Notas de Topolog´ıa Clara M. Neira U. - UN Virtual

un conjunto X con las propiedades “adecuadas” para ser sistemasfundamentales de vecindades de los puntos de X, permitengenerar una topología sobre X como lo muestra el siguienteresultado.2.3.6 Proposición. Sea X un conjunto. Si para cada x ∈ X seha asignado una colección B(x) de subconjuntos de X tal que:1. x ∈ V para cada V ∈ B(x),2. si U, V ∈ B(x) entonces existe W ∈ B(x) tal que W ⊂U ∩ V ,3. si U ∈ B(x) entonces existe V ∈ B(x) tal que para caday ∈ V , existe W ∈ B(y) con W ⊂ U,entonces existe una topología sobre X tal que para cada x ∈ Xla colección B(x) es un sistema fundamental de vecindades de x.Demostración. Para cada x ∈ X la colección V(x) = {U ⊂X : V ⊂ U para algún V ∈ B(x)} satisface las hipótesis de laproposición 2.3.3, luego existe una topología sobre X tal quepara cada x ∈ X se tiene que V(x) es la colección de todaslas vecindades de x. Resulta inmediato que B(x) es un sistemafundamental de vecindades de x para cada x ∈ X.2.3.7 Ejemplos.1. Los conjuntos de la forma [x, y) con x < y forman un sistemafundamental de vecindades de x para una topologíasobre R. En efecto, si x < y entonces x ∈ [x, y), si x < yy x < z y se tiene x < w < mín{y, z} entonces [x, w) ⊂39