Notas de Topolog´ıa Clara M. Neira U. - UN Virtual

3. Si A es una familia de conjuntos “abiertos” y x ∈ A entoncesx ∈ A para algún A ∈ A. Existe V ∈ V(x) tal queV ⊂ A, así V ⊂ ∪A y se concluye que ∪A es un conjunto“abierto” .Entonces la colección τ de conjuntos “abiertos” es una topologíasobre X.Por otra parte, si W es una vecindad de x existe A ∈ τ tal quex ∈ A y A ⊂ W . Como A ∈ τ, existe V ∈ V(x) tal que V ⊂ A,entonces V ⊂ W , luego W ∈ V(x).De manera recíproca, si V ∈ V(x) y si ademásU = {y ∈ V : V es una vecindad de y},entonces U es un conjunto abierto que contiene a x y está contenidoen V .En R con la topología usual los intervalos abiertos centrados enun punto x dan lugar a todas las vecindades de x en el siguientesentido: Toda vecindad de x contiene un intervalo abiertocentrado en x. Diremos que los intervalos abiertos centrados enx son un sistema fundamental de vecindades del punto x. Engeneral tenemos la siguiente definición:2.3.4 Definición. Sean X un espacio topológico y x ∈ X.Un subconjunto B(x) de V(x) es un sistema fundamental devecindades de x si para cada V ∈ V(x) existe U ∈ B(x) tal queU ⊂ V . Llamamos a los elementos de B(x) vecindades básicasde x.37