Notas de Topolog´ıa Clara M. Neira U. - UN Virtual

3.1.1 Definición. Sean X y Y espacios topológicos. Una funciónf : X −→ Y es continua si f −1 (O) es un conjunto abiertoen X para cada conjunto abierto O de Y .Naturalmente también es posible definir lo que significa que lafunción f : X −→ Y es continua en un punto x ∈ X.3.1.2 Definición. Sean X y Y espacios topológicos. Una funciónf : X −→ Y es continua en un punto x ∈ X si para cadavecindad V de f(x) en Y existe una vecindad U de x en X talque f(U) ⊂ V .De estas dos últimas definiciones se concluye de manera inmediataque una función f : X −→ Y es continua si y sólo si f escontinua en x para cada x ∈ X.3.1.3 Ejemplos.1. Si f : X −→ Y es una función constante de valor k, entoncesf es continua. En efecto, si O es un subconjuntoabierto de Y entonces f −1 (O) es X o ∅, dependiendo de sik es o no un elemento de O. En cualquier caso f −1 (O) esabierto en X.2. Si τ 1 y τ 2 son topologías definidas sobre un conjunto Xy si τ 1 es más fina que τ 2 (esto es τ 2 ⊂ τ 1 ), entonces lafunción idéntica id X : (X, τ 1 ) −→ (X, τ 2 ) es continua. Encaso contrario, es decir si existe un subconjunto O de X quepertenece a τ 2 pero no a τ 1 , entonces id −1X(O) no es abiertoen (X, τ 1 ). En este caso, aunque parezca sorprendente, lafunción idéntica no es continua.61