Notas de TopologÂ´Ä±a Clara M. Neira U. - UN Virtual

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5.1.3 Definición. Un espacio topológico X es un espacio T 1si para cada par x, y de puntos distintos de X existen unavecindad V de x y una vecindad W de y, tales que y /∈ V yx /∈ W .5.1.4 Ejemplos.1. Todo espacio métrico es un espacio T 1 .2. Cualquier conjunto con la topología de los complementosfinitos (resp. contables) es un espacio T 1 .3. Todo espacio discreto es T 1 .4. El plano de Moore es un espacio T 1 .5. El plano ranurado es un espacio T 1 .Es inmediato que todo espacio T 1 es también un espacio T 0 .Existen, no obstante, espacios T 0 que no son T 1 , como por ejemploel espacio de Sierpinski.La mayor importancia de los espacios T 1 radica en que elloscaracterizan a los espacios en los cuales los conjuntos unitariosson conjuntos cerrados, como lo muestra parte del siguienteresultado.5.1.5 Proposición. Sea X un espacio topológico. Las siguientesafirmaciones son equivalentes:1. X es T 1 .91
2. Para cada x ∈ X, el conjunto {x} es cerrado.3. Cada subconjunto de X es la intersección de los conjuntosabiertos que lo contienen.Demostración.1. =⇒ 2. Si X es T 1 , si x ∈ X y si y ≠ x, existe una vecindad Vde y que no contiene a x. Esto demuestra que X {x} esabierto y, por lo tanto, que {x} es cerrado.2. =⇒ 3. Si A ⊂ X, se tiene que A = ⋂ x∈XA X {x}.3. =⇒ 1. Sean x y y puntos distintos de X. Como {x} es la intersecciónde los conjuntos abiertos que contienen a x, existe unconjunto abierto que contiene a x y no contiene a y. De lamisma forma, existe un conjunto abierto que contiene a yy no contiene a x.Ejercicios5.2. Espacios de Hausdorff - T 2Hemos visto que si (X, d) es un espacio métrico y si x y y sonpuntos distintos de X, entonces B(x, d(x, y)) es una vecindadde x que no contiene a y y B(y, d(x, y)) es una vecindad de yque no contiene a x. En ambos casos hemos considerado d(x, y)92
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elementos del conjunto A pertenecen
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Además se satisfacen las siguiente
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0.3. Uniones e intersecciones arbit
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1. Para cada x ∈ X existe y ∈ Y
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0.6. Productos arbitrariosHasta aho
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1. (Reflexividad) x ∼ x para todo
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|X| = ℵ 0 . Si X es equipotente c
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eal M > 0 tal que |f(x)| < M para t
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Nótese que en un espacio seudomét
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De la misma forma si se escoge b
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Una de las propiedades más bonitas
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Consideremos un espacio métrico X.
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Capítulo 2Espacios TopológicosLa
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La colección de todos los conjunto
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3. Sea X un conjunto cualquiera. La
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Esto implica que la topologíausual
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2. Si U, V ∈ V(x) entonces U ∩
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3. Si A es una familia de conjuntos
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un conjunto X con las propiedades
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7. Sea Γ = {(x, y) ∈ R 2 : y ≥
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a) Sean τ la topología usual sobr
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6. Pruebe que el espacio de Sierpin
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Ejercicios 5.51. Demuestre que un e
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Ejercicios 5.71. Pruebe que el Plan
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