Notas de Topolog´ıa Clara M. Neira U. - UN Virtual

5.3.6 Proposición. Sea X un espacio topológico. Las siguientesafirmaciones son equivalentes.1. X es un espacio regular.2. Si U es un subconjunto abierto de X y x ∈ U, entoncesexiste un subconjunto abierto V de X tal que x ∈ V yV ⊂ U.3. Cada punto de X posee un sistema fundamental de vecindadescerradas.Demostración.1. =⇒ 2. Si X es regular, si U ⊂ X es abierto y si x ∈ U, entoncesexisten subconjuntos abiertos V y W de X, de tal maneraque V ∩ W = ∅, x ∈ V y X U ⊂ W . Sea y ∈ V . Se tieneque y /∈ W ; de lo contrario W sería una vecindad de y sinpuntos en común con V . Entonces y /∈ X U, luego y ∈ U.Se concluye que V ⊂ U.2. =⇒ 3. Si x ∈ X y O es una vecindad abierta de x, existe unsubconjunto abierto V de X tal que x ∈ V y V ⊂ O. Elconjunto V es una vecindad cerrada de x contenida en O.3. =⇒ 1. Si K es cerrado en X y x /∈ K, entonces existe una vecindadcerrada M de x tal que M ⊂ X K. Sean U una vecindadabierta de x contenida en M y V = X M. Se tiene quex ∈ U, K ⊂ V y U ∩ V = ∅. Esto prueba que X es unespacio regular.98