Notas de Topolog´ıa Clara M. Neira U. - UN Virtual

K = {(x 1 , x 2 ) : f(x 1 ) = f(x 2 )} = X × X es cerrado, independientementede si Y es o no un espacio de Hausdorff. Sinembargo, se tiene el siguiente resultado.5.2.4 Proposición. Si f es una función abierta de X sobre Yy si el conjunto K = {(x 1 , x 2 ) : f(x 1 ) = f(x 2 )} es cerrado enX × X, entonces Y es un espacio de Hausdorff.Demostración. Sean y 1 y y 2 puntos distintos de Y . Puesto quef es sobreyectiva, existen x 1 y x 2 en X tales que f(x 1 ) = y 1 yf(x 2 ) = y 2 . Claramente (x 1 , x 2 ) /∈ K, luego existen vecindadesabiertas U y V de x 1 y x 2 respectivamente, de tal manera queU × V ⊂ (X × X) K. Como f es abierta, f(U) y f(V ) sonvecindades abiertas de y 1 y y 2 respectivamente, y se tiene f(U)∩f(V ) = ∅.Las dos proposiciones anteriores dan una demostración inmediatadel siguiente resultado, el cual es una caracterización de losespacios de Hausdorff.5.2.5 Proposición. El espacio topológico X es un espacio deHausdorff si y sólo si la diagonal ∆ = {(x, x) : x ∈ X} escerrada en X × X.Ejercicios95