Notas de Topolog´ıa Clara M. Neira U. - UN Virtual

3.1.5 Ejemplo. Consideremos el intervalo [0, 1) con la topologíainducida de la topología usual de R y denotemos con C la circunferenciaen el plano complejo, con centro en el origen y radio1. Definamos la función f : [0, 1) −→ C por f(x) = e 2πix .Veamos que f es una función continua.El conjunto formado por todos los segmentos abiertos de la circunferenciaes una base para la topología de C. Si J es uno detales segmentos y si J no contiene al número complejo 1, entoncesf −1 (J) es un intervalo abierto de la forma (a, b) donde0 < a < b < 1. Luego f −1 (J) es abierto en [0, 1). Por otraparte, si 1 ∈ J entonces f −1 (J) tiene la forma [0, a) ∪ (b, 1)donde 0 < a < b < 1 que también es un conjunto abierto en[0, 1). Se concluye que f es continua.El siguiente resultado nos da algunos criterios que permiten decidirsi una función entre dos espacios topológicos es o no unafunción continua.3.1.6 Teorema. Sean X y Y espacios topológicos y f :−→ Yuna función. Las siguientes afirmaciones son equivalentes:63