Notas de TopologÂ´Ä±a Clara M. Neira U. - UN Virtual

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Ejercicios5.4. Espacios completamente regulares y Espaciosde TychonoffHasta ahora hemos estudiado la posibilidad de que dos puntosdistintos de un espacio topológico, o un conjunto cerrado y unpunto fuera del conjunto, se puedan separar utilizando conjuntosabiertos disyuntos. En esta sección veremos que hay espaciostopológicos en los que un conjunto cerrado y un punto fueradel conjunto se pueden separar utilizando una función continuadefinida del espacio en un intervalo cerrado en R.5.4.1 Ejemplo. Sea (X, m) un espacio métrico, K un subconjuntocerrado de X y x ∈ X K. Hemos definido la distanciam(y, K) de un punto y ∈ X al conjunto K como el ínfimode las distancias de y a los puntos de K, en otras palabrasm(y, K) = inf{m(y, k) : k ∈ K}.Consideremos la métrica d definida en X pord(y, z) = mín{m(y, z), m(x, K)}.La función d es una métrica sobre X equivalente a m (nóteseque m(x, K) > 0); y en la Proposición 1.2.3 se demostró lacontinuidad de la función y ↦−→ d(y, K) : X −→ R, luego lacorrestricción f de esta función al intervalo [0, m(x, K)] tambiénes continua. Además, f(k) = 0 para todo k ∈ K y f(x) =m(x, K) > 0.En este sentido, la función continua f nos permitió separar elpunto x del conjunto cerrado K.99
La siguiente definición caracteriza los espacios topológicos quetienen esta propiedad de separación.5.4.2 Definición. Un espacio topológico X es completamenteregular si para cada conjunto K cerrado en X y cada x ∈ X K, existe una función continua f definida de X en el intervalo[0, 1] de R, tal que f(K) = 0 y f(x) = 1.Es de anotar que el intervalo [0, 1] se puede reemplazar porcualquier intervalo cerrado [a, b] de R. En este caso se pediránlas condiciones f(K) = a y f(x) = b.De manera inmediata aparece el siguiente resultado.5.4.3 Proposición. Si X es un espacio completamente regular,entonces X es regular.Demostración. Sean K cerrado en X y x ∈ X K. Existeuna función continua f : X −→ ([ [0, 1] tal que f(K) = 0 yf(x) = 1. Los conjuntos f −1 0, 1 )) (( ]) 1y f −122 , 1 son([abiertos en X, son disyuntos y además K ⊂ f −1 0, 1 ))y2x ∈ f −1 (( 12 , 1 ]).La recíproca de esta proposición no es cierta. Existen espaciosregulares que no son completamente regulares. Además, al igualque sucede con los espacios regulares, los espacios completamenteregulares no necesariamente son espacios de Hausdorff, a100
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elementos del conjunto A pertenecen
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Además se satisfacen las siguiente
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0.3. Uniones e intersecciones arbit
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1. Para cada x ∈ X existe y ∈ Y
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0.6. Productos arbitrariosHasta aho
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1. (Reflexividad) x ∼ x para todo
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|X| = ℵ 0 . Si X es equipotente c
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eal M > 0 tal que |f(x)| < M para t
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Nótese que en un espacio seudomét
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De la misma forma si se escoge b
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Una de las propiedades más bonitas
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Consideremos un espacio métrico X.
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Capítulo 2Espacios TopológicosLa
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La colección de todos los conjunto
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3. Sea X un conjunto cualquiera. La
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Esto implica que la topologíausual
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2. Si U, V ∈ V(x) entonces U ∩
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3. Si A es una familia de conjuntos
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un conjunto X con las propiedades
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3.Para cada punto z del planodefini
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La unión arbitraria de conjuntos c
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Si X es un espacio topológico y A
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1. A ⊂ A para cada A ⊂ X.2. A =
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Ejercicios 5.51. Demuestre que un e
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Ejercicios 5.71. Pruebe que el Plan
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