conjuntos c
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Si X es un espacio topológico y A
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1. A ⊂ A para cada A ⊂ X.2. A =
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3. Si X es un conjunto infinito y p
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2.7. Interior, exterior y frontera
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2.7.5 Ejemplos.1. En R con la topol
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2. En R con topología usual, la fr
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subespacio de X. Esto es, considera
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4. Si a ∈ A y si B(a) es un siste
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3.1.1 Definición. Sean X y Y espac
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3.1.5 Ejemplo. Consideremos el inte
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3.1.7 Teorema. Si f : X −→ Y y
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X. Ahora bien, f −1 (K) = ⋃ i=1
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de los espacios tienen su contrapar
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La inclusión de un subespacio en u
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La colección B de todas las inters
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4.2.1 Definición. Sean X y Y dos e
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4.3.1∏Definición. Definimos la t
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Page 126 and 127: )c)∏i∈I (X i ∪ Y i ) = ∏ i
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Page 142 and 143: 7. Sea Γ = {(x, y) ∈ R 2 : y ≥
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Page 146 and 147: 9. Sea X cualquier conjunto. Diremo
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Page 152 and 153: Ejercicios 2.81. Demuestre que cual
Page 154 and 155: 7. Utilice el ejercicio anterior pa
Page 156 and 157: Ejercicios 3.21. Sean X y Y espacio
Page 158 and 159: Ejercicios 4.11. Demuestre que si Y
Page 160 and 161: Ejercicios 4.21. Sean X y Y dos esp
Page 162 and 163: Ejercicios 4.31. Sea (X i ) i∈I u
Page 164 and 165: Ejercicios 4.51. Demuestre que si f
Page 166 and 167: 6. Pruebe que el espacio de Sierpin
Page 168 and 169: 5. Demuestre que el espacio topoló
Page 170 and 171: Ejercicios 5.41. Demuestre que todo
Page 172 and 173: Ejercicios 5.51. Demuestre que un e
Page 174 and 175: Ejercicios 5.71. Pruebe que el Plan
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