Notas de Topolog´ıa Clara M. Neira U. - UN Virtual

Capítulo 4Topologías iniciales yTopologías finalesEn este capítulo estudiaremos estructuras iniciales como los espaciosproducto y estructuras finales como los espacios cociente.4.1. Estructuras iniciales - Topología inicialSean X un conjunto, {X α } α∈Λ una familia de espacios topológicosy para cada α ∈ Λ sea f α : X −→ X α una función. Si consideramosla topología discreta sobre el conjunto X cada una delas funciones f α resulta ser continua.Nuestro propósito ahora es dotar al conjunto X de la topologíamenos fina para la cual cada f α es una función continua.Si f α es continua, entonces para cada subconjunto abierto O deX α el conjunto fα −1 (O) debe ser un subconjunto abierto de X.Entonces la colecciónS = {f −1α (O) : α ∈ Λ y O es abierto en X α }debe estar contenida en la topología del espacio X.72