Notas de TopologÂ´Ä±a Clara M. Neira U. - UN Virtual

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La inclusión de un subespacio en un espacio topológico es elejemplo más inmediato que se puede presentar de una inmersión.Ejercicios71
Capítulo 4Topologías iniciales yTopologías finalesEn este capítulo estudiaremos estructuras iniciales como los espaciosproducto y estructuras finales como los espacios cociente.4.1. Estructuras iniciales - Topología inicialSean X un conjunto, {X α } α∈Λ una familia de espacios topológicosy para cada α ∈ Λ sea f α : X −→ X α una función. Si consideramosla topología discreta sobre el conjunto X cada una delas funciones f α resulta ser continua.Nuestro propósito ahora es dotar al conjunto X de la topologíamenos fina para la cual cada f α es una función continua.Si f α es continua, entonces para cada subconjunto abierto O deX α el conjunto fα −1 (O) debe ser un subconjunto abierto de X.Entonces la colecciónS = {f −1α (O) : α ∈ Λ y O es abierto en X α }debe estar contenida en la topología del espacio X.72
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elementos del conjunto A pertenecen
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Además se satisfacen las siguiente
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0.3. Uniones e intersecciones arbit
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1. Para cada x ∈ X existe y ∈ Y
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0.6. Productos arbitrariosHasta aho
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1. (Reflexividad) x ∼ x para todo
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|X| = ℵ 0 . Si X es equipotente c
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eal M > 0 tal que |f(x)| < M para t
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Nótese que en un espacio seudomét
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Page 32 and 33: 3. Sea X un conjunto cualquiera. La
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Page 48 and 49: 1. A ⊂ A para cada A ⊂ X.2. A =
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Ejercicios 0.51. Dé un ejemplo de
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e) Dé un contraejemplo que muestre
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)c)∏i∈I (X i ∪ Y i ) = ∏ i
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h) (x 1 , y 1 ) ∼ (x 2 , y 2 ) si
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Ejercicios 0.81. Demuestre que Q es
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g) En el conjunto C(I) de todas las
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Ejercicios 1.21. Demuestre que si X
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Ejercicios 1.31. Sea X un espacio m
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Ejercicios 2.11. Pruebe que la cole
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Ejercicios 2.21. Describa todas las
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7. Sea Γ = {(x, y) ∈ R 2 : y ≥
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a) Sean τ la topología usual sobr
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9. Sea X cualquier conjunto. Diremo
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Ejercicios 2.71. Demuestre la Propo
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Ejercicios 2.81. Demuestre que cual
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Ejercicios 4.31. Sea (X i ) i∈I u
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Ejercicios 4.51. Demuestre que si f
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6. Pruebe que el espacio de Sierpin
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5. Demuestre que el espacio topoló
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Ejercicios 5.41. Demuestre que todo
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Ejercicios 5.51. Demuestre que un e
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Ejercicios 5.71. Pruebe que el Plan
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