Notas de TopologÂ´Ä±a Clara M. Neira U. - UN Virtual

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Ejercicios 3.21. Sean X y Y espacios topológicos y f : X −→ Y una funciónuno a uno y sobreyectiva. Demuestre que las siguientesafirmaciones son equivalentes:a) f es un homeomorfismo.b) Si A ⊂ X, entonces f(A) es abierto en Y si y sólo si Aes abierto en X.c) Si K ⊂ X, entonces f(K) es cerrado en Y si y sólo siK es cerrado en X.d) Si M ⊂ X, entonces f(M) = f(M).2. Pruebe que la relación ∼ definida en los espacios topológicospor X ∼ Y si y sólo si X y Y son homeomorfos esuna relación de equivalencia.3. Muestre que cada intervalo abierto (a, b) en R, con a > bes homeomorfo al intervalo (0, 1).4. Muestre que cada intervalo cerrado [a, b] en R, con a > b eshomeomorfo al intervalo [0, 1].5. Defina un homeomorfismo de N con la topología discretaen Z también con la topología discreta.6. Sean τ 1 y τ 2 dos topologías definidas sobre el mismo conjuntoX. Pruebe que la función idéntica Id X : (X, τ 1 ) −→(X, τ 2 ) es un homeomorfismo si y sólo si τ 1 = τ 2 .7. Pruebe que la propiedad de que cada función continua devalor real sobre un conjunto X tome un valor máximo esuna propiedad topológica.155
8. Utilice el ejercicio anterior para probar que [0, 1] y R no sonhomeomorfos.9. Muestre que la función f : R + −→ R definida por f(x) =−x es una inmersión.Regresar156
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Notas de TopologíaClara M. Neira U
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elementos del conjunto A pertenecen
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Además se satisfacen las siguiente
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0.3. Uniones e intersecciones arbit
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1. Para cada x ∈ X existe y ∈ Y
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0.6. Productos arbitrariosHasta aho
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1. (Reflexividad) x ∼ x para todo
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|X| = ℵ 0 . Si X es equipotente c
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eal M > 0 tal que |f(x)| < M para t
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Nótese que en un espacio seudomét
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De la misma forma si se escoge b
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Una de las propiedades más bonitas
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Consideremos un espacio métrico X.
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Capítulo 2Espacios TopológicosLa
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La colección de todos los conjunto
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3. Sea X un conjunto cualquiera. La
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Esto implica que la topologíausual
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2. Si U, V ∈ V(x) entonces U ∩
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3. Si A es una familia de conjuntos
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un conjunto X con las propiedades
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3.Para cada punto z del planodefini
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La unión arbitraria de conjuntos c
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Si X es un espacio topológico y A
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1. A ⊂ A para cada A ⊂ X.2. A =
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3. Si X es un conjunto infinito y p
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2.7. Interior, exterior y frontera
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2.7.5 Ejemplos.1. En R con la topol
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2. En R con topología usual, la fr
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subespacio de X. Esto es, considera
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4. Si a ∈ A y si B(a) es un siste
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3.1.1 Definición. Sean X y Y espac
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3.1.5 Ejemplo. Consideremos el inte
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3.1.7 Teorema. Si f : X −→ Y y
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X. Ahora bien, f −1 (K) = ⋃ i=1
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de los espacios tienen su contrapar
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La inclusión de un subespacio en u
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La colección B de todas las inters
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4.2.1 Definición. Sean X y Y dos e
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4.3.1∏Definición. Definimos la t
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En cualquier caso, α −1 (πA −
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4.4. Estructuras finales - Topolog
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De manera recíproca, Si O es un su
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clase de equivalencia de un punto (
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2. Si ϕ([x]) = ϕ([y]), entonces f
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5.1.2 Ejemplos.1. El espacio de Sie
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5.1.3 Definición. Un espacio topol
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como el radio de las vecindades esc
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K = {(x 1 , x 2 ) : f(x 1 ) = f(x 2
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1. Sea X un conjunto dotado con la
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Ejercicios5.4. Espacios completamen
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menos que cada conjunto unitario en
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tal que B(b, δ b ) ∩ A = ∅. El
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Page 166 and 167: 6. Pruebe que el espacio de Sierpin
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Page 172 and 173: Ejercicios 5.51. Demuestre que un e
Page 174 and 175: Ejercicios 5.71. Pruebe que el Plan
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