Notas de TopologÂ´Ä±a Clara M. Neira U. - UN Virtual

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1. A ⊂ A para cada A ⊂ X.2. A = A para cada A ⊂ X.3. A ∪ B = A ∪ B para cada A, B ⊂ X.4. ∅ = ∅.Existe una topología sobre X cuya operación de adherencia esprecisamente A ↦−→ A.Demostración. Como nuestro deseo es que la operación dada seala operación de adherencia en el espacio topológico que formemos,comenzaremos por dar la colección de los que esperamossean conjuntos cerrados. Sea F = {F ⊂ X : F = F }. Veamosque la colección τ = {A : A c ∈ F} es la topología sobre X queestamos buscando.1. Puesto que ∅ ∈ F, X ∈ τ. Por otro lado, X ⊂ X, luegoX = X, de donde X ∈ F, por tanto ∅ ∈ τ.2. Si A, B ∈ τ se tiene(A ∩ B) c = A c ∪ B c= A c ∪ B c= A c ∪ B c= (A ∩ B) c ,entonces (A ∩ B) c ∈ F y A ∩ B ∈ τ.3. Veamos ahora que la unión de cualquier colección de elementosde τ pertenece a τ. En primer lugar, nótese que siA ⊂ B entonces B = A ∪ B, luego B = A ∪ B = A ∪ B,de donde A ⊂ B. Así se tiene que si C ⊂ F entonces47
⋂C∈C C ⊂ C para cada C ∈ C, de donde ⋂ C∈C C ⊂ C = Cpara cada C ∈ C, lo cual implica que ⋂ C∈C C ⊂ ⋂ C∈C C.Esto significa que ⋂ C∈C C ∈ F.Si A es una familia de subconjuntos de X contenida en τse tiene( ⋃AA∈AA c) c= ⋂ A∈A= ⋂ A∈AA c= ⋂ A∈AA c( c ⋃= A),A∈Aentonces (⋃ A∈A A) c∈ F y⋃A∈A A ∈ τ.2.5.6 Ejemplos.1. Sea X cualquier conjunto. Diremos que para cada A ⊂ X,A = A. En este caso cada subconjunto de X será un conjuntocerrado y la topología que se genera a partir de estaoperación de adherencia es la topología discreta.2. Sea X un conjunto cualquiera y definamos ahora A = Xpara todo A ⊂ X, A ≠ ∅ y ∅ = ∅. En este caso encontramosla topología trivial o grosera sobre X.48
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tal que B(b, δ b ) ∩ A = ∅. El
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)c)∏i∈I (X i ∪ Y i ) = ∏ i
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g) En el conjunto C(I) de todas las
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7. Sea Γ = {(x, y) ∈ R 2 : y ≥
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