Notas de TopologÂ´Ä±a Clara M. Neira U. - UN Virtual

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Ejercicios 4.31. Sea (X i ) i∈I una familia de espacios topológicos y sea X =∏i∈I X i. Demuestre que la proyección π i : X −→ X i es unaaplicación abierta para cada i ∈ I.2. Sean (X i )i ∈ I una familia de espacios topológicos, X =∏i∈N X i, W un espacio topológico arbitrario y para cadai ∈ I sea f i : W −→ X i una función continua. Demuestreque la función f : W −→ X definida por f(w) = (f i (w)) i∈Ies continua.3. Sean (X i ) i∈I una familia de espacios topológicos,X = ∏ i∈I X i, π i : X −→ X i la proyección canónica paracada i ∈ I y consideremos Y un subespacio de X. Para cadai ∈ I, denotemos por p i la restricción de p i al conjuntoY . Demuestre que la topología de subespacio sobre Y es latopología inicial inducida por la familia de funciones (p i ) i∈I .4. Sean (X i , m i ) i∈N una familia enumerable de espacios métricosy sea X = ∏ i∈N X i.a) Para cada i ∈ I, sea m i ∗ la métrica sobre X i definidapor m i ∗ (a, b) = mín{1, m i (a, b)). Demuestre que lafunción m : X × X −→ R definida porm(x, y) =∞∑i=1m i ∗ (x i , y i ),2donde x = (x i ) y y = (y i ), es una métrica sobre X.b) Demuestre que la topología producto sobre X es la mismatopología inducida por la métrica m.Regresar161
Ejercicios 4.41. Demuestre que si X tiene la topología grosera entonces latopología final sobre un conjunto Y inducida por una funciónf : X −→ Y no es necesariamente la topología grosera.2. Suponga que X tiene la topología discreta. Pruebe que latopología final sobre un conjunto Y inducida por una funciónf : X −→ Y es la topología discreta.3. Considere la topología de los complementos finitos definidasobre el conjunto de los números racionales. ¿Cuál es latopología final sobre R inducida por la inclusión de Q enR?4. Resuelva el ejercicio anterior pero considerando R Q enlugar de Q y la topología de los complementos contablessobre R Q.5. Considere la topología de las colas a la derecha definidasobre el conjunto de los números reales. ¿Cuál es latopología final sobre Z inducida por la función parte entera,x ↦−→ [x] : R −→ Z?6. Considere la topología usual sobre R 2 . ¿Cuál es la topologíafinal sobre R inducida por la función que aplica a cadapunto del plano en su distancia usual al origen?Regresar162
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Notas de TopologíaClara M. Neira U
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elementos del conjunto A pertenecen
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Además se satisfacen las siguiente
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0.3. Uniones e intersecciones arbit
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1. Para cada x ∈ X existe y ∈ Y
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0.6. Productos arbitrariosHasta aho
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1. (Reflexividad) x ∼ x para todo
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|X| = ℵ 0 . Si X es equipotente c
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eal M > 0 tal que |f(x)| < M para t
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Nótese que en un espacio seudomét
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De la misma forma si se escoge b
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Una de las propiedades más bonitas
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Consideremos un espacio métrico X.
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Capítulo 2Espacios TopológicosLa
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La colección de todos los conjunto
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3. Sea X un conjunto cualquiera. La
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Esto implica que la topologíausual
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2. Si U, V ∈ V(x) entonces U ∩
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3. Si A es una familia de conjuntos
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un conjunto X con las propiedades
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3.Para cada punto z del planodefini
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La unión arbitraria de conjuntos c
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Si X es un espacio topológico y A
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1. A ⊂ A para cada A ⊂ X.2. A =
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3. Si X es un conjunto infinito y p
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2.7. Interior, exterior y frontera
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2.7.5 Ejemplos.1. En R con la topol
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2. En R con topología usual, la fr
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subespacio de X. Esto es, considera
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4. Si a ∈ A y si B(a) es un siste
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3.1.1 Definición. Sean X y Y espac
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3.1.5 Ejemplo. Consideremos el inte
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3.1.7 Teorema. Si f : X −→ Y y
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X. Ahora bien, f −1 (K) = ⋃ i=1
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de los espacios tienen su contrapar
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La inclusión de un subespacio en u
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La colección B de todas las inters
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4.2.1 Definición. Sean X y Y dos e
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4.3.1∏Definición. Definimos la t
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En cualquier caso, α −1 (πA −
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4.4. Estructuras finales - Topolog
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De manera recíproca, Si O es un su
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clase de equivalencia de un punto (
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2. Si ϕ([x]) = ϕ([y]), entonces f
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5.1.2 Ejemplos.1. El espacio de Sie
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5.1.3 Definición. Un espacio topol
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como el radio de las vecindades esc
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K = {(x 1 , x 2 ) : f(x 1 ) = f(x 2
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1. Sea X un conjunto dotado con la
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Ejercicios5.4. Espacios completamen
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menos que cada conjunto unitario en
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tal que B(b, δ b ) ∩ A = ∅. El
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5.5.7 Ejemplos.1. El Plano de Moore
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1. El conjunto U 1 es un conjunto a
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5.6.3 Definición. Sean A ⊂ X y f
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Page 166 and 167: 6. Pruebe que el espacio de Sierpin
Page 168 and 169: 5. Demuestre que el espacio topoló
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Page 172 and 173: Ejercicios 5.51. Demuestre que un e
Page 174 and 175: Ejercicios 5.71. Pruebe que el Plan
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