Notas de TopologÂ´Ä±a Clara M. Neira U. - UN Virtual

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Ejercicios 2.81. Demuestre que cualquier subespacio de un espacio discretoes discreto y cualquier subespacio de un espacio trivial estrivial.2. Sea A un subespacio de X. Demuestre cada una de lassiguientes afirmaciones:a) Un subconjunto F de A es cerado en A si y sólo siexiste K cerrado en X tal que F = K ∩ A.b) Si E ⊂ A y denotamos por Adh A E la adherencia de Een A y por Adh X E la adherencia de E en X, entoncesAdh A E =Adh X E ∩ A.c) Si a ∈ A, entonces V es una vecindad de a en A si y sólosi existe una vecindad U de a en X tal que V = U ∩ A.d) Si a ∈ A y si B(a) es un sistema fundamental de vecindadesde a en X, entonces {U ∩ A : U ∈ B(a)} es unsistema fundamental de vecindades de a en A.e) Si E ⊂ A y denotamos por Int A E el interior de Een A y por Int X E el interior de E en X, entoncesInt A E ⊃Int X E ∩ A.f )RegresarSi E ⊂ A y denotamos por Fr A E la frontera de Een A y por Fr X E la frontera de E en X, entoncesFr A E ⊂Fr X E ∩ A.151
Ejercicios 3.11. Demuestre que toda función definida de un espacio discretoX en cualquier espacio Y es continua y además que si cadafunción con dominio X es continua, entonces X tiene latopología discreta.2. Demuestre que toda función definida de un X en un espacioY con topología grosera es continua y que si cada funcióncon codominio Y es continua, entonces Y tiene la topologíagrosera.3. Sea A un subconjunto de un conjunto X. La función característicade A, δ A : X −→ R, se define por{1 si x ∈ Aδ A (x) =0 si x /∈ A.Demuestre que si X es un espacio topológico y A ⊂ X,entonces la función característica de A es continua si y sólosi A es abierto y cerrado en X.4. Demuestre que si f y g son funciones continuas definidas deun espacio X en R, entonces el conjunto {x ∈ X : f(x) =g(x)} es cerrado en X.5. Utilice el ejercicio anterior para justificar la siguiente afirmación:“Si dos funciones continuas definidas de un espacioX en R coinciden en un subconjunto denso de X, coincidenen todo X.6. Demuestre que si f : R −→ R es una función continua ysi f(a) < f(b) entonces para cada y ∈ [f(a), f(b)] existe xentre a y b tal que f(x) = y.152
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Notas de TopologíaClara M. Neira U
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elementos del conjunto A pertenecen
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Además se satisfacen las siguiente
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0.3. Uniones e intersecciones arbit
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1. Para cada x ∈ X existe y ∈ Y
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0.6. Productos arbitrariosHasta aho
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1. (Reflexividad) x ∼ x para todo
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|X| = ℵ 0 . Si X es equipotente c
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eal M > 0 tal que |f(x)| < M para t
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Nótese que en un espacio seudomét
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De la misma forma si se escoge b
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Una de las propiedades más bonitas
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Consideremos un espacio métrico X.
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Capítulo 2Espacios TopológicosLa
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La colección de todos los conjunto
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3. Sea X un conjunto cualquiera. La
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Esto implica que la topologíausual
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2. Si U, V ∈ V(x) entonces U ∩
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3. Si A es una familia de conjuntos
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un conjunto X con las propiedades
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3.Para cada punto z del planodefini
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La unión arbitraria de conjuntos c
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Si X es un espacio topológico y A
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1. A ⊂ A para cada A ⊂ X.2. A =
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3. Si X es un conjunto infinito y p
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2.7. Interior, exterior y frontera
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2.7.5 Ejemplos.1. En R con la topol
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2. En R con topología usual, la fr
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subespacio de X. Esto es, considera
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4. Si a ∈ A y si B(a) es un siste
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3.1.1 Definición. Sean X y Y espac
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3.1.5 Ejemplo. Consideremos el inte
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3.1.7 Teorema. Si f : X −→ Y y
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X. Ahora bien, f −1 (K) = ⋃ i=1
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de los espacios tienen su contrapar
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La inclusión de un subespacio en u
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La colección B de todas las inters
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4.2.1 Definición. Sean X y Y dos e
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4.3.1∏Definición. Definimos la t
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En cualquier caso, α −1 (πA −
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4.4. Estructuras finales - Topolog
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De manera recíproca, Si O es un su
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clase de equivalencia de un punto (
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2. Si ϕ([x]) = ϕ([y]), entonces f
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5.1.2 Ejemplos.1. El espacio de Sie
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5.1.3 Definición. Un espacio topol
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como el radio de las vecindades esc
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K = {(x 1 , x 2 ) : f(x 1 ) = f(x 2
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1. Sea X un conjunto dotado con la
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Ejercicios5.4. Espacios completamen
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Page 138 and 139: Ejercicios 2.11. Pruebe que la cole
Page 140 and 141: Ejercicios 2.21. Describa todas las
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Page 146 and 147: 9. Sea X cualquier conjunto. Diremo
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Page 154 and 155: 7. Utilice el ejercicio anterior pa
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Page 162 and 163: Ejercicios 4.31. Sea (X i ) i∈I u
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Page 166 and 167: 6. Pruebe que el espacio de Sierpin
Page 168 and 169: 5. Demuestre que el espacio topoló
Page 170 and 171: Ejercicios 5.41. Demuestre que todo
Page 172 and 173: Ejercicios 5.51. Demuestre que un e
Page 174 and 175: Ejercicios 5.71. Pruebe que el Plan
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