Notas de TopologÂ´Ä±a Clara M. Neira U. - UN Virtual

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c) {(x : x ∈ A y x ∈ B) o x ∈ C}.d) {(x : x ∈ A o x ∈ B) y x ∈ C}.3. En los siguientes literales dé una demostración de las afirmacionesque considere verdaderas o ejemplos que muestrenque determinadas afirmaciones son falsas. En caso de queuna igualdad no se satisfaga verifique si por lo menos unade las contenencias es cierta.a) A (A B) = B.b) A (B A) = A B.c) A ∩ (B C) = (A ∩ B) (A ∩ C).d) A ∪ (B C) = (A ∪ B) (A ∪ C).Regresar117
Ejercicios 0.31. Demuestre las leyes de De Morgan:a)(⋃A∈A A) c ⋂ =A∈A Ac .b)(⋂A∈A A) c ⋃ =A∈A Ac .2. Justifique cuidadosamente cada una de las siguientes afirmaciones:a) Si A es una familia vacía de conjuntos entonces ⋃ A∈A A =∅.b) Si A es una familia vacía de subconjuntos de X entonces⋂ A∈A A = X.3. Para cada n ∈ N sea A n = {x ∈ R : −1n < x < 1 }. Calcule⋂nn∈N A n.4. Para cada n ∈ N sea A n = [ 1 n , 2 − 1 n ]. Calcule ⋃ n∈N A n.5. En los siguientes literales de una demostración de las afirmacionesque considere verdaderas o ejemplos que muestrenque determinadas afirmaciones son falsas.a) Si x ∈ ⋃ A∈Aentonces x ∈ A para al menos un elementoA ∈ A.b) Si x ∈ A para al menos un elemento A ∈ A entoncesx ∈ ⋃ A∈A .c) Si x ∈ ⋃ A∈Aentonces x ∈ A para cada elemento A ∈A.118
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Notas de TopologíaClara M. Neira U
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elementos del conjunto A pertenecen
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Además se satisfacen las siguiente
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0.3. Uniones e intersecciones arbit
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1. Para cada x ∈ X existe y ∈ Y
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0.6. Productos arbitrariosHasta aho
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1. (Reflexividad) x ∼ x para todo
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|X| = ℵ 0 . Si X es equipotente c
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eal M > 0 tal que |f(x)| < M para t
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Nótese que en un espacio seudomét
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De la misma forma si se escoge b
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Una de las propiedades más bonitas
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Consideremos un espacio métrico X.
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Capítulo 2Espacios TopológicosLa
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3. Sea X un conjunto cualquiera. La
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Esto implica que la topologíausual
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2. Si U, V ∈ V(x) entonces U ∩
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3. Si A es una familia de conjuntos
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un conjunto X con las propiedades
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3.Para cada punto z del planodefini
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La unión arbitraria de conjuntos c
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Si X es un espacio topológico y A
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1. A ⊂ A para cada A ⊂ X.2. A =
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2.7. Interior, exterior y frontera
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2. En R con topología usual, la fr
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subespacio de X. Esto es, considera
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4. Si a ∈ A y si B(a) es un siste
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3.1.7 Teorema. Si f : X −→ Y y
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5. Demuestre que el espacio topoló
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Ejercicios 5.41. Demuestre que todo
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Ejercicios 5.51. Demuestre que un e
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Ejercicios 5.71. Pruebe que el Plan
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